Высшая математика

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

 (МИИТ)» 

____________________________________________________________________ 

 

Кафедра «Сервис и туризм» 

 
 
 
 
 
 

А.М. ПОПОВ, Ю.М. КОРОБОВ 

 
 
 
 
 
 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

 

Учебно-методическое пособие 

 

к практическим занятиям 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва - 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

 РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕ
НИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 

____________________________________________________________________ 

 

Кафедра «Сервис и туризм» 

 
 
 
 
 
 

А.М. ПОПОВ, Ю.М. КОРОБОВ 

 
 
 
 
 
 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

 

Учебно-методическое пособие 

 
 
 
 
 

Для студентов направлений подготовки 38.03.04 «Государственное и муниципальное 

управление»; 38.03.02 «Менеджмент» (профиль «Менеджмент туризма», профиль «Менеджмент гостинично-ресторанных предприятий»); 43.03.02. «Туризм»; 43.03.03 «Гостиничное 
дело», а также по другим направлениям подготовки 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва - 2018  

 
 

УДК 51(075.8) 
П58 
 
 
 
 
 
 
 
 

Попов А.М., Коробов Ю.М.  Высшая математика: Учебно-методическое посо
бие/ Под ред. проф. Попова А.М.  — М.: РУТ (МИИТ), 2018. —  75 с. 

 

 
 

 
 
 
 
 
 
Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с Федеральным государ
ственным образовательным стандартом высшего профессионального образования третьего 
поколения по дисциплине «Математика». В нем изложены задачи  для самостоятельного решения по основным разделам дисциплины «Математика» для студентов направлений подготовки 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление»; 38.03.02 «Менеджмент» 
(профиль «Менеджмент туризма», профиль «Менеджмент гостинично-ресторанных предприятий»); 43.03.02. «Туризм»; 43.03.03 «Гостиничное дело», а также для проверки знаний 
по математике по другим направлениям подготовки. 

 
Рецензент    зав.кафедрой «Психология, социология, государственное и муници
пальное управление» РУТ (МИИТ) Быков М.Ю.   
 
 
 
 
 
 
 

© РУТ (МИИТ),  2018 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Оглавление 
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................................ 4 
Глава 1 МНОЖЕСТВА ...................................................................................................................... 5 
Глава 2 ФУНКЦИИ ............................................................................................................................ 9 
Глава 3 ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ...................................................................................................... 11 
Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ И ТОЧКИ РАЗРЫВА ................................................ 15 
Глава 5 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ .......................................................................... 18 
Глава 6 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА .............................. 22 
Глава 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .................................................................................. 24 
Глава 8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ....................................................................................... 30 
Глава 9 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ........................................................................ 33 
Глава 10 РЯДЫ ................................................................................................................................. 41 
Глава 11 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ............................................................... 48 
Глава 12 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ................................................................................... 51 
Глава 13 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ...................................................................... 59 
Глава 14 ВЕКТОРЫ ......................................................................................................................... 64 
Глава 15 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ (В ЭКОНОМИКЕ) .................................................................. 72 
ЛИТЕРАТУРА .................................................................................................................................. 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Целью преподавания математики в гуманитарном вузе является 

ознакомление студентов с основами математического аппарата, необходимого 
для решения тех или иных прикладных задач; привитие студентам умения 
самостоятельно 
изучать 
учебную 
литературу 
по 
математике 
и 
ее 

приложениями; развитие логического мышления и повышение уровня 
математической культуры; выработка навыков математического исследования 
прикладных вопросов и умения сформулировать задачу на математическом 
языке. 

Учебно-методическое пособие по высшей математике предназначено для 

студентов всех форм обучения гуманитарных специальностей. 

Пособие разбито на несколько глав. В каждой главе вначале дается 

определение основных понятий (выделенных мелким шрифтом), весьма 
сжатое изложение необходимого теоретического материала и решение типовых 
примеров; после чего приводится перечень задач и упражнений для 
самостоятельного решения. 

В последней главе для примера рассмотрено приложение математических 

моделей в экономике. 

При изложении материала акцент был сделан не столько на теорию, 

сколько на ее практическое применение и выработку у студентов умения и 
навыков для решения задач. 

Материал 
пособия 
соответствует 
требованиям 
государственных 

общеобразовательных стандартов в области математики для гуманитарных 
специальностей. 

Авторы будут признательны всем, кто выскажет критические замечания 

или пожелания, и которые будут способствовать улучшению настоящего 
пособия.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1 МНОЖЕСТВА  

 
Множество – это произвольная совокупность каких-то объектов. При этом сами 

объекты 
называются 
элементами 
множества. 
Принадлежность 
(соответственно, 

непринадлежность) элемента x  множеству X  обозначается так: 
X
x
 (соответственно, 

X
x
). 
Пустое множество, обозначаемое символом Ø, – это множество, не содержащее ни 

одного элемента.  

Если любой элемент множества B  является элементом множества A, то говорят, что 

B  – подмножество множества A и обозначают это так: 
A
B 
. 

Два множества A и B  называются равными (
B
A 
), если они состоят из одних и 

тех же элементов.  

Ясно, что 
B
A 
 тогда и только тогда, когда 
B
A 
 и 
A
B 
. 

Объединение множеств A и B  – это такое множество 
B
A
, которое состоит из 

всех тех и только тех элементов, которые принадлежат или множеству A или множеству B . 

Пересечение множеств A и B  – это такое множество 
B
A
, которое состоит из 

всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A и множеству B . 

Разность множеств A и B  – это такое множество 
B
A \
, которое состоит из всех тех 

и только тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B .  

Множества бывают конечные или бесконечные (в зависимости от количества их 

элементов), числовые или нечисловые (в зависимости от природы их элементов). 

Способы задания множеств:  
1) с помощью перечисления всех его элементов (например, 


3,2,1

A
 – это 

множество из трех чисел: 1, 2 и 3);  

2) с помощью задания характеристического свойства, которым обладает его 

произвольный элемент, например, B  = {
x
x
 – натуральное число и x  делится на 2} – это 

множество всех четных чисел; 

3) с помощью словесного описания (например, множество всех студентов 1-го курса, 

сдавших все зачеты). 

Если все рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения множества являются 

подмножествами некоторого множества I , то I  называют универсальным множеством.  

Дополнением множества A называется множество 
A
I
A
\

, где I  – универсальное 

множество.  

Декартово (или прямое) произведение множеств A и B  – это множество 
B
A
 

всех таких упорядоченных пар 

b
a,
, что 
A
a
, 
B
b
. Элементы множества 
B
A
 

называются кортежами длины 2. Аналогично определяются декартово (прямое) 
произведение 
n
A
A
A




2
1
 и кортежи длины n. 

Соответствием между множествами A и B  называется любое подмножество f  

множества 
B
A
. При этом множество A называется областью отправления, а B  – 

областью прибытия соответствия f . 

 Областью определения 
 
f
D
 соответствия f  называется множество 



,
f
a
A a b

  

для некоторого 

B
b
, а областью значений 
 
f
E
 – множество 



,
f
b
B a b

  для 

некоторого 

A
a
. 
Соответствие 
B
A


, 
для 
которого 
 
f
D
A

 
называют 

отображением. 

 Отношением же называется соответствие между множествами A и A.  

Обозначения: N  – множество всех натуральных чисел, 

Z  – множество всех целых чисел, 
Q  – множество всех рациональных чисел, 
R  – множество всех действительных чисел, 
I  – универсальное множество. 

 
►Пример 1.1.   
Заданы множества 


3
,2
,1

X
, 


4
,3
,2

Y
.  

Вычислить 
Y
X 
, 
Y
X 
, 
Y
X \
, 
X
Y \
. 

Решение. 


4
,3
,2
,1

Y
X
, 


3
,2

Y
X
, 
 
1
\

Y
X
, 
 
4
\

X
Y
.  

Доказать тождество: 

 



C
A
B
A
C
B
A






. 

Доказательство. Покажем сначала, что левое множество содержится в 

правом.  

Пусть 


C
B
A
x



. Тогда или 1) 
A
x
 или 2) 
C
B
x


.  

Если 1) 
A
x
, то 
B
A
x


 и 
C
A
x


, а, значит, 




C
A
B
A
x




. 

Если же 2) 
C
B
x


, то 
B
x
 и 
C
x
, а, значит, 
B
A
x


 и 
C
A
x


, 

т.е. 




C
A
B
A
x




. 

Покажем теперь, что правое множество содержится в левом. Пусть 





C
A
B
A
x




. 
Тогда 
B
A
x


 
и 
C
A
x


. 
Если 
A
x
, 
то 



C
B
A
x



. Если же 
A
x
, то 
B
x
 и 
C
x
 и, значит, 
C
B
x


 и, 

окончательно, 


C
B
A
x



.► 

►Пример 1.2. 

Дано множество А = {x  Z | 0 < x  12}, где Z – множество целых чисел. 

Найти множество В такое, что В  А и В = {x |  x делится на 4}. 

Р е ш е н и е .  Ясно, что А = {1, 2, 3, ... 12}, а В содержит целые числа, де
лящиеся на 4, но только те, которые входят в множество А. Следовательно, В = 
{4, 8, 12}. ► 

 
►Пример 1.3. 
X = {1, 2, 3, 4, 5}; Y ={2, 4, 6, 7}. Найти множество X
Y
 . 

Р е ш е н и е .  X
Y
  = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. ► 

 
►Пример 1.4. 
X = {1, 2, 3, 4, 5};   Y = {2, 4, 6, 7}. Найти множество X
Y
 . 

Р е ш е н и е . X
Y
  = {2, 4}. ► 

 
►Пример 1.5. 
X ={1, 2, 3, 4, 5}; Y ={2, 4, 6, 7}. Найти множества и X \ Y и Y \ X. 
Р е ш е н и е . X \ Y = {1, 3, 5};   
\
Y X  = {6, 7}. ► 

 
 

Задачи для самостоятельного решения 

1. Верно ли, что:  

1) 
;
5
Q

 

2) π
;
R

 

3) π
;
Q

 

4) 
;



 

5) 
 ;



 

6) 
 

;
2,1
1
 

7)  
 

;
2,1
2,1

 

8)  
   

.
2,1,
3,1
,
2,1
2,1

 

 
2. Перечислите элементы следующих множеств: 

1) 

0
2
3
2




x
x
R
x
; 

2) 

0
1
2



x
R
x
; 

3) множество четных чисел от 0 до 10; 
4) множество всех корней уравнения 
0
9
6
2


 x
x
. 

3. Какие из следующих множеств конечны и какие бесконечны? 

1) 

0
4
5
2




x
x
R
x
; 

2) 




1
,0


x
R
x
; 

3) 




10
,1


x
R
x
; 

4) множество всех точек на числовой прямой. 

4. Равны ли множества: 

1) 
 
;
5
,2
,4
,2
и
5
,4
,2
 

2) 




;
2
,1
и
2
,1
 

3) 
 
;
1,2
,1,3
и
3
,2
,1
 

4) 

    

;
3
,
2
,
1
и
3
,2
,1
 

5) 



  


?
3
,2
,
1
и
3
,
2
,1
 

5. Вставьте между множествами символ  или   так, чтобы получилось 

истинное высказывание: 

1)  
1



;
2
,1
,1

2) {1,2}
{1,2,{1},{2}};

3) {1,2}
{1,2,{1,2}};

4) 
{1,2,{1},{}};

5) 
{{}};

6) 
{}.

6. Докажите следующие теоретико-множественные тождества: