Исследование на экстремумы функций одной переменной
Исследование экстремумов функций одной переменной: Краткий обзор
Данное учебно-методическое пособие, разработанное А.И. Гусевым для студентов экономических специальностей Российского университета транспорта (МИИТ), посвящено исследованию экстремумов функций одной переменной. В работе представлен как теоретический материал, так и практические примеры, иллюстрирующие методы нахождения экстремумов для функций, заданных в явном, неявном и параметрическом виде.
Монотонность функций и ее связь с производной
В начале пособия рассматриваются понятия возрастания и убывания функций, а также строго монотонных функций. Ключевым элементом является теорема, устанавливающая связь между монотонностью функции и знаком ее производной. Согласно этой теореме, функция является неубывающей на отрезке, если ее производная неотрицательна на этом отрезке, и невозрастающей, если производная неположительна. Достаточные условия возрастания и убывания также обсуждаются, подчеркивая, что положительность производной на интервале гарантирует возрастание функции на этом интервале. Приводятся примеры, демонстрирующие, что обратное утверждение не всегда верно.
Экстремумы функций: Необходимые и достаточные условия
Основное внимание уделяется исследованию экстремумов функций. Вводится понятие локального максимума и минимума, а также локального экстремума. Теорема Ферма формулирует необходимое условие существования экстремума: экстремум может существовать только в точках, где производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими. Далее рассматриваются достаточные условия экстремума, включая анализ знака первой производной при переходе через критическую точку. Также приводится достаточный признак, основанный на знаке второй производной.
Практическое применение: Алгоритм исследования и примеры
Представлено правило исследования функции на экстремум, включающее поиск критических точек, анализ знака производной и определение точек экстремума. Приводятся примеры решения задач, иллюстрирующие применение этих методов. Рассматривается нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, что включает в себя поиск критических точек, вычисление значений функции в этих точках и на концах отрезка.
Дополнительные аспекты: Выпуклость, асимптоты и построение графиков
В пособии также рассматриваются вопросы, связанные с направлением выпуклости графика функции и нахождением точек перегиба. Теорема, связывающая знак второй производной с направлением выпуклости, подробно объясняется. Отдельное внимание уделяется асимптотам графика функции, включая вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты, а также методам их нахождения. В заключение предлагается схема построения графика функции, включающая все рассмотренные аспекты, от области определения до анализа асимптот и экстремумов. В конце пособия представлены индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов.
Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Российский университет транспорта (МИИТ)» ___________________________________________________ Кафедра «Математика» А.И. ГУСЕВ ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебно-методическое пособие Москва – 2018
Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Российский университет транспорта (МИИТ)» _____________________________________________________ Кафедра «Математика» А.И. Гусев ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей Москва – 2018
УДК 517
Г 96
Гусев А.И. Исследование на экстремумы функций одной переменной:
Учебно-методическое пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 21 с.
В
учебно-методическом пособии представлен теоретический и
практический материал для нахождения экстремума функций одной
переменной. Рассмотрены явный, неявный и параметрический вид задания
функций.
Изложенный
материал
иллюстрируется
большим
количеством
примеров и задач разного уровня сложности.
Учебно-методическое пособие содержит варианты индивидуальных
заданий.
Рецензент д.т.н., профессор кафедры «Высшая математика» РУТ (МИИТ)
Е.П.Корольков
© РУТ (МИИТ), 2018