Парный регрессионный анализ

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное бюджетное образовательное  

учреждение высшего образования  

 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Математический анализ» 

 
 
 

А.П. Иванова  

 
 
 

ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ 

АНАЛИЗ 

 
 
 
 
 
 

П Р А К Т И К У М  

 
 
 
 
 

Москва  –  2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное бюджетное образовательное  

учреждение высшего образования  

 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 

Институт пути, строительства и сооружений  

 

Кафедра «Математический анализ» 

 
 
 

А.П. Иванова  

 
 
 

ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ 

АНАЛИЗ 

 
 
 
 

Практикум 

 для магистрантов  

института ИПСС 

 
 
 
 
 

Москва  –  2018 

УДК 517 
И 21 
 
Иванова А.П. Парный регрессионный анализ: Практикум для магистрантов института ИПСС по дисциплине «Специальные разделы высшей математики». – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 70 с. 
 

Настоящий практикум предназначен для магистрантов пер
вого курса специальностей «Строительство. Управление автомобильными дорогами и теория их формирования» и «Строительство. Промышленное и гражданское строительство», изучающих 
дисциплину «Специальные разделы высшей математики».  

Практикум разработан в помощь к решению практических 

заданий и выполнению домашних заданий и содержит краткое 
изложение теории и несколько подробно разобранных примеров 
построения регрессионной модели с помощью стандартного пакета прикладных программ Mathcad®.  

В практикуме приводится 125 вариантов индивидуального 

задания для самостоятельной работы. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

© РУТ (МИИТ), 2018 

 
 
 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

1. Функциональная, статистическая и 
корреляционная зависимости …………………………….…
4

2. Основные положения регрессионного анализа. Оценка 
параметров парной регрессионной модели. Теорема Гаусса-Маркова . …………………………………………………...
17

3. Оценка значимости уравнения регрессии. 
Коэффициент детерминации …………………………………
21

Варианты индивидуального задания ………………………..
33

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ……………………………………………..
52

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ……………………………………………..
56

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Критические точки 

распределения 

2
 ……………………………………………..
60

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Значения 

1
2
;
;
k k
F
-критерия Фишера
Снедекора ……………………………………………………...
62

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Значения 
,k
t
-критерия Стьюдента ……
64

ПРИЛОЖЕНИЕ 6.  Значения функции 

2

2

0

0

1
( )

2

x
t

x
e
dt








………………………………………..
66

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………
69

 
 
 

ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 

В практике экономических исследований имеющие
ся данные не всегда можно считать выборкой из многомерной нормальной совокупности, когда одна из рассматриваемых переменных не является случайной или когда 
линия регрессии явно не прямая и т. п. В этих случаях пытаются определить кривую, которая даёт наилучшее (в 
смысле метода наименьших квадратов) приближение к 
исходным данным. Соответствующие методы приближения получили название регрессионного анализа, занимающие центральное место в математическом аппарате эконометрики.  

Задачами регрессионного анализа являются уста
новление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной. 

 

1. Функциональная, статистическая и  

корреляционная зависимости 

В естественных науках часто речь идет о функцио
нальной зависимости, когда каждому значению одной 
переменной соответствует вполне определённое значение 
другой.  

В экономике в большинстве случаев между пере
менными величинами существуют зависимости, когда 
каждому значению одной переменной соответствует не 
какое-то определённое, а множество возможных значений 
другой переменной. Иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствует определённое (условное) 
распределение другой переменной. Такая зависимость получила название статистической. 

Возникновение понятия статистической связи обу
славливается тем, что зависимая переменная подвержена 

влиянию ряда неконтролируемых или неучтённых факторов, а также тем, что измерение значений переменных 
неизбежно 
сопровождается 
некоторыми 
случайными 

ошибками. Примером статистической связи является зависимость урожайности от количества внесённых удобрений, производительности труда на предприятии от его 
энерговооруженности и т.п.  

В силу неоднозначности статистической зависимо
сти между Y  и X  для исследователя, в частности, представляет интерес усреднённая по  X  схема зависимости, 
т. е. закономерность в измерении условного математического ожидания 
( )
x
M Y  в зависимости от x 1.  

Если зависимость между двумя переменными тако
ва, что каждому значению одной переменной соответствует определённое условное математическое ожидание (среднее значение) другой, то такая статистическая 
зависимость называется корреляционной.  

Иначе, корреляционной зависимостью между дву
мя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.  

Корреляционная зависимость может быть представ
лена в виде  

( )
( )
x
M Y
x


                                  (1)  

или  

(
)
( )
y
M
X
y


, 

где ( )
const
x


, ( )
const
y


.  

 

1 
Условное 
математическое 
ожидание 
(обозначается 
( )
x
M Y  
или 

(
/
)
M Y
X
x

) – это математическое ожидание случайной переменной Y , 

вычисленное в предположении, что переменная X  приняла значение x . 

В регрессионном анализе рассматривается односто
ронняя зависимость случайной переменной Y  от одной 
(или нескольких) неслучайной независимой переменной X . 
Такая зависимость может возникнуть, например, в случае, 
когда при каждом фиксированном значении X  соответствующие значения Y  подвержены случайному разбросу 
за счёт действия ряда неконтролируемых факторов. Такая 
зависимость Y  от X  (иногда её называют регрессионной) 
может быть также представлена в виде модельного уравнения регрессии Y  по X  (1). При этом зависимую переменную Y  называют также функцией отклика, объясняемой, выходной, результирующей, эндогенной переменной, 
результативным признаком, а независимую переменную 
X  – объясняющей, входной, предсказывающей, предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, 
факторным признаком.  

Уравнение (1) называется модельным уравнением 

регрессии (или просто уравнением регрессии), а функция 

( )
x

 – модельной функцией регрессии (или просто функ
цией регрессии), а её график – модельной линией регрессии (или просто линией регрессии).  

Для точного описания уравнения регрессии необхо
димо знать условный закон распределения зависимой переменной Y  при условии, что переменная X  примет значение x, т. е. X
x

. В статистической практике такую 

информацию получить, как правило, не удаётся, так как 
обычно исследователь располагает лишь выборкой пар 
значений ( ,
)
i
i
x y  ограниченного объёма N . В этом случае 

речь может идти об оценке по выборке функции регрессии. Такой оценкой является выборочная линия (кривая) 
регрессии:  

0
1
ˆ
ˆ
( ,
,
,...,
)
p
y
x b b
b


,                         (2)  

где ˆy  – условная (групповая) средняя переменной Y  при  
фиксированном значении переменной X
x

, 
0
1
,
,...,
p
b b
b  

– параметры кривой регрессии.  

Уравнение (2) называется выборочным уравнением 

регрессии.  

При правильно определённой аппроксимирующей 

функции 
0
1
ˆ( ,
,
,...,
)
p
x b b
b

 с увеличением объёма выборки 

(N  ) она будет сходиться по вероятности2 к функции 
регрессии ( )
x

. 

Рассмотрим пример. Пусть имеются результаты де
сяти измерений (
10
N 
). 

 
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ix
1
2
4
6
8
11
15
17
20
25

iy
33
23
10
9
8
7
4
4
4
3

 

Изобразим полученную зависимость графически 

точками  с координатами ( ,
)
i
i
x y , для чего воспользуемся 

программой MathCad®, см. рис. 1. Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции. 

По расположению эмпирических точек не очевидно, 

какая корреляционная (регрессионная) зависимость имеется между переменными X  и  Y . Проверим несколько 
гипотез и выберем наиболее подходящую кривую регрессии. 

1) Выбираем гипотезу: зависимость линейная. 
Уравнение регрессии будем искать в виде  

1
2
ˆy
k
k x


.                               (3) 

 

2 Говорят, что величина 
n
X  сходится по вероятности к величине a, если 

при сколь угодно малом 
0
 
 вероятность неравенства |
|
n
X
a



 с уве
личением n неограниченно приближается к единице.