Некоторые случаи нахождения частных решений для неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ   
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА  
(МИИТ)» 
________________________________________________ 

Кафедра 
«Высшая и вычислительная математика» 

 

С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч 

  

НЕКОТОРЫЕ  СЛУЧАИ 
НАХОЖДЕНИЯ  ЧАСТНЫХ  
РЕШЕНИЙ  ДЛЯ  НЕОДНОРОДНЫХ  
ЛИНЕЙНЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  
УРАВНЕНИЙ  С  ПОСТОЯННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ 

 

Москва – 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ  

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ   
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА  
(МИИТ)» 
________________________________________________ 

Кафедра 
«Высшая и вычислительная математика» 

С.И.Вдовина, Н.А.Корниенко, Н.Н.Субоч 

  

НЕКОТОРЫЕ  СЛУЧАИ 
НАХОЖДЕНИЯ  ЧАСТНЫХ  
РЕШЕНИЙ  ДЛЯ  НЕОДНОРОДНЫХ  
ЛИНЕЙНЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  
УРАВНЕНИЙ  С  ПОСТОЯННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ 

Учебно-методическое пособие для студентов 
специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН 

 

Москва – 2018 

УДК 517 

 В 25 

        Вдовина С. И., Корниенко Н. А., Субоч Н. Н. 
Некоторые случаи нахождения частных решений для 
неоднородных 
линейных 
дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами: Учебно-
методическое пособие для студентов специальностей 
ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН. – М.: РУТ (МИИТ), 2018.        
–  64 с. 

        Учебно-методическое пособие содержит краткие 
теоретические сведения и задачи по неоднородным 
линейным 
дифференциальным 
уравнениям 
с 
постоянными 
коэффициентами, 
объединенные 
в 
варианты 
для 
самостоятельного 
выполнения 
учащимися. 
Учебно-методическое 
пособие 
предназначено студентам 2 курса ИТТСУ РУТ 
(МИИТ) специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН. 

 

           Рецензент: 
доцент 
кафедры 
«Прикладная 
математика 1» РУТ (МИИТ) кандидат физико-
математических 
наук 
Зверкина 
Галина 
Александровна. 

© РУТ (МИИТ), 2018 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  ВОПРОСЫ……………..….5 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.6 

 

1. Линейные однородные дифференциальные     
уравнения с постоянными коэффициентами……8 

2. Линейные неоднородные дифференциальные 
уравнения с постоянными коэффициентами..…16 

3. Некоторые  частные  случаи  функции   
����(����)……………………………………………….19 

      3. 1. Правая часть уравнения  –  многочлен      
от    ����.……………………………………..……....19 

      3. 2. Правая часть уравнения  – произведение  
многочлена  от  ����  на  показательную 
функцию……………..……………………...……22 

      3. 3. Правая часть уравнения  –  произведение 
многочлена  от  ����  нулевой  степени  на 
тригонометрическую функцию…………………26 

3. 4.  Правая  часть  уравнения  ����(����)  –        
сумма нескольких различных функций………..30 

ЗАДАНИЕ  №1. Решить дифференциальные  
уравнения……………………………….………..37 

       3. 5.  Правая  часть  уравнения   ����(����)  –   
неспециального вида…………………………....52 

ЗАДАНИЕ   № 2. Решить дифференциальное  
уравнение……………………………………..…60 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ  ВОПРОСЫ   
 

1. Определение линейного дифференциального 
уравнения с постоянными коэффициентами 
(однородное и неоднородное).  
2. Характеристическое уравнение.  
3. Вид 
общего 
решения 
однородного 
дифференциального 
уравнения 
в 
зависимости от корней характеристического 
уравнения. 
4. Структура 
общего 
решения 
линейного 
неоднородного 
дифференциального 
уравнения 
5. Метод неопределенных коэффициентов при 
подборе 
частных 
решений 
линейного 
неоднородного 
дифференциального 
уравнения с правой частью специального 
вида. 
6. Дифференциальные уравнения с правой 
частью 
неспециального 
вида 
(метод 
Лагранжа). 
7. Теорема наложения решений. 

 

 

СПИСОК  РЕКОМЕНДУЕМОЙ 
ЛИТЕРАТУРЫ 
 

          Для 
самостоятельной 
проработки 
теоретических вопросов, относящихся к разделу 
неоднородных 
линейных 
дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами курса 
«Высшая математика», изучаемого студентами 2 
курса специальностей ТКТ, ТСС, ТМО, ТМН 
ИТТСУ в 1 семестре, рекомендуются учебники и 
учебные пособия, имеющиеся в достаточном 
количестве в библиотеке и читальных  залах  РУТ 
(МИИТ)  в  свободном  доступе: 
 
1. Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричикова Е. А. 
Справочник по высшей математике. – Мн.: 
Тетра Системс, 1999.  –  640 с. 
2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. 
Высшая 
математика 
в 
упражнениях и 
задачах в 2-х ч.: Учебное пособие для вузов. 
– 8-е изд., испр. – М.: Просвещение, 2012. – 
368 с.: ил. 
3. Пискунов 
Н. 
С. 
Дифференциальное 
и 
интегральное исчисление для ВТУЗОВ. – 

СПб.: Мифрил. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1996.  
–  416 с.: ил. 
4. Письменный Д. Т. Конспект лекций по 
высшей математике. – М.: Айрис-Пресс, 
2005. – 256 с.: ил. 
5. Сборник задач по математике для всех 
специальностей. Часть III: / Под ред.           
А. Д. Мышкиса, В. Б. Минасяна – М.: 
МИИТ, 2005.  – 143 с. 
6. Шипачев В. С. Высшая математика. Полный 
курс.  –  М.: Юрайт, 2014. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Линейные однородные дифференциальные 
уравнения с постоянными коэффициентами 

          Линейным однородным дифференциальным 
уравнением  n-го  порядка  с постоянными 
коэффициентами называется уравнение вида: 

����(����) + ����1����(����−1) + ����2����(����−2) + ⋯ + ��������−1����′ + ������������ = 0 , 

где: 
 
коэффициенты 
����1, ����2, … , ��������−1, ��������  −  
некоторые действительные числа.  

          Для 
нахождения 
частных 
решений 
дифференциального 
уравнения 
составляют 
характеристическое уравнение 

�������� + ����1��������−1 + ����2��������−2 + ⋯ + ��������−1���� + �������� = 0 , 

которое 
получается 
из 
дифференциального 
уравнения заменой в нем производных искомой 
функции соответствующими степенями  ����, причем 
сама 
функция 
заменяется 
единицей (���� → 1,
    ����′ → ����,   ����′′ → ����2,   ����′′′ → ����3, … ) .
 
          Характеристическое 
уравнение 
является 
уравнением  n-ой степени и имеет  ����   корней, 
среди которых могут быть равные. 

Общее 
решение 
однородного 
дифференциального 
уравнения 
строится 
в 
зависимости 
от 
характера 
корней 
характеристического уравнения. 

              В частном случае, для однородного 
дифференциального уравнения второго порядка   
  
��������′′ ± ��������′ ± �������� = 0   

характеристическое  уравнение  имеют  вид:  

��������2 ± �������� ± ���� = 0  .   

D > 0
D = 0
D < 0

Корни
характе-
ристи-
ческого 

уравнения

 

����1 ≠ ����2 

 

����1 = ����2 = ���� 

����1 = ���� + �������� 

 

����2 = ���� − �������� 

Фунда-

мен-
тальная 
система 
частных 
решений 

����1 = ��������1���� 
 
����2 = ��������2���� 

����1 = ������������ 
 
����2 = ���� ∙ ������������ 

����1 = ������������ ∙ cos �������� 
 
����2 = ������������ ∙ sin �������� 

Вид об-
щего од- 
нородного 
решения 

����00 =

= ����1����1+ ����2����2 = 

 

= ����1��������1���� + 
+ ����2��������2����

����00 =

= ����1����1 + ����2����2 = 

 

= ������������(����1 + ����2����) 

����00 =

= ����1����1+ ����2����2 = 

 

= ������������(����1 cos �������� + 

+ ����2 sin ��������)

Решением дифференциальным уравнением  
n-го 
порядка 
является 
всякая 
n-раз 
дифференцируемая функция   ���� = ����(����), которая 
обращает данное уравнение в тождество: 

���� ����, ����(����), ����′(����), ����′′(����), … , ����(����)(����)≡ 0 . 

           Задача Коши для уравнения состоит в том, 
чтобы 
найти 
решение 
уравнения, 
удовлетворяющее условиям   ���� = ����0,   ����′ = ����0
′ , … ,

����(����−1) = ����0
(����−1)
 при 
���� = ����0
, 
где 
����0, ����0,

����0
′ , … , ����0
(����−1)  −
 заданные 
числа, 
которые 
называются 
начальными 
данными 
(начальными  условиями).  

            Функция  ���� = ����(����, ����1, ����2, … , ��������)  называется 
общим решением данного дифференциального 
уравнения 
n-го 
порядка, 
если 
при 
соответствующем 
выборе 
произвольных  
постоянных  ����1, ����2, … ,  ��������  эта функция является 
решением любой задачи Коши, поставленной для 
данного уравнения. Всякое решение, получаемое 
из общего решения при конкретных значениях  
постоянных  ����1, ����2, … , �������� , называется частным 
решением 
этого 
уравнения. 
Иногда 
для 

выделения 
из 
множества 
решений 
дифференциального 
уравнения 
определенного 
частного решения используют краевые условия. 
Эти условия задаются не в одной точке, а на 
концах некоторого интервала. Количество условий 
не 
должно 
превышать 
порядка 
уравнения. 
Краевые условия ставятся только для уравнений 
порядка выше первого. 

 

Пример.   Решить  уравнение  ����′′ − ��������′ + �������� = ����.  

Составим характеристическое уравнение, заменяя  
���� → 1,   ����′ → ����;   ����′′ → ����2:  

����2 − 7���� + 6 = 0 . 

Его корни:  ����1 = 6   и  ����2 = 1 . Каждому 
действительному простому корню соответствует 
слагаемое ����6����  и  �������� , являющиеся частными 
линейно 
независимыми 
решениями. 
Общее 
решение имеет вид:    ���� = �������������������� + ����������������.