Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Некоторые случаи нахождения частных решений для неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 788078.01.99
Учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические сведения и задачи по неоднородным линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, объединенные в варианты для самостоятельного выполнения учащимися. Учебно-методическое пособие предназначено студентам 2 курса ИТТСУ РУТ (МИИТ) специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН.
Вдовина, С. И. Некоторые случаи нахождения частных решений для неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами : учебно-методическое пособие для студентов специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН / С. И. Вдовина, Н. А. Корниенко, Н. Н. Субоч. - Москва : РУТ (МИИТ), 2018. - 64 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1896883 (дата обращения: 20.07.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ   
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА  
(МИИТ)» 
________________________________________________ 
Кафедра 
«Высшая и вычислительная математика» 
 
С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч 
  
НЕКОТОРЫЕ  СЛУЧАИ 
НАХОЖДЕНИЯ  ЧАСТНЫХ  
РЕШЕНИЙ  ДЛЯ  НЕОДНОРОДНЫХ  
ЛИНЕЙНЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  
УРАВНЕНИЙ  С  ПОСТОЯННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ 
 
Москва – 2018 


МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ  
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ   
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА  
(МИИТ)» 
________________________________________________ 
Кафедра 
«Высшая и вычислительная математика» 
С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч 
  
НЕКОТОРЫЕ  СЛУЧАИ 
НАХОЖДЕНИЯ  ЧАСТНЫХ  
РЕШЕНИЙ  ДЛЯ  НЕОДНОРОДНЫХ  
ЛИНЕЙНЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  
УРАВНЕНИЙ  С  ПОСТОЯННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ 
Учебно-методическое пособие для студентов 
специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН 
 
Москва – 2018 


УДК 517 
 В 25 
        Вдовина С. И., Корниенко Н. А., Субоч Н. Н. 
Некоторые случаи нахождения частных решений для 
неоднородных 
линейных 
дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами: Учебнометодическое пособие для студентов специальностей 
ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН. – М.: РУТ (МИИТ), 2018.        
–  64 с. 
        Учебно-методическое пособие содержит краткие 
теоретические сведения и задачи по неоднородным 
линейным 
дифференциальным 
уравнениям 
с 
постоянными 
коэффициентами, 
объединенные 
в 
варианты 
для 
самостоятельного 
выполнения 
учащимися. 
Учебно-методическое 
пособие 
предназначено студентам 2 курса ИТТСУ РУТ 
(МИИТ) специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН. 
 
           Рецензент: 
доцент 
кафедры 
«Прикладная 
математика 1» РУТ (МИИТ) кандидат физикоматематических 
наук 
Зверкина 
Галина 
Александровна. 
© РУТ (МИИТ), 2018 


СОДЕРЖАНИЕ 
 
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  ВОПРОСЫ……………..….5 
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.6 
 
1. Линейные однородные дифференциальные     
уравнения с постоянными коэффициентами……8 
2. Линейные неоднородные дифференциальные 
уравнения с постоянными коэффициентами..…16 
3. Некоторые  частные  случаи  функции   
𝑓𝑓(𝑥𝑥)……………………………………………….19 
      3. 1. Правая часть уравнения  –  многочлен      
от    𝑥𝑥.……………………………………..……....19 
      3. 2. Правая часть уравнения  – произведение  
многочлена  от  𝑥𝑥  на  показательную 
функцию……………..……………………...……22 
      3. 3. Правая часть уравнения  –  произведение 
многочлена  от  𝑥𝑥  нулевой  степени  на 
тригонометрическую функцию…………………26 
3 
 


      3. 4.  Правая  часть  уравнения  𝑓𝑓(𝑥𝑥)  –        
сумма нескольких различных функций………..30 
ЗАДАНИЕ  №1. Решить дифференциальные  
уравнения……………………………….………..37 
       3. 5.  Правая  часть  уравнения   𝑓𝑓(𝑥𝑥)  –   
неспециального вида…………………………....52 
ЗАДАНИЕ   № 2. Решить дифференциальное  
уравнение……………………………………..…60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 


 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  ВОПРОСЫ   
 
1. Определение линейного дифференциального 
уравнения с постоянными коэффициентами 
(однородное и неоднородное).  
2. Характеристическое уравнение.  
3. Вид 
общего 
решения 
однородного 
дифференциального 
уравнения 
в 
зависимости от корней характеристического 
уравнения. 
4. Структура 
общего 
решения 
линейного 
неоднородного 
дифференциального 
уравнения 
5. Метод неопределенных коэффициентов при 
подборе 
частных 
решений 
линейного 
неоднородного 
дифференциального 
уравнения с правой частью специального 
вида. 
6. Дифференциальные уравнения с правой 
частью 
неспециального 
вида 
(метод 
Лагранжа). 
7. Теорема наложения решений. 
 
 
5 
 


СПИСОК  РЕКОМЕНДУЕМОЙ 
ЛИТЕРАТУРЫ 
 
          Для 
самостоятельной 
проработки 
теоретических вопросов, относящихся к разделу 
неоднородных 
линейных 
дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами курса 
«Высшая математика», изучаемого студентами 2 
курса специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН 
ИТТСУ в 1 семестре, рекомендуются учебники и 
учебные пособия, имеющиеся в достаточном 
количестве в библиотеке и читальных  залах  РУТ 
(МИИТ)  в  свободном  доступе: 
 
1. Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричикова Е. А. 
Справочник по высшей математике. – Мн.: 
Тетра Системс, 1999.  –  640 с. 
2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. 
Высшая 
математика 
в 
упражнениях и 
задачах в 2-х ч.: Учебное пособие для вузов. 
– 8-е изд., испр. – М.: Просвещение, 2012. – 
368 с.: ил. 
3. Пискунов 
Н. 
С. 
Дифференциальное 
и 
интегральное исчисление для ВТУЗОВ. – 
6 
 


СПб.: Мифрил. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1996.  
–  416 с.: ил. 
4. Письменный Д. Т. Конспект лекций по 
высшей математике. – М.: Айрис-Пресс, 
2005. – 256 с.: ил. 
5. Сборник задач по математике для всех 
специальностей. Часть III: / Под ред.           
А. Д. Мышкиса, В. Б. Минасяна – М.: 
МИИТ, 2005.  – 143 с. 
6. Шипачев В. С. Высшая математика. Полный 
курс.  –  М.: Юрайт, 2014. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 


1. Линейные однородные дифференциальные 
уравнения с постоянными коэффициентами 
          Линейным однородным дифференциальным 
уравнением  n-го  порядка  с постоянными 
коэффициентами называется уравнение вида: 
𝑦𝑦(𝑛𝑛) + 𝑎𝑎1𝑦𝑦(𝑛𝑛−1) + 𝑎𝑎2𝑦𝑦(𝑛𝑛−2) + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑦𝑦′ + 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑦𝑦= 0 , 
где: 
 
коэффициенты 
𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, … , 𝑎𝑎𝑛𝑛−1, 𝑎𝑎𝑛𝑛 −  
некоторые действительные числа.  
          Для 
нахождения 
частных 
решений 
дифференциального 
уравнения 
составляют 
характеристическое уравнение 
𝑘𝑘𝑛𝑛+ 𝑎𝑎1𝑘𝑘𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎2𝑘𝑘𝑛𝑛−2 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑘𝑘+ 𝑎𝑎𝑛𝑛= 0 , 
которое 
получается 
из 
дифференциального 
уравнения заменой в нем производных искомой 
функции соответствующими степенями  𝑘𝑘, причем 
сама 
функция 
заменяется 
единицей (𝑦𝑦→1,
    𝑦𝑦′ →𝑘𝑘,   𝑦𝑦′′ →𝑘𝑘2,   𝑦𝑦′′′ →𝑘𝑘3, … ) .
 
          Характеристическое 
уравнение 
является 
уравнением  n-ой степени и имеет  𝑛𝑛  корней, 
среди которых могут быть равные. 
8 
 


               Общее 
решение 
однородного 
дифференциального 
уравнения 
строится 
в 
зависимости 
от 
характера 
корней 
характеристического уравнения. 
              В частном случае, для однородного 
дифференциального уравнения второго порядка   
  
𝑎𝑎𝑎𝑎′′ ± 𝑏𝑏𝑏𝑏′ ± 𝑐𝑐𝑐𝑐= 0   
характеристическое  уравнение  имеют  вид:  
𝑎𝑎𝑘𝑘2 ± 𝑏𝑏𝑏𝑏± 𝑐𝑐= 0  .   
 
D > 0 
D = 0 
D < 0 
Корни 
 
 
 
 
 
𝑘𝑘1 = 𝛼𝛼+ 𝛽𝛽𝛽𝛽 
 
𝑘𝑘1 ≠𝑘𝑘2 
𝑘𝑘1 = 𝑘𝑘2 = 𝑘𝑘 
характеристического 
𝑘𝑘2 = 𝛼𝛼−𝛽𝛽𝛽𝛽 
уравнения 
Фунда 
 
 
𝑦𝑦1 = 𝑒𝑒𝛼𝛼𝛼𝛼∙cos 𝛽𝛽𝛽𝛽 
𝑦𝑦1 = 𝑒𝑒𝑘𝑘1𝑥𝑥 
𝑦𝑦1 = 𝑒𝑒𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
 
𝑦𝑦2 = 𝑒𝑒𝛼𝛼𝛼𝛼∙sin 𝛽𝛽𝛽𝛽 
 
𝑦𝑦2 = 𝑒𝑒𝑘𝑘2𝑥𝑥 
𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥∙𝑒𝑒𝑘𝑘𝑘𝑘 
ментальная 
система 
частных 
решений 
Вид об𝑦𝑦00 = 
𝑦𝑦00 = 
𝑦𝑦00 = 
щего од- 
= 𝑐𝑐1𝑦𝑦1+ 𝑐𝑐2𝑦𝑦2 = 
= 𝑐𝑐1𝑦𝑦1 +  𝑐𝑐2𝑦𝑦2 = 
= 𝑐𝑐1𝑦𝑦1+ 𝑐𝑐2𝑦𝑦2 = 
 
 
 
= 𝑐𝑐1𝑒𝑒𝑘𝑘1𝑥𝑥+ 
= 𝑒𝑒𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑐𝑐1 +  𝑐𝑐2𝑥𝑥) 
= 𝑒𝑒𝛼𝛼𝛼𝛼(𝑐𝑐1 cos 𝛽𝛽𝛽𝛽+ 
нородного 
решения 
+ 𝑐𝑐2𝑒𝑒𝑘𝑘2𝑥𝑥 
 
+ 𝑐𝑐2 sin 𝛽𝛽𝛽𝛽) 
9 
 


             Решением дифференциальным уравнением  
n-го 
порядка 
является 
всякая 
n-раз 
дифференцируемая функция   𝑦𝑦= 𝜑𝜑(𝑥𝑥), которая 
обращает данное уравнение в тождество: 
𝐹𝐹ቀ𝑥𝑥, 𝜑𝜑(𝑥𝑥), 𝜑𝜑′(𝑥𝑥), 𝜑𝜑′′(𝑥𝑥), … , 𝜑𝜑(𝑛𝑛)(𝑥𝑥)ቁ≡0 . 
           Задача Коши для уравнения состоит в том, 
чтобы 
найти 
решение 
уравнения, 
удовлетворяющее условиям   𝑦𝑦= 𝑦𝑦0,   𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦0
′ , … ,
𝑦𝑦(𝑛𝑛−1) = 𝑦𝑦0
(𝑛𝑛−1)
 при 
𝑥𝑥= 𝑥𝑥0
, 
где 
𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0,
𝑦𝑦0
′ , … , 𝑦𝑦0
(𝑛𝑛−1)  −
 заданные 
числа, 
которые 
называются 
начальными 
данными 
(начальными  условиями).  
            Функция  𝑦𝑦= 𝜑𝜑(𝑥𝑥, 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, … , 𝑐𝑐𝑛𝑛)  называется 
общим решением данного дифференциального 
уравнения 
n-го 
порядка, 
если 
при 
соответствующем 
выборе 
произвольных  
постоянных  𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, … ,  𝑐𝑐𝑛𝑛  эта функция является 
решением любой задачи Коши, поставленной для 
данного уравнения. Всякое решение, получаемое 
из общего решения при конкретных значениях  
постоянных  𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, … , 𝑐𝑐𝑛𝑛, называется частным 
решением 
этого 
уравнения. 
Иногда 
для 
10 
 


выделения 
из 
множества 
решений 
дифференциального 
уравнения 
определенного 
частного решения используют краевые условия. 
Эти условия задаются не в одной точке, а на 
концах некоторого интервала. Количество условий 
не 
должно 
превышать 
порядка 
уравнения. 
Краевые условия ставятся только для уравнений 
порядка выше первого. 
 
Пример.   Решить  уравнение  𝒚𝒚′′ −𝟕𝟕𝒚𝒚′ + 𝟔𝟔𝟔𝟔= 𝟎𝟎.  
Составим характеристическое уравнение, заменяя  
𝑦𝑦→1,   𝑦𝑦′ →𝑘𝑘;   𝑦𝑦′′ →𝑘𝑘2:  
𝑘𝑘2 −7𝑘𝑘+ 6 = 0 . 
Его корни:  𝑘𝑘1 = 6   и  𝑘𝑘2 = 1 . Каждому 
действительному простому корню соответствует 
слагаемое 𝑒𝑒6𝑥𝑥 и  𝑒𝑒𝑥𝑥, являющиеся частными 
линейно 
независимыми 
решениями. 
Общее 
решение имеет вид:    𝒚𝒚= 𝒄𝒄𝟏𝟏𝒆𝒆𝟔𝟔𝒙𝒙+ 𝒄𝒄𝟐𝟐𝒆𝒆𝒙𝒙. 
 
11