Уравнения математической физики

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ 

ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 

Кафедра  

«Высшая и вычислительная математика» 

В.В. Трубаев, А.В. Ряднов 

 

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 

Учебное пособие 

 

 

 

 

Москва – 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ 

ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ 

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 

Кафедра  

«Высшая и вычислительная математика» 

В.В. Трубаев, А.В. Ряднов 

 

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  ФИЗИКИ 

Учебное пособие 

 для студентов технических  

специальностей ИТТСУ 

 

 

Москва – 2018 

 

УДК 517.95 

Т77 

 

 Трубаев В.В., Ряднов А.В. Уравнения математической 
физики: Учебное пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 100 с.       

        В учебном пособии рассмотрены основные типы 
уравнений математической физики: волновое уравнение, 
уравнение теплопроводности, уравнения эллиптического 
типа. Рассмотрены различные виды краевых и начальных 
условий. 
Изложение 
теоретического 
материала 

сопровождается 
многочисленными 
примерами, 

помогающими лучше усвоить теорию, а также овладеть 
основными методами решения уравнений математической 
физики.  Учебное пособие предназначено для студентов 
технических специальностей ИТТСУ. 

            

 

 

          Рецензенты: доцент кафедры «Прикладная математика» 
МИРЭА кандидат физ.-мат. наук  Воронцов А.А.; доцент 
кафедры «Математика» ИЭФ РУТ (МИИТ), кандидат физ-
мат. наук Гусев А.И.   

 

                                                     © РУТ (МИИТ), 2018 

 

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 

     Ниже рассматриваются колебания натянутой струны. 
Струной будем называть тонкую упругую нить. Примером 
струны может служить струна на гитаре Пусть в равновесном 
положении 
струна 
направлена 
вдоль 
оси 
X. 
Будем 

рассматривать отклонения точек струны в перпендикулярном 
оси x   направлении. Отклонение точки струны с координатой 
x в момент времени t будем обозначать 
)
,
(
t
x
u
. Таким 

образом, функция 
)
,
(
t
x
u
 описывает профиль струны в 

момент времени t. В качестве начального момента времени 
всегда будем рассматривать момент t=0. В положении 
равновесия струна направлена вдоль оси X и профиль струны 
определяется функцией 
0
)
,
(

t
x
u
. Если в начальный момент 

времени точки струны отклонить от положения равновесия, а 
затем струну отпустить. то точки струны начнут колебаться в 
вертикальном направлении. Если рассматривать только 
малые колебания струны, то используя законы механики, 
можно показать, что отклонения точек струны 
)
,
(
t
x
u
 

описывается дифференциальным уравнением в частных 
производных вида 

2

2

2

2

2

x
u
a
t
u







, 

где  

2
a - постоянный числовой коэффициент, определяемый 

физическими характеристиками струны. а именно  


T
a 
2

, 

где T - сила натяжения струны,   - линейная плотность 
материала струны.  Дифференциальное уравнение вида 

2

2

2

2

2

x
u
a
t
u







 

называется 
однородным 
волновым 
уравнением. 
Оно 

описывает свободные (без внешнего воздействия) колебания 
струны. Это уравнение имеет бесконечно много решений. 
Для того, чтобы оно описывало колебания конкретной 
струны, надо задать отклонения точек струны в начальный 
момент времени t=0, т.е. задать профиль струны в начальный 
момент времени, определяемый функцией 
)
0,
(x
u
. Кроме 

того, необходимо задать начальные скорости точек струны 

t
x
u




)
0,
(

. В реальности струна всегда имеет конечную 

длину. Но можно чисто теоретически рассмотреть случай, 
когда струна бесконечна. Если начальные условия 
)
0,
(x
u
 и 

t
x
u




)
0,
(

 для конечной струны (например, закрепленной на 

концах) отличны от нуля только в точках достаточно 
удаленных от концов струны, то некоторое время (пока 
колебания не дойдут до концов) колебания такой струны 
будут совпадать с колебаниями бесконечной струны с такими 

же начальными условиями. С другой стороны, как будет 
видно из дальнейшего, задача о колебаниях бесконечной 
струны решается проще, чем для конечной струны. 

        Итак, рассмотрим следующую задачу для бесконечной 
струны. Требуется найти функцию 
)
,
(
t
x
u
, удовлетворяющую 

волновому уравнению и начальным условиям 








































x

t

x
t
x
u

x
x
u

x
u
a

t
u

,0

),
(
)
0,
(

),
(
)
0,
(

2

2

2

2

2





  

Такая задача называется задачей Коши для волнового 

уравнения. Будем считать, что функция 
)
(x

 является 

дважды непрерывно дифференцируемой на промежутке 

)
,
(


, 
а 
функция 
)
(x

является 
непрерывно 

дифференцируемой на том же промежутке. Эти требования 
необходимы для последующего построения решения. 

       Эту задачу будем решать так же как решали задачу Коши 
для 
обыкновенного 
дифференциального 
уравнения. 
А 

именно, 
вначале 
найдем 
общее 
решение 
волнового 

уравнения, а затем с помощью начальных условий выделим 
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. 

        Введем новые переменные   и   

.
,
at
x
at
x






 

Найдем выражения для 

2

2

2

2

,
t
u

x
u







 

через новые переменные. Имеем 

2

2
2

2

2

2

2

2

)
(
)
(
)
(
)
(







































































































u
u
u

x

u

x

u

x

u
u

x
u

u
u

x

u

x

u

x
u

Аналогично находим 

.
2
)
(

)
(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

























































u
a
u
a
u
a
t
u

t
t
u

u
u
a
t

u

t

u

t
u

 

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, 
получаем уравнение 

.0

2









u

 

Запишем это уравнение в виде 

.0
)
(










u

 

Тогда  

)
(
1 

w
u 



, 

где 
)
(
1 
w
- произвольная непрерывная функция. Отсюда 




),
(
)
(
)
,
(
2
1





w
d
w
u
 

где 
)
(
2 
w
-произвольная функция. Так как 
)
(
1 
w
-

произвольная функция, то 







d
w
)
(
)
(
1
1
 

также является произвольной функцией. Обозначая для 
унификации обозначений  

),
(
)
(
2
2



w

 

получаем 

).
(
)
(
)
,
(
2
1








u
 

Или, переобозначая и делая обратную замену, получаем 

)
(
)
(
)
,
(
2
1
at
x
f
at
x
f
t
x
u




 

где 
)
(
),
(
2
1
s
f
s
f
 - произвольные функции, на которые мы 

наложим 
условие 
дважды 
непрерывной 

дифференцируемости. Непосредственной подстановкой этой 
функции в волновое уравнение можно убедиться, что 

)
(
)
(
)
,
(
2
1
at
x
f
at
x
f
t
x
u




 

есть решение волнового уравнения. В частности 

)
(
)
,
(
),
(
)
,
(
2
1
at
x
f
t
x
u
at
x
f
t
x
u




 

также являются решениями этого уравнения. Рассмотрим как 

ведет себя решение 
)
(
)
,
(
1
at
x
f
t
x
u


. Пусть при t=0  

)
(
)
0,
(
1 x
f
x
u

. Тогда в момент 
0
1 
t
график этой 

функции сдвинется вправо на величину 
1
at . Таким образом, 

при увеличении t график функции будет смещаться вправо, а 
форма меняться не будет. В этом случае говорят, что решение 
представляет волну, распространяющуюся в положительном 

направлении 
оси 
x. 
Аналогично, 
функция 

)
(
)
,
(
2
at
x
f
t
x
u


представляет 
волну, 

распространяющуюся в отрицательном направлении оси x, то 
есть влево. Таким образом, любое решение волнового 
уравнения есть наложение двух волн, одна из которых 
распространяется вправо, а другая влево.  

       Теперь из общего решения волнового уравнения 

)
(
)
(
)
,
(
2
1
at
x
f
at
x
f
t
x
u




 

постоим решение, удовлетворяющее начальным условиям. 
Подставляя начальные условия, получаем 

),
(
)
(
)
(
)
0,
(
2
1
x
x
f
x
f
x
u




 

).
(
)
(
)
,
(

2
1
at
x
fa
at
x
fa
t

t
x
u











 

Дифференцирование в последнем соотношении берется по 

аргументу 
функций 
)
(
),
(
2
1
s
f
s
f
. 
Из 
последнего 

соотношения получаем 

).
(
)
(
)
(
)
0,
(

2
1
x
x
fa
x
fa
t
x
u











 

Интегрируя обе части последнего равенства по отрезку 

x
,0
, 

получаем