Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Конспект лекций для студентов первого курса
Покупка
Основная коллекция
Артикул: 788068.01.99
Конспект лекций составлен по материалам лекций по высшей математике, прочитанных в течение сорока лет студентам специальности «Вагоны и вагонное хозяйство». В настоящем курсе рассматриваются понятия вектора, действия над ними, линейная комбинация векторов, их зависимость и независимость, базис, система координат. В аналитической геометрии вводятся понятия линии и поверхности, дается определение их уравнений. Рассматриваются решения основных геометрических задач. Применение рассматриваемых понятий иллюстрируются рисунками и примерами. Конспект может быть использован студентами других специальностей.
Корольков, Е. П. Векторная алгебра и аналитическая геометрия : конспект лекций для студентов первого курса / Е. П. Корольков. - Москва : РУТ (МИИТ), 2018. - 56 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1896873 (дата обращения: 23.07.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  

ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

__________________________________________ 

 

Кафедра 

«Высшая и вычислительная математика» 

 
 

Е.П.Корольков 

 
 
 

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 

 

 

 

Конспект лекций 

 
 
 
 
 
 
 

Москва - 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  

ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

__________________________________________ 

 

Кафедра 

«Высшая и вычислительная математика» 

 
 

Е.П.Корольков 

 
 
 

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 

 

 

 

Конспект лекций 

для студентов первого курса 

специальности «Вагоны и вагонное хозяйство» 

 
 
 
 
 

Москва - 2018 

УДК 514 
К – 68 
 
Корольков Е.П. Векторная алгебра и аналитическая геометрия: Конспект лекций для студентов 
первого курса. –М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 56 с. 
 
 

       Конспект лекций составлен по материалам 
лекций по высшей математике, прочитанных в течение сорока лет студентам специальности «Вагоны и вагонное хозяйство». В настоящем курсе 
рассматриваются понятия вектора, действия над 
ними, линейная комбинация векторов, их зависимость и независимость, базис, система координат. 
В аналитической геометрии вводятся понятия линии и поверхности, дается определение их уравнений. Рассматриваются решения основных геометрических задач.  Применение рассматриваемых 
понятий иллюстрируются рисунками и примерами.  Конспект может быть использован студентами других специальностей. 
 
Рецензенты: профессор кафедры «Прикладная математика 1»  РУТ (МИИТ) д.ф.-м.н. Волосов Константин Александрович; 

профессор, главный научный сотрудник Федерального исследовательского центра «Информатика и управление»  РАН  
д.ф.-м.н. Дружинина Ольга Валентиновна  
    
 
 
 
© РУТ (МИИТ), 2018 

 

Оглавление 

Лекция 1. .............................................................. 5 

§1 Основные понятия и определения ................... 6 

§2 Действия с векторами........................................ 7 

Лекция 2 ............................................................... 9 

§3 Линейная комбинация и линейная 
независимость векторов ......................................... 9 

§4 Базис. Действия с векторами, заданными в 
базисе ..................................................................... 12 

Лекция 3 ............................................................. 14 

§5 Декартова система координат ........................ 14 

§6 Определение координат вектора по 
координатам его начала и конца.Деление отрезка 
в заданном отношении. ........................................ 16 

Скалярное, векторное и смешанное произведения ... 18 

Лекция 4 ............................................................. 18 

§7 Скалярное  произведение векторов ............... 19 

Лекция 5 ............................................................. 22 

§8 Векторное произведение ................................. 22 

§9 Смешанное произведение трех векторов. ..... 24 

Лекция 6 ............................................................. 28 

§10 Понятие уравнения геометрического тела .. 28 

§11. Уравнение плоскости и прямой на плоскости
 ................................................................................ 30 

§12. Взаимное расположение плоскостей. 
Взаимное     расположение прямых на плоскости.
 ................................................................................ 32 

Лекция 7. ............................................................ 34 

§13 Расположение плоскостей в зависимости от 
коэффициентов уравнения Ax + By + Cz + D = 0
 ................................................................................ 34 

§14 Векторно – параметрическое уравнение 
прямой в пространстве ......................................... 38 

Лекция 8 Канонические уравнения прямой в 
пространстве и на плоскости............................ 40 

§15 Частные уравнения прямой на плоскости ... 40 

§16 Взаимное расположение прямых в 
пространстве. ......................................................... 44 

Лекция 9 ............................................................. 47 

§17 Прямая в пространстве как пересечение двух 
плоскостей ............................................................. 47 

§18 Уравнение плоскости и прямой на плоскости 
в нормальном виде ................................................ 48 

Лекция 10 ........................................................... 50 

§19 Применение теории векторной алгебры и 
аналитической  геометрии для решения 
некоторых задач .................................................... 50 

 

 

Введение 
Лекция 1.  

Величиной называется все то, что может 

быть измерено и выражено числом. Например: 
температура, скорость, объём, напряжение, сила и 
т.д. 

Если величину можно характеризовать чис
лом, то она называется скалярной. Если же для характеристики необходимо указать еще направление, то она называется векторной. 

Величины могут быть постоянными и пере
менными. Постоянной называется величина, которая в процессе не меняет своего значения. Постоянные величины принято обозначать первыми 
прописными буквами латинского алфавита – a, b, 
c, d,….. Если постоянная величина векторная, то 
сверху буквы ставится стрелка - 
b
a


,
и т.д. Пере
менные  величины – последними буквами латинского алфавита – x, y, z, t, u ,…… 

(
u
y
x



,
,
и т.д.). В книжных изданиях нередко 

векторы обозначают жирным шрифтом без 
стрелки сверху a, b, c, x, y, z и т.д. 

Разрабатывая математический аппарат, ме
тоды вычисления, величины абстрагируются от 
физического смысла, т.е. не принимают во внимание физический смысл величин. В результате математический аппарат может быть применен в любых отраслях науки и техники. 
Векторная алгебра 

§1 Основные понятия и определения   

Вектором называется направленный отре
зок. Исходя из определения, вектор характеризуется длиной (модулем) и направлением.  Направление  вектора можно указывать началом и концом его, обозначая их заглавными буквами, причем первая соответствует началу, а вторая – концу 

вектора, например AB  (рис.1) или AB.Модуль 
вектора обозначают как абсолютную величину |
AB |, |AB|. 

 Нулевой вектор имеет нулевую длину и все 

возможные направления.       

  Вектор, имеющий длину равную единице, 

называется единичным. 
Два вектора, лежащих на параллельных прямых, 
называются коллинеарными (рис.2). Нулевой вектор является коллинеарным       любому   вектору. 
Три вектора называются компланарными, если 
они лежат в параллельных плоскостях или в одной 
плоскости. Два вектора называются равными, если   
равны их модули  и они имеют одинаковое 
направление  (сонаправлены) 
.b
a



 Два  вектора 

противоположного направления и равной длины 
называются противоположными.  В математике, 
физике и технике различают три типа векторов: 
свободный, который можно переносить в любую 
точку пространства не меняя длины и направления, скользящий - переносится вдоль своего 
направления                             

и закрепленный – его нельзя переносить. В математике оперируют только со свободными векторами.  

 

§2 Действия с векторами 

Умножение вектора на скаляр. Произведе
нием вектора на скаляр называется вектор, модуль 
которого в скаляр раз больше или меньше модуля 
(данного) умножаемого вектора, сонаправленный 
с ним, если скаляр положительный, и противоположно направленный, если скаляр отрицательный. 

Пусть задан вектор a. Тогда произведением 

его на скаляр λ будет вектор  

                     b



= λ a(рис.3). 

Рассмотрим свойства произведения вектора на 
скаляр: а) сочетательное по отношению к    
произведению нескольких скаляров µ(λa)=(µλ) a.  
б) Если два вектора коллинеарны, то найдется   
скаляр, причем единственный, равный  
частному  модулей векторов. Знак скаляра зависит 
от                                                направления векторов: 

λ =

b

a




. 

AB

b
a
B

A

c
a = b = -c

Рис.2
Рис.1

Сложение векторов. Суммой двух упорядо
ченных векторов называется третий вектор, 
начало которого находится в начале первого вектора, а конец- в конце второго, перенесенного так, 
что его начало совпадает с концом первого вектора (рис.4). 

Рассмотрим свойства сложения. Сложение 

обладает:1). переместительным свойством 
b
a



= 

b


+ a.  

2.Распределиельным свойством λ(
b
a



+c) =  

= λ a +λb



+ λc

 

b=λ· a 

( λ<0)

b=λ· a

( λ>0)
a

Рис.3

3.Сочтательным свойством 
b
a



+ c

=(
b
a



)+c

=
b
a



(


+ c) 

Доказательства свойств сложения хорошо 

представлены геометрически на рис.5(а.б.в). 

Разностью двух векторов называется сумма 

уменьшаемого вектора и противоположного вычитаемому
b
a



 

 
Лекция 2 
§3 
Линейная 
комбинация 
и 
линейная 

независимость векторов 

Пусть 
дана 
некоторая 
совокупность 

векторов a1, a2,a3,a4…., aк.  Линейной комбинацией 
совокупности 
векторов 
называется 
сумма 

произведений векторов на некоторые скаляры: 
λ1a1+λ2a2+λ3a3+λ4a4+……….+λkak. 

Рис.4

Совокупность векторов называется линейно 

независимой, если ее линейная комбинация равна 
нулю когда все скаляры равны нулю, т.е. когда 
выполняется условие 
0
.......
2
2
3

2
2

2
1





к




 и 

линейно зависимой, если ее линейная комбинация 
равна нулю при каких – либо двух отличных от 
нуля скалярах λi, λj(i≠j).  
Допустим, 
что 

некоторый 
вектор 
b 
является 
линейной 

комбинацией 
совокупности 
векторов 
aк, 

(к=1,2,……,к) т.е. 

  
 
b= 

λ1a1+λ2a2+λ3a3+λ4a4+……….+λkak. 
В этом случае говорят, что вектор b разложен по 
векторам ai (i = 1,2,3,…..,k), а скаляры разложения 
λi (i=1,2,…..,k) называются Теорема1 

 Любой вектор на плоскости может быть 

разложен по двум неколлинеарным векторам. 

Доказательство. Пусть два вектора e1, e2 

неколлинеарны и произвольный вектор  a= ОМ. 
Перенесем векторы e1, e2 так, чтобы их начала 
совпали с точкой О. Через точку М проведем 
прямые паралельные векторм e1, e2 до пересечения 
с соответствущими прямыми в точках P и Q. 
Образуем векторы OPиOQ. Нетрудно видеть 
(рис.6), что вектор OP = QM и 
 

 
OM = OP + OQ 
                   (1)

 
Из рисунка 6 видна коллинеарность 

векторов OP||e1 иOQ||e2. Следовательно, согласно 
второму свойству умножения вектора на скаляр,  
найдутся такие скаляры λ и µ , что будут 
выполняться равенства                   

 

P  =  λe1, 
                                                         (2) 

           OQ  =  µ e2.                                         (3)  
Подставляя равенства (2,3) в (1), получим 

доказательство теоремы: 

  
a =  OM = λe1 + µ e2. 

Случай, 
когда 
произвольный 
вектор 

коллинеарен одному из векторов e2  или e1 или 
совпадает с ним, очевиден. 
Теорема 2 
 
Любой вектор в пространстве может быть 

разложен по трем не компланарным векторам 

Доказательство этой теоремы аналогично 

предыдущей, учитывая, что прямая параллельная 
третьему вектору e3 проводится через конец 

a)
б)

b
a




a

b


a


b




)
(
b
a




в)

Рис 5