Математическое моделирование

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования 

 «Российский университет транспорта (МИИТ)» 

_________________________________________________________ 

 

Институт транспортной техники и систем управления 

 

Кафедра «Теплоэнергетика железнодорожного транспорта» 

 

 

 

А.В. Дмитренко 

Математическое моделирование 

 

 

 

 

Учебно-методическое пособие к практическим и  

лабораторным работам по дисциплине 

«Математическое моделирование»  

 

 

 

Москва – 2018 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования 

 «Российский университет транспорта (МИИТ)» 

________________________________________________________ 

 

 

Институт транспортной техники и систем управления 

 

Кафедра «Теплоэнергетика железнодорожного транспорта» 

 

 

 

А.В. Дмитренко 

 

Математическое моделирование 

Учебно-методическое пособие  

для магистров по направлению  подготовки  

13.04.01 «Теплоэнергетика и теплотехника» 

профиль подготовки «Энергосберегающие процессы и технологии» 

 

 

 

 

Москва – 2018 

УДК 519.9 

Д53 

 

 Дмитренко А.В.  Математическое моделирование: Учебно-методическое пособие к практическим 

и лабораторным работам по дисциплине  «Математическое моделирование».  – М: РУТ (МИИТ), 2018.  
– 32 с. 

 

 
Учебно-методическое пособие соответствует рабочей программе для направления подготовки 

магистров «Теплоэнергетика и Теплотехника» специализации «Промышленная теплоэнергетика». 
Пособие предназначено для выполнения студентами курса практических и  лабораторных работ по 
дисциплине «Математическое моделирование». В пособии представлены описания и указания по 
выполнению 
практических 
и 
лабораторных 
работ 
по 
темам: 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
МОДЕЛЬ 

ДВУХСТУПЕНЧАТОГО 
КОМПРЕССОРА 
С 
ПРОМЕЖУТОЧНЫМ 
И 
КОНЦЕВЫМ 
ОХЛАДИТЕЛЯМИ, 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
МОДЕЛЬ 
ПЛАСТИНЧАТОГО 
ТЕПЛООБМЕННИКА. 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
МОДЕЛЬ 

ВОДОГРЕЙНОЙ КОТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ, РАБОТАЮЩЕЙ НА ГАЗОВОМ ТОПЛИВЕ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
МОДЕЛЬ ГАЗОТУРБИННОЙ УСТАНОВКИ, РАБОТАЮЩЕЙ НА ПРИРОДНОМ ГАЗЕ. 

 

 

Рецензент: 

Профессор кафедры  «Теплофизика» 

НИЯУ «МИФИ» Харитонов  В.С. 

 

 

 

 

 
 
 
 

©РУТ (МИИТ), 2018 

 

 

 

 

Содержание 

1.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХСТУПЕНЧАТОГО 
КОМПРЕССОРА С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ КОНЦЕВЫМ 
ОХЛАДИТЕЛЯМИ …………….………………………………………………4 

Практическое занятие№1……………….……………………………………….4 

Лабораторная работа №1……………….………………………………………..7 

2.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОДОГРЕЙНОЙ КОТЕЛЬНОЙ  

    УСТАНОВКИ, РАБОТАЮЩЕЙ НА ГАЗОВОМ ТОПЛИВЕ…………..9 

Практическое занятие№2…………………………………………………………9 

Лабораторная работа №2……………………..…………………………………13 

3.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИНЧАТОГО 
ТЕПЛООБМЕННИКА………………………………………………………...16 

Практическое занятие№3………………………………………….……………16 

Лабораторная работа №3……………………………………………………..…17 

4.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГАЗОТУРБИННОЙ УСТАНОВКИ, 
РАБОТАЮЩЕЙ НА ПРИРОДНОМ ГАЗЕ………………………………….25 

Практическое занятие№4…………………………………………………….…..25 

Лабораторная работа №4………………………………………..…………….….30 

 

Список литературы………………………………………………………………..32 

 

 

 

 

 

 

1.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХСТУПЕНЧАТОГО 
КОМПРЕССОРА С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ И КОНЦЕВЫМ 

ОХЛАДИТЕЛЯМИ. 

Практическое занятие№1. 

Графическая модель двухступенчатого компрессора. 

 

Рис. 1. Графическая модель котельной установки.   

ВФ – воздушный фильтр; К1, К2 – первая и вторая ступень компрессора; ЭД – 
электродвигатель; ПО – промежуточный охладитель; КО – концевой 
охладитель. 

 

Математическая модель двухступенчатого компрессора. 

Исходными данными для расчёта компрессора являются его подача Q, и 
компрессия (степень повышения давления) β. Задаются следующие начальные 
условия: давление pнв и температура tнв наружного воздуха. Расход воздуха на 
протяжении всего тракта одинаков и равен подаче компрессора Q. 

Cначала рассчитаем степень повышения давления первой ступени: 

Δpвф

pвх1, pвых1, tвх1, tвых1, β1, η1

Nэл, ηэл, ηмех
pвхпо, pвыхпо,

tвхпо, tвыхпо,

εпоt

pвхко, pвыхко, tвхко, tвыхко, εкоt

pвх2, pвых2, tвх2, tвых2, β2, η2

pнв, tнв

pк, tк, Q, β

Где ε – степень недокомпрессии первой ступени (0,92…0,98). 

Далее определим давление и температуру газа после ступени сжатия: 

 

 

Где 
 – давление наружного воздуха; 
 – потеря давления на воздушном 

фильтре; n – показатель политропы (1,25…1,35).  

Выразив 
 получим:  

 

Для упрощения математического моделирования охлаждение в охладителях 
принимаем 
изобарным, 
поэтому 
. 
Рабочий 

температурный коэффициент охладителя принимаем εпоt = 0,86…0,94. Тогда 
температура на выходе из промежуточного охладителя: 

 

Давление на выходе из второй ступени компрессора должно ровняться 
давлению исходного воздуха, умноженного на степень сжатия компрессора, то 
есть: 

 

С другой стороны: 

 

Значит, степень сжатия второй ступени компрессора будет равна: 

 

Температура газа на выходе из второй ступени будет равна: 

 

Так как принято, что охлаждение происходит при постоянном давлении, то 
давление на выходе из компрессорной установки будет равно давлению после 
второй ступени компрессора 
. Температура на выходе из 

концевого охладителя будет рассчитана по формуле: 

 

Далее рассчитаем необходимую мощность на валу компрессора: 

 

Где 
 и 
 – механический КПД компрессора первой и второй ступени, 

зависящий от конструкции (0,88…0,96). В данном случае можно принять, что 

, так как компрессор выполнен в едином корпусе и механическая 

передача осуществляется через единый вал. Учитывая, что 
 получим: 

 

Требуемая мощность приводного электродвигателя будет равна: 

 

Где 
 – электрический КПД электродвигателя(0,87…0,97), 
 – КПД 

механической передачи (0,97…0,99). 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа №1 

Моделирование отклонений входных параметров. 

В 
данной 
системе 
можно 
смоделировать 
неисправность 
приводного 

электродвигателя, так как все остальные параметры можно изменить в основном 
ходе моделирования. Представим, что из-за перепадов напряжения в сети 
приводной электродвигатель уменьшает выходную мощность на ΔN.  

Если изменения задаются в процентных единицах 
 %; тогда абсолютные 

величины изменений будут равны: 

 

Тогда 
фактическая 
мощность 
электродвигателя 
при 
моделировании 

неисправности будет равна: 

 

Мощность, приходящая на вал компрессора, будет равна: 

 

Пропорционально мощности уменьшится степень повышения давления и подача 
компрессора. В зависимости от конструкции компрессора и режимов его работы 
пропорциональность уменьшения давления к подаче относительно мощности 
разная, и её можно найти из напорной характеристики компрессора, указанной в 
паспорте как pраб/Qраб=ζ. 

. 

Рис. 2 Напорная характеристика компрессора. 

Для упрощения расчётов примем, что пропорциональность pраб/Qраб не 
изменяется при любой мощности. Учитывая, что напорная характеристика 
составляется при нормальных условиях, она будет равна: 

 

Тогда фактическая подача и давление компрессора будут равны: 

 

 

Результаты расчётов должны показать, на сколько изменились подача и 
давление компрессора при уменьшении мощности электрического тока на 
клеммах приводного электродвигателя. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОДОГРЕЙНОЙ КОТЕЛЬНОЙ 

УСТАНОВКИ, РАБОТАЮЩЕЙ НА ГАЗОВОМ ТОПЛИВЕ. 

Практическое занятие№2.  

Графическая модель котельной установки. 

 

Рис.3  Графическая модель котельной установки.   

ВВ – воздушный вентилятор; ПВВ – привод воздушного вентилятора; КУ – 
котельная установка; ПЛ – прямая линия; ОЛ – обратная линия. 

 

Математическая модель котельной установки. 

Исходными данными для любой котельной установки является мощность, или 
теплопроизводительность котлоагрегата, Qк, Вт. Далее, в зависимости от 
конструкции, находится КПД котла ηк, который характеризует сколько 
выделившегося от сгорания топлива тепла переходит к конвективной 
поверхности: 

 

Где 
 – потеря теплоты с уходящими газами; 
 – потеря теплоты от 

химической неполноты сгорания (для газа 0…0,5%); 
 – потеря теплоты через 

наружные стенки (обычно 0,4…2%). 

Потеря теплоты с уходящими газами 
 находится по следующей формуле: 

tнв, hнв, pнв, ρв, Vв

tт, hт, pт, B, Qрн, dг, ρг
состав

tвхвв, tвыхвв, hвхнв, hвхнв, pвхвв, pвыхвв, Vвв, Nвв, ηвв

Nэд, ηэл, ηмех

tол, pв, Gв

tпл, pв, Gв

tдг, pдг, Vдг

Qк, q2, q3, q5, Fкп, kкп, pкс, tкс

Где 
 – энтальпия уходящих газов при температуре дымовых газов tдг, 

выходящих из топки;
 – энтальпия воздуха, вносимого в топку; 
 – 

коэффициент избытка воздуха (для сжигания газа, обычно, 1,03…1,09); 
 – 

рабочая располагаемая теплота в топке. 

 

Где 
 и 
 – энтальпии и плотности топлива и воздуха, вносимого в 

топку; 
 – рабочая низшая теплота сгорания топлива. 

Расход топлива, подаваемого в топку, вычисляется по следующей формуле: 

 

Далее принимаем температуру топлива tт, энтальпию топлива hт, давление 
топлива pт согласно параметрам топлива и технологическим особенностям 
топливной аппаратуры. 

Далее необходимо определить объём воздуха, подаваемый в камеру сгорания 
котла. Он находится исходя из состава сжигаемого топлива по следующей 
формуле: 

 

Где 
, 
, 
, 
, 
,
 – процентное содержание компонентов в 

топливе, 
 и  – соответствующие коэффициенты при углеводородах. 

Воздушный вентилятор ВВ обеспечивает необходимую подачу воздуха Vвв в 
камеру сгорания котлоагрегата, а так же поддерживает необходимое давление 
pвыхвв для работы форсунок. Входные и выходные значения температур и 
энтальпий различаются минимально, так что их разницей можно пренебречь:  

 

Мощность вентилятора находится из следующего уравнения: