Кратные и криволинейные интегралы

Министерство транспорта Российской Федерации 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО   

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»  

_________________________ 

 

Кафедра «Математический анализ» 

 

 

Д.Ю. Иванов, Д.Д. Захаров, В.Н. Деснянский  

 
 

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ 

ИНТЕГРАЛЫ 

 

 

Учебноое пособие  

по дисциплине  

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 

 

 

 

 

МОСКВА - 2020 

 
-1
Министерство транспорта Российской Федерации 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО    

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»  

_________________________ 

 

Кафедра «Математический анализ» 

 

 

Д.Ю. Иванов, Д.Д. Захаров, В.Н. Деснянский  

 

 

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 

 

 

 

  Учебное пособие для студентов 

 всех строительных специальностей 

 

 

 

 

МОСКВА - 2020 

 

 
-2
УДК 517.2 
И 20 

 
Иванов Д.Ю., Захаров Д.Д., Деснянский В.Н.  Кратные 

и криволинейные интегралы: Учебное пособие. – М.: РУТ 
(МИИТ), 2020. – 70 с. 

 
Учебное пособие включает в себя основные теорети
ческие сведения о кратных и криволинейных интегралах и 
об их применении к решению технических задач. Приведены примеры с подробными решениями и пояснениями. 
Составлены задания для контроля усвоения учащимися 
пройденного материала. Настоящий материал традиционно 
изучается в рамках курса математического анализа после 
раздела «Интегральное исчисление функций одного переменного» на первом курсе в конце второго или начале третьего семестра. Пособие предназначено для студентов всех 
строительных специальностей. 
 

Рецензенты: 
Проф., д.ф.-м.н., Кузнецов С.В. 
Каф. «Строительной и теоретической механики», НИУ 
МГСУ 
 
Проф., д.ф.-м.н., Филимонов А.М.   
Каф. «Математическое моделирование и системный анализ», РУТ (МИИТ) 
    

 

 

                                              ©РУТ (МИИТ), 2020 

 
-3
ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Оглавление.................................................................................
3

Введение.....................................................................................
4

1.
Двойной интеграл
5

2.
Двукратный интеграл
8

3.
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

11

4.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
22

5.
Тройной интеграл
28

6.
Вычисление тройного интеграла
32

7.
Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)
41

8.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода
44

9.
Криволинейный интеграл второго рода (по координатам)
49

10.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода
53

11.
Формула Грина
59

12.
Криволинейные интегралы от полных дифференциалов
63

Заключение……….....................................................................
69

Список литературы....................................................................
70

 
 
 
 
 
 
 
 

 
-4
Введение 

 

Основной целью настоящего издания является оказа
ние помощи студентам в приобретении знаний и закреплении практических навыков по таким важнейшим в курсе 
математического анализа темам, связанным с интегральным исчислением функций нескольких переменных, как 
двойные интегралы и их вычисление в декартовых и полярных координатах, тройные интегралы и их вычисление 
в декартовых и цилиндрических координатах, криволинейные интегралы первого рода и их вычисление в декартовых и полярных координатах, криволинейные интегралы 
второго рода и их вычисление в декартовых координатах, в 
том числе с помощью формулы Грина и от полных дифференциалов. Краткое изложение теоретического материала 
сопровождается подробным разбором решения типовых 
задач. В конце каждой темы приведены варианты задач, 
предназначенных для обеспечения самостоятельной работой студентов по освоению материала. 

Изложенный материал находит применение в различ
ных разделах как высшей, так и вычислительной математики, используется для составления программного обеспечения, позволяет специализироваться на старших курсах в 
освоении различных методов расчета элементов конструкций, основанных на знании математического анализа. 

 
-5
1. Двойной интеграл 
 
Пусть D  – замкнутая (т.е. содержащая все точки гра
ницы области) и ограниченная область в плоскости OXY , 
ее границей полагаем линию L . 

Пусть в области D  задана непрерывная функция 

( . )
z
f x y

. Разобьем область D  на n  частей: 

1
D

, 
2
D

, …, 
n
D

, 

которые будем называть площадками (см. рис. 1). Площади 
площадок будем обозначать 
1S

, 

2
S

, …, 
n
S

, соответственно. В 

каждой из площадок возьмем по 
точке, которые обозначим 
1P , 

2P , …, 
nP . Обозначим через 

1
( )
f P , 
2
(
)
f P , …, 
(
)
n
f P  значения функции 
( , )
f x y  в вы
бранных точках и составим сумму произведений вида 

1
1
2
2
( )
(
)
...
(
)
n
n
n
V
f P
S
f P
S
f P
S







. 

Сумма 
n
V  называется интегральной суммой для функции 

( , )
f x y  в области D . 

Если 
( , )
0
f x y 
 в области D , то каждое слагаемое 

( )
i
i
f P
S

 есть область малого цилиндра, основанием кото
рого является площадка 
iS

, а высота равна 
( )
i
f P  (см. 

рис. 2). Сумма 
n
V  есть сумма объемов указанных элемен
тарных цилиндров, т.е. объем некоторого ступенчатого тела. 

 
-6
Рассмотрим 
по
следовательность интегральных сумм 
n
V , 

которая возникает в 
результате неограниченного измельчения 
области D  на части 

i
D

. 
Справедлива 

теорема: 

Теорема. 
Если 

функция 
( , )
f x y  непрерывна в замкнутой области D , то 

существует 
предел 
последовательности 
n
V  
при 

max
0
id 
, где max
id  – максимальный линейный размер 

площадок 
i
D

. Этот предел не зависит ни от способов раз
биения области D , ни от выбора точек 
iP  внутри площа
док 
i
D

. 

Этот предел называется двойным интегралом от 

функции 
( , )
f x y  по области D  и обозначается символом 

( , )

D

f x y dxdy

, при этом область D  называется областью 

интегрирования. Таким образом, 

max
0
1

( , )
lim
( )

i

n

i
i
d
i
D

f x y dxdy
f P
S








. 

Символ 
( , )

D

f x y dxdy

 отражает то обстоятельство, 

что разбиение области D  на площадки 
i
D

 может быть 

 
-7
выполнено прямыми линиями, параллельными координатным осям OX  и OY . Тогда все площадки, кроме, быть 
может, лежащих на границе области D , имеют форму 
прямоугольников с длинами сторон 
ix
  и 
jy

 и имеют 

площади 
ij
i
j
S
x
y

  
. 

Если 
( , )
0
f x y 
 в области D , то двойной интеграл ра
вен объему 
Q
V  цилиндрического тела Q , ограниченного 

сверху частью поверхности 
( , )
z
f x y

, снизу областью D , 

причем образующие боковой поверхности параллельны 
оси OZ , а направляющей служит граница L  области D : 

( , )
Q

D

V
f x y dxdy
 
.                                  (1) 

Если 
( , )
1
f x y  , то интегральная сумма 
n
V  равна сум
ме площадей площадок, на которые разбита область D , и 
поэтому при любом разбиении она равна площади 
D
S  об
ласти D : 

1
2
1
1
... 1
n
n
D
V
S
S
S
S
 
 

 

. 

Переходя в последнем равенстве к пределу max
0
id 
 и 

учитывая, что предел константы равен этой же константе, 
получаем формулу для вычисления площади области D : 

D

D

S
dxdy
 
.                                       (2) 

Рассмотрим некоторые свойства двойного интеграла. 
Свойство 1. Двойной интеграл от суммы двух функ
ций по области D  равен сумме двойных интегралов по области D  от каждой из функций в отдельности: