Некоторые случаи нахождения частных решений для неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ   
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА  
(МИИТ)» 
________________________________________________ 
Кафедра 
«Высшая и вычислительная математика» 
 
С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч 
  
НЕКОТОРЫЕ  СЛУЧАИ 
НАХОЖДЕНИЯ  ЧАСТНЫХ  
РЕШЕНИЙ  ДЛЯ  НЕОДНОРОДНЫХ  
ЛИНЕЙНЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  
УРАВНЕНИЙ  С  ПОСТОЯННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ 
 
Москва – 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ  
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ   
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА  
(МИИТ)» 
________________________________________________ 
Кафедра 
«Высшая и вычислительная математика» 
С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч 
  
НЕКОТОРЫЕ  СЛУЧАИ 
НАХОЖДЕНИЯ  ЧАСТНЫХ  
РЕШЕНИЙ  ДЛЯ  НЕОДНОРОДНЫХ  
ЛИНЕЙНЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  
УРАВНЕНИЙ  С  ПОСТОЯННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ 
Учебно-методическое пособие для студентов 
специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН 
 
Москва – 2018 

УДК 517 
 В 25 
        Вдовина С. И., Корниенко Н. А., Субоч Н. Н. 
Некоторые случаи нахождения частных решений для 
неоднородных 
линейных 
дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами: Учебнометодическое пособие для студентов специальностей 
ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН. – М.: РУТ (МИИТ), 2018.        
–  64 с. 
        Учебно-методическое пособие содержит краткие 
теоретические сведения и задачи по неоднородным 
линейным 
дифференциальным 
уравнениям 
с 
постоянными 
коэффициентами, 
объединенные 
в 
варианты 
для 
самостоятельного 
выполнения 
учащимися. 
Учебно-методическое 
пособие 
предназначено студентам 2 курса ИТТСУ РУТ 
(МИИТ) специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН. 
 
           Рецензент: 
доцент 
кафедры 
«Прикладная 
математика 1» РУТ (МИИТ) кандидат физикоматематических 
наук 
Зверкина 
Галина 
Александровна. 
© РУТ (МИИТ), 2018 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  ВОПРОСЫ……………..….5 
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.6 
 
1. Линейные однородные дифференциальные     
уравнения с постоянными коэффициентами……8 
2. Линейные неоднородные дифференциальные 
уравнения с постоянными коэффициентами..…16 
3. Некоторые  частные  случаи  функции   
𝑓𝑓(𝑥𝑥)……………………………………………….19 
      3. 1. Правая часть уравнения  –  многочлен      
от    𝑥𝑥.……………………………………..……....19 
      3. 2. Правая часть уравнения  – произведение  
многочлена  от  𝑥𝑥  на  показательную 
функцию……………..……………………...……22 
      3. 3. Правая часть уравнения  –  произведение 
многочлена  от  𝑥𝑥  нулевой  степени  на 
тригонометрическую функцию…………………26 
3 
 

      3. 4.  Правая  часть  уравнения  𝑓𝑓(𝑥𝑥)  –        
сумма нескольких различных функций………..30 
ЗАДАНИЕ  №1. Решить дифференциальные  
уравнения……………………………….………..37 
       3. 5.  Правая  часть  уравнения   𝑓𝑓(𝑥𝑥)  –   
неспециального вида…………………………....52 
ЗАДАНИЕ   № 2. Решить дифференциальное  
уравнение……………………………………..…60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 

 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  ВОПРОСЫ   
 
1. Определение линейного дифференциального 
уравнения с постоянными коэффициентами 
(однородное и неоднородное).  
2. Характеристическое уравнение.  
3. Вид 
общего 
решения 
однородного 
дифференциального 
уравнения 
в 
зависимости от корней характеристического 
уравнения. 
4. Структура 
общего 
решения 
линейного 
неоднородного 
дифференциального 
уравнения 
5. Метод неопределенных коэффициентов при 
подборе 
частных 
решений 
линейного 
неоднородного 
дифференциального 
уравнения с правой частью специального 
вида. 
6. Дифференциальные уравнения с правой 
частью 
неспециального 
вида 
(метод 
Лагранжа). 
7. Теорема наложения решений. 
 
 
5 
 

СПИСОК  РЕКОМЕНДУЕМОЙ 
ЛИТЕРАТУРЫ 
 
          Для 
самостоятельной 
проработки 
теоретических вопросов, относящихся к разделу 
неоднородных 
линейных 
дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами курса 
«Высшая математика», изучаемого студентами 2 
курса специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН 
ИТТСУ в 1 семестре, рекомендуются учебники и 
учебные пособия, имеющиеся в достаточном 
количестве в библиотеке и читальных  залах  РУТ 
(МИИТ)  в  свободном  доступе: 
 
1. Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричикова Е. А. 
Справочник по высшей математике. – Мн.: 
Тетра Системс, 1999.  –  640 с. 
2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. 
Высшая 
математика 
в 
упражнениях и 
задачах в 2-х ч.: Учебное пособие для вузов. 
– 8-е изд., испр. – М.: Просвещение, 2012. – 
368 с.: ил. 
3. Пискунов 
Н. 
С. 
Дифференциальное 
и 
интегральное исчисление для ВТУЗОВ. – 
6