Основные законы распределения случайных величин

– 0 – 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 

Кафедра «Математический анализ» 

 

В.Н. Деснянский, Н.Б. Логинова 

 
 
 
 
 
 
 
О С Н О В Н Ы Е  З А К О Н Ы  Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я  
С Л У Ч А Й Н Ы Х  В Е Л И Ч И Н  

 
 
 
 
 

У ч е б н о - м е т о д и ч е с к о е  п о с о б и е  
п о  т е о р и и  в е р о я т н о с т е й  

 
 
 
 

Москва  –  2018 

– 1 – 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 

Кафедра «Математический анализ» 

 

В.Н. Деснянский, Н.Б. Логинова 

 
 
 
 
 

 
О С Н О В Н Ы Е  З А К О Н Ы  Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я  
С Л У Ч А Й Н Ы Х  В Е Л И Ч И Н  

 
 
 
 
 

У ч е б н о - м е т о д и ч е с к о е  п о с о б и е  
для ст уд ентов инст ит ут а ИПСС  

 
 
 
 

Москва  –  2018 

– 2 – 

УДК 519.2 
Д37 
 

Деснянский В.Н., Логинова Н.Б. Основные законы распределения 

случайных величин: Учебно-методическое пособие по теории вероят-
ностей. – М.: РУТ (МИИТ), 2018.  - 20 с. 
 
 

Учебно-методическое пособие по теории вероятностей пред-

назначены для студентов II курса института ИПСС и содержат 
основные вопросы и утверждения, которые позволяют в долж-
ной степени ознакомиться с данным разделом. 

В конце учебно-методического пособия приведен список ли-

тературы, рекомендуемой студентам для усвоения и углубления 
знаний по указанной тематике. 

 
 
 
 
 

Рецензент: О.А. Платонова, к. ф.–м. н., зав. кафедрой «Высшая и вы-
числительная математика» РУТ (МИИТ). 

 
 
 
 

© РУТ  (МИИТ), 2018 

 

– 3 – 

Введение 

Понятие случайной величины является одним из центральных по-

нятий теории вероятностей. Говорят, что случайная величина – это 
числовая переменная, которая в результате опыта или наблюдения 
может принять какое-либо значение, зависящее от случая. 

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и 

непрерывные. 

Определение: Дискретная случайная величина Х – это случайная 

величина, принимающая конечное количество или последовательность 
различных значений. 

Определение: Случайная величина Х, принимающая все значения 

из некоторого интервала (конечного или бесконечного), называется 
непрерывной случайной величиной. 

 

§ 1. Закон распределения случайной величины 

Чтобы охарактеризовать случайную величину, прежде всего, необ-

ходимо указать возможные её значения – то есть те значения, которые 
эта случайная величина может принимать. Однако этого недостаточно: 
нужно еще знать, насколько часто случайная величина принимает те 
или иные возможные значения, то есть для случайной величины еще 
нужно указать вероятности принять возможные её значения. 

Определение: Правило, которое устанавливает соответствие между 

возможными значениями случайной величины и соответствующими им 
вероятностями, называют законом распределения случайной величины. 

Для ограниченной дискретной случайной величины Х закон рас-

пределения удобно записывать в виде таблицы: 

 

Х
х1
х2
х3
…
хn

Р
р1
р2
р3
…
рn

 
В первой строке таблицы для дискретной случайной величины Х 

перечислены все её возможные значения х1,…, хn. 

Во второй строке таблицы указаны соответствующие вероятности. 

Вероятность рi – это вероятность того, что случайная величина Х при-
мет значение, равное хi: рi = Р(Х = хi), i = 1, 2,…, n. 

Справедливо равенство р1 + р2 + … + рn = 1. 

– 4 – 

Однако если множество значений дискретной случайной величины 

бесконечно (счётно) или случайная величина непрерывна, то такой 
способ её задания (табличный) невозможен. 

Это указывает на необходимость описать общий способ задания 

случайных величин любого типа. С этой целью и вводят понятие 
функции распределения вероятностей случайной величины. 

 

§ 2. Функции распределения вероятностей случайной величины 

Пусть х – любое действительное число. 
Определение: Вероятность события, состоящего в том, что случайная 
величина Х примет значение, меньшее х – то есть вероятность события (
Х < х), – обозначают через F(х) и называют функцией распределения 
вероятностей. Таким образом, F(х) = Р(Х < х). 

Геометрически равенство из определения означает, что F(х) есть 

число, равное вероятности того, что случайная величина Х примет значение, 
которое изображается на числовой прямой оси точкой, лежащей 
левее точки х. 

Вместо термина «функция распределения» используют иногда термин «
интегральная функция». 

 

§ 3. Свойства функции распределения 

Свойство 3.1: 0 ≤ F(х) ≤ 1, так как F(х) – это вероятность события. 
Свойство 3.2: F(х) – неубывающая функция, то есть если х2 > х1, то 

F(х2) ≥ F(х1). 

Доказательство. В самом деле, при х2 > х1 событие (Х < х1) влечёт 

событие (Х < х2). А это значит, что и вероятность Р(Х < х1) не превзой-
дёт вероятности Р(Х < х2): Р(Х < х1) ≤ Р(Х < х2), то есть F(х1) ≤ F(х2). 

Далее очевидно, что F(–∞) = 0, F(+∞) = 1, так как график функции 

распределения заключён между двумя горизонтальными асимптотами: 
у = 0 при х  –∞ и у = 1 при х  +∞. ■ 

Свойство 3.3: Р(а < Х < b) = F(b) – F(а). 
Это свойство обычно формулируют так: вероятность того, что 

случайная величина Х примет значение, находящееся в интервале 
(а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале. 

Доказательство. Событие (Х < b), состоящее в том, что случайная 

величина Х примет значение, меньшее b, можно разделить на два 

– 5 – 

несовместных события: первое событие (Х < а) состоит в том, что слу-
чайная величина Х примет значение, меньшее а, с вероятностью 
Р(Х < а); второе событие (а < Х < b) состоит в том, что случайная вели-
чина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), с искомой 
вероятностью Р(а < Х < b). 

Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий 
 
Р(Х < b) = Р(Х < а) + Р(а < Х < b), 

 
откуда и выразим искомую вероятность: 

 
Р(а < Х < b) = Р(Х < b) – Р(Х < а) = F(b) – F(а). ■ 
 
Свойство 3.4 (парадокс непрерывности): Для непрерывной слу-

чайной величины Р(Х = х0) = 0. 

Это свойство обычно формулируют так: вероятность того, что не-

прерывная случайная величина примет конкретное значение х0, равна 
нулю. 

Доказательство. Пусть Х – непрерывная случайная величина и ее 

функция распределения F(х) непрерывна в окрестности точки х0. 
Найдем вероятность Р(Х = х0), использовав свойство 3.3, положив в 
нем а = х0, b = х0 + х и устремив х к нулю: 

0
lim


х
Р(х0 < Х < х0 + х) = 

0
lim


х
(F(х0 + х) – F(х0)) = 0 в силу непре-

рывности функции F(х). ■ 

Поэтому для любой непрерывной случайной величины вероят-

ность Р( Х = х0) = 0, то есть равна нулю вероятность события (Х = х0), 
значит, это событие – невозможное, хотя при испытании случайная 
величина обязательно примет какое-то значение, поэтому оно – 
не невозможное! 

При классическом определении вероятности, когда полная группа 

событий состоит из конечного их количества, вероятность невозмож-
ного события равна нулю. Верно и обратное: событие, вероятность 
которого равна нулю, – невозможное. 

А вот для непрерывной случайной величины такое обратное утвер-

ждение неверно. 

– 6 – 

Пример 3.1. Случайная величина Х задана функцией распределения 

F(х) = 
 

3
 
при
          
1 

3
1
 
при
  
4
1

4

1
 
при
         
0 
























х

х
х

х

. Найти Р(0 < Х < 2). 

Решение: По свойству 3.3 получим: 

Р(0 < Х < 2) = F(2) – F(0) = 















4
1

4
0

4
1

4
2
 = 

4
2  = 

2
1 . 

В силу свойств 3.3 и 3.4 справедливы следующие равенства: 
 
Р(а < Х < b) = Р(а ≤ Х ≤ b) = Р(а ≤ Х < b) = Р(а < Х ≤ b). 
(*) 

 
Потому не говорят о вероятности того, что непрерывная случайная 

величина примет одно определенное значение, – говорят о вероятности 
попадания непрерывной случайной величины в интервал (промежуток). 

Свойство 3.5 (функция распределения дискретной случайной ве-

личины). 

Пусть дискретная случайная величина задана законом распределе-

ния (см. § 1): 

 

Х
х1
х2
х3
…
хn

Р
р1
р2
р3
…
рn

 

и хi < хi + 1, 
1

1




n

i

ip
. 

По определению F(х) = Р(Х < х). 
Для дискретной случайной величины Х принять значение, мень-

шее х, означает, что Х принимает только те значения хi, которые мень-
ше х. 

Поэтому если х ≤ х1, то очевидно F(х) = 0, так как не может случай-

ная величина принять значение, меньшее самого наименьшего. 

Если х1 < Х ≤ х2, то такое значение всего одно, а именно х1; следова-

тельно, в этом случае F(х) = Р(Х = х1) = р1. 

– 7 – 

Если х2 < Х ≤ х3, то таких значений два: х1 и х2; следовательно, в 

этом случае F(х) = Р(Х = х1) + Р(Х = х2) = р1 + р2 и т.д. 

В результате мы получим ступенчатую функцию F(х) = 

x
ix
i

ip

:
, 

непрерывную слева. 

Если рассмотреть функцию Хевисайда 









0
 
если
 ,1

0
 
если
 ,0
)
(
x
x
x
, то 

функцию распределения F(х) дискретной случайной величины Х мож-
но записать следующим образом:  

 

F(х) = 
)
(

1

i

n

i

i
x
x
p





. 

 

§ 4. Плотность распределения вероятностей 

Пусть непрерывная случайная величина Х имеет функцию 

распределения F(х), которая предполагается непрерывной и 

дифференцируемой. Тогда величину 
x

x
x
X
x







)
(
P
 естественно 

назвать средней плотностью распределения вероятностей случай-
ной величины Х в интервале (х, х + х). Но по свойству 3.3 мы по-
лучим, что Р(х < Х < х + х) = F(х + х) – F(х) =F, поэтому если 
F(х) имеет в точке х производную, то существует функция 

р(х) = 
x

x
x
X
x

х










)
(
P
lim

0
 = 
x
F

х





0
lim
 = F(х). 

Определение: Функция р(х) = F(х) называется плотностью рас-

пределения вероятностей непрерывной случайной величины Х. 

Иногда эту функцию называют также дифференциальной функцией 

распределения. 

Пример 4.1. Пусть случайная величина Х задана функцией распре-

деления F(х) = 
 

1
 
при
   
1

1
0
  
при
  

0
 
при
  
0













х

х
x

x

. Найти плотность распределения этой 

случайной величины. 

Решение. По определению плотности распределения р(х) = F(х) 

– 8 – 

получим, что р(х) = 
 

1
 
при
  
0

1
0
  
при
  
1

0
  
при
  
0













х

х

x

. 

Зная плотность распределения р(х), можно найти вероятность то-

го, что случайная величина Х удовлетворяет неравенству  < Х < , то 
есть примет значение в интервале (, ). Эту вероятность мы получим 
с помощь свойства 3.3 и формулы Ньютона–Лейбница: 

 

Р( < Х < ) = F() – F() = 






dx
x
F
)
(
 = 





dx
x
p
)
(
. 
(**) 

 
Из этого равенства и свойств функции распределения вытекают не-

которые свойства плотности распределения: 

Свойство 4.1: 






dx
x
p
)
(
 = 1, так как 






dx
x
p
)
(
 = F(+∞) – F(–∞)  = 1 – 0. 

Геометрически это свойство означает, что вся площадь криволи-

нейной трапеции, ограниченной снизу осью ОХ, а сверху – графиком 
плотности распределения, равна единице. 

Это свойство еще называют условием нормировки. 
Свойство 4.2: р(х) ≥ 0, так как F(х) – неубывающая функция, а р(х) 

как производная этой функции – всегда неотрицательна. 

Свойство 4.3: F(х) = 




х

dt
t
p )
(
 – выражение, позволяющее по плот-

ности распределения найти функцию распределения. 

Пример 4.2. Найти значение константы А, при котором функция 

р(х) = 
 

1
 
при
      
0

1
0
  
при
  

0
  
при
      
0





















х

х

х

А

x

 может являться плотностью распределения 

некоторой случайной величины. Найти ее функцию распределения и 

вероятность Р









2
1

2
1
X
. 

– 9 – 

Решение. Значение константы А найдем, применив свойство 4.1. 

Проинтегрировав выражение для плотности распределения р(х) и при-
равняв к единице, получим: 

 








dx
x
p
)
(
 = 

1

0

dx

х

А
 = 2А
х

0

1

 = 2А = 1, откуда А = 

2
1 . 

 
Тогда запишем выражение для функции распределения, использо-

вав свойство 4.3: 

 

F(х) = 




х

dt
t
p )
(
 = 
 

1
 
при
       
1

1
0
  
при
  

0
  
при
      
0















х

х
х

x

. 

 
Теперь мы можем вычислить искомую вероятность по свойству 3.3: 
 

Р









2
1

2
1
X
 = 














2
1

2
1
F
F
 = 

2
1  – 0 = 

2

1 . 

 

§ 5. Основные законы распределения вероятностей 

5.1. Равномерное распределение 
Определение: Равномерным называют распределение, плотность 

которого равна нулю во всех точках числовой прямой, кроме отрезка 
[а, b], в точках которого плотность распределения равна А: р(х) = 0 при 
х  (а, b) и р(х) = А при х  [а, b]. 

Применив условие нормировки 4.1, можно найти значение константы 
А: 

 








dx
x
p
)
(
 = 

b

а

Adx  = А∙(b – а) = 1, откуда А = 
a
b 

1
. 

 
Поэтому плотность равномерного распределения задается формулой: