Векторная алгебра и аналитическая геометрия

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  

ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

__________________________________________ 

 

Кафедра 

«Высшая и вычислительная математика» 

 
 

Е.П.Корольков 

 
 
 

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 

 

 

 

Конспект лекций 

 
 
 
 
 
 
 

Москва - 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  

ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

__________________________________________ 

 

Кафедра 

«Высшая и вычислительная математика» 

 
 

Е.П.Корольков 

 
 
 

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 

 

 

 

Конспект лекций 

для студентов первого курса 

специальности «Вагоны и вагонное хозяйство» 

 
 
 
 
 

Москва - 2018 

УДК 514 
К – 68 
 
Корольков Е.П. Векторная алгебра и аналитическая геометрия: Конспект лекций для студентов 
первого курса. –М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 56 с. 
 
 

       Конспект лекций составлен по материалам 
лекций по высшей математике, прочитанных в течение сорока лет студентам специальности «Вагоны и вагонное хозяйство». В настоящем курсе 
рассматриваются понятия вектора, действия над 
ними, линейная комбинация векторов, их зависимость и независимость, базис, система координат. 
В аналитической геометрии вводятся понятия линии и поверхности, дается определение их уравнений. Рассматриваются решения основных геометрических задач.  Применение рассматриваемых 
понятий иллюстрируются рисунками и примерами.  Конспект может быть использован студентами других специальностей. 
 
Рецензенты: профессор кафедры «Прикладная математика 1»  РУТ (МИИТ) д.ф.-м.н. Волосов Константин Александрович; 

профессор, главный научный сотрудник Федерального исследовательского центра «Информатика и управление»  РАН  
д.ф.-м.н. Дружинина Ольга Валентиновна  
    
 
 
 
© РУТ (МИИТ), 2018 

 

Оглавление 

Лекция 1. .............................................................. 5 

§1 Основные понятия и определения ................... 6 

§2 Действия с векторами........................................ 7 

Лекция 2 ............................................................... 9 

§3 Линейная комбинация и линейная 
независимость векторов ......................................... 9 

§4 Базис. Действия с векторами, заданными в 
базисе ..................................................................... 12 

Лекция 3 ............................................................. 14 

§5 Декартова система координат ........................ 14 

§6 Определение координат вектора по 
координатам его начала и конца.Деление отрезка 
в заданном отношении. ........................................ 16 

Скалярное, векторное и смешанное произведения ... 18 

Лекция 4 ............................................................. 18 

§7 Скалярное  произведение векторов ............... 19 

Лекция 5 ............................................................. 22 

§8 Векторное произведение ................................. 22 

§9 Смешанное произведение трех векторов. ..... 24 

Лекция 6 ............................................................. 28 

§10 Понятие уравнения геометрического тела .. 28 

§11. Уравнение плоскости и прямой на плоскости
 ................................................................................ 30 

§12. Взаимное расположение плоскостей. 
Взаимное     расположение прямых на плоскости.
 ................................................................................ 32 

Лекция 7. ............................................................ 34 

§13 Расположение плоскостей в зависимости от 
коэффициентов уравнения Ax + By + Cz + D = 0
 ................................................................................ 34 

§14 Векторно – параметрическое уравнение 
прямой в пространстве ......................................... 38 

Лекция 8 Канонические уравнения прямой в 
пространстве и на плоскости............................ 40 

§15 Частные уравнения прямой на плоскости ... 40 

§16 Взаимное расположение прямых в 
пространстве. ......................................................... 44 

Лекция 9 ............................................................. 47 

§17 Прямая в пространстве как пересечение двух 
плоскостей ............................................................. 47 

§18 Уравнение плоскости и прямой на плоскости 
в нормальном виде ................................................ 48 

Лекция 10 ........................................................... 50 

§19 Применение теории векторной алгебры и 
аналитической  геометрии для решения 
некоторых задач .................................................... 50 

 

 

Введение 
Лекция 1.  

Величиной называется все то, что может 

быть измерено и выражено числом. Например: 
температура, скорость, объём, напряжение, сила и 
т.д. 

Если величину можно характеризовать чис
лом, то она называется скалярной. Если же для характеристики необходимо указать еще направление, то она называется векторной. 

Величины могут быть постоянными и пере
менными. Постоянной называется величина, которая в процессе не меняет своего значения. Постоянные величины принято обозначать первыми 
прописными буквами латинского алфавита – a, b, 
c, d,….. Если постоянная величина векторная, то 
сверху буквы ставится стрелка - 
b
a


,
и т.д. Пере
менные  величины – последними буквами латинского алфавита – x, y, z, t, u ,…… 

(
u
y
x



,
,
и т.д.). В книжных изданиях нередко 

векторы обозначают жирным шрифтом без 
стрелки сверху a, b, c, x, y, z и т.д. 

Разрабатывая математический аппарат, ме
тоды вычисления, величины абстрагируются от 
физического смысла, т.е. не принимают во внимание физический смысл величин. В результате математический аппарат может быть применен в любых отраслях науки и техники. 
Векторная алгебра