Неопределённый интеграл

Министерство транспорта Российской Федерации 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

 «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

________________________________________________________ 

 

 

 
 

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 

 
 
 
 
 

М.М. СИРОШ 

 
 
 
 

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

 
 
 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

 

 

 

 

Москва – 2018 

 

Министерство транспорта Российской Федерации 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

 «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

________________________________________________________ 

 

 

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 

 
 
 
 
 

М.М. СИРОШ 

 
 
 
 
 
 

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

 
 

 

 
 
 

Учебно-методическое пособие 

 

для студентов направления 380301«Экономика» 

 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

Москва – 2018 

 

 

УДК 517 
С 40 

 
 
 
 
Сирош М.М. Неопределённый интеграл: Учебно-методическое  пособие. 

– М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 63 с. 

 

Учебно-методическое пособие предназначено для практических занятий 

и самостоятельной работы студентов направления «Экономика», обучающихся 
по дисциплине «Математический анализ».  

В 
пособии 
приводятся 
основные 
теоретические 
сведения 
о 

неопределённых  интегралах, рассмотрено большинство известных приёмов и 
методов интегрирования и различные классы интегрируемых функций (с 
указанием способов интегрирования). Изложение материала подкреплено 
большим количеством разобранных примеров вычисления интегралов, в конце 
каждого пункта приводятся задачи для самостоятельного решения (более 300 
задач с ответами).  

Учебно-методическое 
пособие 
включает 
материал 
по 
теме 

«Неопределённый интеграл» и  состоит из трех глав: «Понятие первообразной 
функции и неопределённого интеграла», «Основные методы интегрирования», 
«Интегрирование основных классов элементарных функций». 

Пособие 
предназначено 
для 
освоения 
на 
практике 
теории 

неопределённого 
интеграла, 
выработки 
навыков 
практического 

интегрирования, закрепления курса лекций, использования на семинарах и во 
время подготовки домашних заданий. Цель пособия – помочь студенту в 
освоении различных приёмов и методов интегрирования.  

 
 
 
 
 
Рецензент:
Н.А. Корниенко, к.т.н., доцент кафедры  «Высшая и 
вычислительная математика» РУТ (МИИТ).

 
 
 

 
 
 

© РУТ (МИИТ), 2018 

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И 
НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА 
 

1. 
Основные понятия и определения 

 

Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение 

производной заданной функции. Множество вопросов математического анализа и 
приложений в разнообразных науках приводит к обратной задаче: по данной функции f(х) 
найти такую функцию F(х), производная которой была бы равна функции f(х), т. е. 

 

F'(x) = f(х). 

Приведем примеры.  
 
Пример 1. Функция F(х) = sin 𝑥 является первообразной для функции f(х) = cos x на 

бесконечном промежутке (⎼∞; +∞), так как при любых 𝑥 выполнено равенство 
(sin 𝑥)'=cos x. 

Пример 2. Функция F(х) = ln 𝑥 - первообразная для функции f(х) = 

1

𝑥 на промежутке 

(0; +∞), так как в каждой точке этого интервала выполнено равенство (ln 𝑥)'= 

1

𝑥. 

 

Восстановление функции по известной производной этой функции — одна из 

основных задач интегрального исчисления. 

 
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на 

некотором промежутке X, если она дифференцируема на этом промежутке и удовлетворяет 
на нём уравнению F'(х) = f(х). 

Теорема 1. Пусть F(х) — первообразная для функции  f(x) на промежутке X. 

Тогда любая другая первообразная для f(x) на этом же промежутке может быть 
представлена в виде суммы F(х) + С, где С — некоторая постоянная. И, обратно, любая 
функция вида F(х)+С, где С — произвольная постоянная, является первообразной для  f(x) 
на промежутке X. 

Теорема 1 показывает, как устроено множество всех первообразных функции f(х) на 

промежутке X и позволяет ввести понятие неопределённого интеграла от функции f(x) на 
промежутке X. 

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f(x) на промежутке X 

называется неопределённым интегралом  от функции f(x) на этом промежутке и 
обозначается ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 

В этом обозначении ∫ называется знаком интеграла (это стилизованная латинская 

буква S, означающая суммирование),  функция f(x) называется подынтегральной 
функцией,  𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 — подынтегральным выражением, а переменная х — 
переменной интегрирования. 

Проинтегрировать функцию f(x) — значит найти её неопределенный интеграл. Если 

F(x) — какая-либо первообразная функции f(x) на промежутке X, то (согласно теореме 1) 
пишут  

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = F(х) + С, 

 

где С — любая постоянная, хотя правильнее писать ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = {F(х) + С}, поскольку речь 
идёт о множестве всех первообразных функции f(x) на промежутке X. Однако в силу 
установившихся традиций фигурные скобки, обозначающие множество, обычно не пишут. 

Замечание. Итак, символ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥  обозначает совокупность всех первообразных для 

функции f(x). Однако, иногда мы будем понимать его как любой элемент из этой 
совокупности, т.е. как какую-то из первообразных функции  f(x). 

Теорема 2 (Коши). Непрерывная на промежутке X функция f(x) интегрируема на 

этом промежутке. 

Следствие. Любая элементарная функция интегрируема на своей области 

определения. 

 

2. 
Основные свойства неопределённого интеграла 
 
1. 
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а 

дифференциал от неопределённого интеграла — подынтегральному выражению: 

 

(∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥)′ = f(x) и  𝑑(∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 

 
2. Неопределённый интеграл от дифференциала (дифференцируемой) функции равен 

сумме этой функции и произвольной постоянной: 

 

∫ 𝑑 𝐹(𝑥) = ∫ 𝐹′(𝑥) 𝑑𝑥 = F(х) + С. 

 

3. 
Линейность неопределённого интеграла. Если функции 
f(x) и 𝑔(𝑥) 

интегрируемы на промежутке X, то для любых 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ  функция 𝛼f(x) + 𝛽𝑔(𝑥) также 
интегрируема на промежутке X, причём 

 

∫(𝛼𝑓(𝑥)  +  𝛽𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑 𝑥 при 𝛼2 + 𝛽2 ≠ 0. 

 

В частности: 
 
3.1. 
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 

 

∫ 𝛼𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑 𝑥, если 𝛼 ≠ 0. 

 
3.2. 
Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен 

алгебраической сумме интегралов от этих функций: 

 

∫(𝑓(𝑥) ±  𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥. 

 

3. 
Обобщённая таблица основных интегралов  

 

Приведём таблицу основных интегралов с учётом свойства инвариантности формул 

интегрирования, которое заключается в следующем: если 

 

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = F(х) + С, то  ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = F(u) + С, 

 

где  𝑢 = 𝑢(х) — непрерывно-дифференцируемая функция от х. 
 

[I. ∫ 0 𝑑𝑢 = 𝐶.
II. ∫ 1 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶.
[
III. ∫ 𝑢n 𝑑𝑢 = 𝑢n+1

n + 1 + 𝐶, (n ≠ −1).

IV. ∫ 𝑑𝑢

𝑢 = ln |𝑢| + 𝐶.

[
V. ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢

ln 𝑎 + 𝐶, (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1).

VI. ∫ e𝑢 𝑑𝑢 = e𝑢 + 𝐶.

[VII. ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶.
VIII. ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = sin 𝑢 + 𝐶.

[

IX. ∫
𝑑𝑢

𝑐𝑜𝑠2𝑢 = 𝑡𝑔 𝑢 + С.

X. ∫ 𝑑𝑢

sin2𝑢 = − 𝑐𝑡𝑔 𝑢 + С.

[
 
 
 
 XI. ∫
𝑑𝑢

𝑢2 + 𝑎2 = 1

𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑢

𝑎 + С, где 𝑎 ≠ 0.
.

XII. ∫
𝑑𝑢

𝑢2 − 𝑎2 = 1

2𝑎 ln |𝑢 − 𝑎

𝑢 + 𝑎| + С, где 𝑎 ≠ 0.

[

XIII. ∫
𝑑𝑢

√𝑎2 − 𝑢2 = arcsin 𝑢

𝑎 + С, где 𝑎 > 0.              

XIV. ∫
𝑑𝑢

√𝑢2 + A = ln|𝑢 + √𝑢2 + A| + С, где A ≠ 0.  

 

 

[
XV. ∫ 𝑑𝑢

sin 𝑢 = ln |𝑡𝑔 𝑢

2| + С.                

XVI. ∫ 𝑑𝑢

cos 𝑢 = ln |𝑡𝑔 (𝑢

2 + 𝜋

4)| + С.  

 

 

[
XVII. ∫ √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 = 1

2 [𝑢√𝑎2 − 𝑢2 + 𝑎2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑢

𝑎] + С, где 𝑎 > 0.               

XVIII. ∫ √𝑢2 + A 𝑑𝑢 = 1

2 [𝑢√𝑢2 + A + 𝐴 ln|𝑢 + √𝑢2 + A|] + С, где A ≠ 0.  

 

 

В этих формулах: а, А — действительные числа; и — независимая переменная или 
непрерывно-дифференцируемая функция  и(х). 
 

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 
 

Практически любой неопределённый интеграл вычисляется путём его упрощения и 

сведения в конечном итоге к табличному (или нескольким табличным) интегралу. 
Специфика используемых при этом математических средств позволяет отнести к основным 
методам интегрирования следующие три способа: 

- непосредственное интегрирование; 
- замена переменной интегрирования; 
- интегрирование по частям. 

Замечание. В любой более-менее сложной задаче обычно в различных комбинациях 
используются сразу несколько приёмов. В частности, при вычислении интеграла замена 
переменных или интегрирование по частям могут 
использоваться неоднократно, 

сопровождаясь упрощающими решение преобразованиями подынтегрального выражения. 

 

1. 
Непосредственное интегрирование 
 
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путём тождественных 

преобразований 
подынтегральной 
функции 
и 
применения 
основных 
свойств 

неопределённого интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, 
называется непосредственным интегрированием. 

 
К преобразованиям такого рода относят обычно следующие: 
 
- добавление (с одновременным вычитанием) к подынтегральной функции константы 

или некоторого выражения; обычно за этим следует разбиение интеграла в сумму более 
простых интегралов; 

- одновременное умножение или деление числителя и знаменателя дроби под знаком 

интеграла на некоторое выражение; например, при интегрировании функций с радикалами 
часто применяют умножение на сопряжённое выражение;  

- выделение полных квадратов (кубов); 
- использование формул сокращённого умножения; 
- выделение у дроби целой части (часто используется при интегрировании 

рациональных дробей); 

- выделение в числителе дроби производной от знаменателя; 
- использование алгебраических тождеств, тригонометрических и гиперболических 

формул и т. п. 

 
Необходимо запомнить, в каких случаях какие приёмы удобно использовать. Вообще, 

умение найти для вычисляемого интеграла наиболее краткий и «красивый» способ 
интегрирования является непростой задачей. Это умение вырабатывается постепенно и 
приходит с опытом.  
 
1. 
Пример. Найти интеграл  ∫(5𝑥3 − 7 sin 𝑥 − 6 +

9

𝑥 −

8

𝑥3 +

3

𝑥2+4)𝑑𝑥. 

 

Решение. Используя свойство линейности, представим данный интеграл в виде 
алгебраической суммы табличных интегралов: 
 
∫(5𝑥3 − 7 sin 𝑥 −6 +

9

𝑥 −

8

𝑥3 +

3

𝑥2+4)𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 − 7 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 − 6 ∫ 𝑑𝑥 + 9 ∫

𝑑𝑥

𝑥 − 

 

−8 ∫

𝑑𝑥

𝑥3 +3∫

𝑑𝑥

𝑥2+4 = 5⋅ 

𝑥3+1

3+1 −7(− cos 𝑥) −6𝑥 + 9ln |𝑥| − 8⋅

𝑥−3+1

−3+1 +

1

2  𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑥

2 +C. 

 
2. 
Пример. Найти интеграл  ∫

2𝑥−7

√𝑥3
5
𝑑𝑥.  

 
Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель и воспользуемся линейностью 
неопределённого интеграла: 
 

∫

2𝑥−7

√𝑥3
5
𝑑𝑥 = ∫ (

2𝑥

𝑥

3
5

−

7

𝑥

3
5
) 𝑑𝑥 = 2∫ 𝑥

2
5 𝑑𝑥 −7 ∫ 𝑥−3

5 𝑑𝑥 = 2⋅

𝑥

2
5+1

2
5+1  −7

𝑥−3

5+1

−3

5+1 +C = 

10

7 𝑥

7
5 −

35

2 𝑥

2
5 +C =  

 
=

10

7 √𝑥7
5
 −

35

2 √𝑥2
5
 + C. 

 

3. 
Пример. Найти интеграл  ∫ 5𝑥(2 +

5−𝑥

√𝑥5)𝑑𝑥.  

 
Решение. Раскроем скобки и воспользуемся линейностью неопределённого интеграла: 
 

∫ 5𝑥(2 +

5−𝑥

√𝑥5)𝑑𝑥 = ∫(2 ⋅ 5𝑥 +

1

√𝑥5)𝑑x = 2∫ 5𝑥𝑑x +∫ 𝑥−5

2 𝑑x = 2⋅

5x

ln 5 +

𝑥−5

2+1

−5

2+1 +C = 

2

ln 5 ⋅ 5x⎼ 

2

3 𝑥−3

2 + 

+ C = 

2

ln5 ⋅ 5x⎼ 

2

3√𝑥3 + C. 

 

4. 
Пример. Найти интеграл  ∫

𝑥4

𝑥2−4 𝑑x.  

 

Решение. Вычтем и добавим в числителе число 16. После этого разделим почленно 
числитель на знаменатель. Получим сумму интегралов: 
 

 ∫

𝑥4

𝑥2−4 𝑑x = ∫

(𝑥4−16)+16

𝑥2−4
𝑑x = ∫ (

(𝑥2−4)(𝑥2+4)

𝑥2−4
+

16

𝑥2−4) 𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 + 4) 𝑑𝑥 + ∫

16

𝑥2−4 𝑑𝑥 =  

 

= ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + 4∫ 𝑑𝑥 + 16 ∫

𝑑𝑥

𝑥2−4 = 

𝑥3

3  + 4x + 16⋅

1

2⋅2 ln |

𝑥−2

𝑥+2| + C = 

𝑥3

3  + 4x + 4ln |

𝑥−2

𝑥+2| + C. 

 
5. 
Пример. Найти интеграл  ∫ 6cos2 𝑥

2 𝑑𝑥.  

 
Решение. Воспользуемся тригонометрическими тождествами  
 

6cos2 𝑥

2 ≡ 3⋅2cos2 𝑥

2 =3⋅(1+cos 𝑥) 
 

и представим исходный интеграл в виде суммы табличных интегралов: 
 
 ∫ 6cos2 𝑥

2 𝑑𝑥 = 3∫(1 + cos 𝑥) 𝑑 𝑥 = 3∫ 𝑑𝑥 + 3∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 3x + 3sin 𝑥 + C. 

 
6. 
Пример. Найти интеграл  ∫ 𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥.  

 
Решение. Воспользуемся тригонометрическими тождествами  
 

𝑐𝑡𝑔2𝑥 ≡ 

cos2x

sin2𝑥 = 

1−sin2𝑥

sin2𝑥  = 

1

sin2𝑥 − 1 

 

и представим исходный интеграл в виде суммы табличных интегралов: 
 

∫ 𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥 = ∫ (

1

sin2𝑥 − 1) 𝑑 𝑥 = ∫

𝑑𝑥

sin2𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑡𝑔𝑥 ⎼ 𝑥 +C. 

 
 

Задачи для самостоятельного решения 

 
 
7. ∫ 𝑥5𝑑𝑥.
8. ∫ 5 𝑥7𝑑𝑥.

9. ∫

𝑑𝑥

8 .
10. ∫

𝑑𝑥

4𝑥3.

11. ∫(2𝑥5 − 3𝑥3 − 4𝑥 + 5) 𝑑𝑥.
12. ∫(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 𝑑𝑥.

13.∫ 𝑥2(3𝑥 + 5)(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥.
14. ∫

𝑑𝑥

3√𝑥.

15. ∫

𝑑𝑥

7𝑥.
16. ∫ (

2

𝑥 −

1

3𝑥2 +

4

𝑥3) 𝑑𝑥.

17. ∫ √𝑥3
5
(7 − 6√𝑥

5
) 𝑑𝑥.
18. ∫(6𝑥4 + 5√𝑥2
3
−7√𝑥 −

8

5 √𝑥3
4
+

3

4𝑥4)𝑑𝑥.

19. ∫

4𝑥3−5𝑥2−2𝑥+9

𝑥3
𝑑𝑥.
20. ∫

3𝑥2−5𝑥−4

𝑥√𝑥
𝑑𝑥.

21. ∫

(3−4√𝑥)2

𝑥2
𝑑𝑥.
22. ∫

(√𝑥−2)2

𝑥√𝑥
𝑑𝑥.

23. ∫

9−𝑥

√𝑥+3 𝑑𝑥.
24. ∫

𝑥3−8

𝑥2+2𝑥+4 𝑑𝑥.

25. ∫

27−𝑥

√𝑥
3
−3 𝑑𝑥.
26. ∫

125+√𝑥

√𝑥
3
−5 √𝑥
6
+25 𝑑𝑥.

27. ∫ 9𝑥𝑑𝑥.
28. ∫ 5𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥.

29. ∫ 23𝑥−5𝑑𝑥.
30. ∫

27𝑥−3𝑥

9𝑥
𝑑𝑥.

31. ∫ 2𝑥(5 − 2𝑥)𝑑𝑥.
32. ∫(3𝑥 − 2)(3−𝑥 + 3) 𝑑𝑥.

33. ∫ 5 cos 𝑥 𝑑𝑥. 
34. ∫

sin 𝑥

7 𝑑𝑥.

35. ∫

𝑑𝑥

3sin2𝑥.
36. ∫

𝑑𝑥

5cos2𝑥.

37. ∫ (

7

3cos2𝑥 −

5

4sin2𝑥) 𝑑𝑥.
38. ∫

4−5sin3𝑥

sin2𝑥
𝑑𝑥.

39.∫

9+7𝑥2cos2𝑥

cos2𝑥
𝑑𝑥.
40. ∫ 𝑒𝑥 (5 −

𝑒−𝑥

cos2𝑥)𝑑𝑥.

41. ∫ (cos

𝑥

2 − sin

𝑥

2)

2

𝑑𝑥.
42. ∫

cos 2𝑥

sin2𝑥 𝑑𝑥.  

43. ∫

1+cos2𝑥

5 cos 𝑥 𝑑𝑥. 
44. ∫

𝑑𝑥

sin2𝑥+cos 2𝑥 .

45. ∫

𝑑𝑥

sin2𝑥 cos2𝑥 .
46. ∫

2−3𝑡𝑔2𝑥

sin2𝑥 𝑑𝑥.

47. ∫

cos 5𝑥+cos7𝑥

cos6 𝑥
𝑑𝑥.
48. ∫

sin 7𝑥−sin9𝑥

cos8 𝑥
𝑑𝑥.  

49. ∫

cos 3𝑥−cos5𝑥

sin4 𝑥
𝑑𝑥.
50. ∫ 𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥. 

51. ∫(𝑡𝑔𝑥 − 𝑐𝑡𝑔𝑥)2 𝑑𝑥.
52. ∫ 5sin2 𝑥

2 𝑑𝑥.

53. ∫

1+sin2𝑥

1−cos2𝑥 𝑑𝑥.
54. ∫

𝑑𝑥

𝑥2+8 .

55. ∫

𝑑𝑥

√5−𝑥2 .
56. ∫

𝑑𝑥

𝑥2−7 .

57. ∫

𝑑𝑥

√𝑥2−3 .
58. ∫

𝑑𝑥

√𝑥2+6 .

59. ∫ (

3

√𝑥2−5 −

5

√3−𝑥2) 𝑑𝑥. 
60. ∫

√𝑥2+7−5

𝑥2+7
𝑑𝑥. 

61. ∫

𝑥2+2

4−𝑥4 𝑑𝑥.  
62. ∫

𝑥2−3

9−𝑥4 𝑑𝑥.

63. ∫ √ 4+𝑥2

𝑥4−16 𝑑𝑥.
64. ∫

3√1−𝑥2−7√1+𝑥2

5√1−𝑥4
𝑑𝑥. 

65. ∫(6𝑥5 + 9 cos 𝑥 +5 −

8

3𝑥 −

3

4𝑥5 −

2

√𝑥2−9)𝑑𝑥.
66. ∫

𝑥2+15

13+𝑥2 𝑑𝑥.

67. ∫

𝑥2−5

7−𝑥2 𝑑𝑥. 
68. ∫

2𝑥2−5

𝑥2(5−𝑥2) 𝑑𝑥.

69. ∫

2𝑥2+19

𝑥2(𝑥2+19) 𝑑𝑥.
70. ∫(2𝑥 + 5 cos 𝑥 +

6

sin𝑥 −

3

𝑥5 −

2

√𝑥2+4)𝑑𝑥.

 

 

2. 
Метод замены переменной 
 
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести 

вычисление данного неопределённого интеграла к нахождению нового интеграла, который 
является табличным или к нему сводящимся (т.е. перейти к непосредственному 
интегрированию). Такой метод называется методом подстановки или методом замены 
переменной в неопределённом интеграле. Он основан на свойстве инвариантности 
формул интегрирования: 

Теорема 3. Пусть: 1) функция и = и(х) определена и дифференцируема на 

промежутке X, а промежуток U — множество её значений; 

2) функция у = g(и) определена на промежутке U и имеет на этом промежутке 

первообразную G(и). 

Тогда на промежутке X функция G(и(х)) является первообразной для функции  

 𝑔(и(х))⋅и'(х), то есть функция 𝑔(и(х))⋅и'(х) интегрируема на промежутке X и на этом 
промежутке справедливо равенство 

∫ 𝑔(𝑢(𝑥)) ⋅ 𝑢′(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑢(𝑥)) 𝑑(𝑢(𝑥)) = ∫ 𝑔(𝑢) 𝑑(𝑢) ⃒𝑢=𝑢(𝑥)=G(и)⃒𝑢=𝑢(𝑥)+С = G(и(х))+С, 
 
называемое формулой замены переменной в неопределённом интеграле. 

Существуют два варианта метода замены переменной, поскольку формулой замены 

переменной можно пользоваться как «слева направо», так и «справа налево». 

 

2.1. Метод подведения функции под знак дифференциала  
 

Для удобства использования формулы замены переменной сформулируем теорему 3 в 

более компактном виде. 

Следствие 1 (теоремы 3). Если на промежутке X интегрируемая функция f(x) 

может быть представлена в виде произведения f(x) ≡ 𝑔(u(х))⋅и'(х), где и(х) — некоторая 
функция, имеющая на X непрерывную производную, то на этом промежутке справедливо 
равенство 

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑢(𝑥)) ⋅ 𝑢′(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑢(𝑥)) 𝑑(𝑢(𝑥)) = ∫ 𝑔(𝑢) 𝑑(𝑢) ⃒𝑢=𝑢(𝑥), 
 

называемое формулой замены переменной в неопределённом интеграле. 
 
Замечания. 1. Преобразование дифференциала и'(х)dx = d(u(х)) называется подведением 
функции и(х) под знак дифференциала. Поэтому вариант метода замены переменной, 
основанный на этом преобразовании, называют методом подведения функции под 
знак дифференциала. 

2. На практике этот метод применяется следующим образом. Пусть требуется найти 

неопределённый интеграл вида ∫ 𝑓(𝑥)⋅h(x) 𝑑𝑥, где функция h(х) имеет очевидную 
первообразную Н(х) (например, h(х) является табличной функцией) и функция f(x) может 
быть представлена в виде сложной функции f(x) ≡ 𝑔(Н(х)) с промежуточным 
аргументом и = Н(х). Тогда 

 

∫ 𝑓(𝑥)⋅h(x) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝐻(𝑥))⋅h(x) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝐻(𝑥))⋅𝑑𝐻(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑢)⋅𝑑𝑢⃒𝑢=𝐻(𝑥). 

 

Если метод выбран удачно, то интеграл ∫ 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 окажется табличным или известным 

образом сводящимся к табличному. 

 

71. Пример. Вычислить интегралы: 1) ∫ 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥⋅cos 𝑥 𝑑𝑥. 
 
Решение. Заметим, что функция h(x) = cos 𝑥 имеет очевидную первообразную 𝐻(𝑥) = sin 𝑥,