Операционное исчисление

 
 

Министерство транспорта Российской Федерации 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  
ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 
(МИИТ)» 

Институт экономики и финансов

 
 
 
КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 
 

Г.Н. ЕФИМОВ 
 
 

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
 

Учебное пособие 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
МОСКВА – 2018 

 
 

Министерство транспорта Российской Федерации 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  
ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 
(МИИТ)» 

Институт экономики и финансов

 
 
КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 
 

Г.Н. ЕФИМОВ 
 

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
 
 

Учебное пособие  
для студентов всех технических специальностей 
ИЭФ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва – 2018 
 
 

 
 

 
УДК 517 
Е 91     
 
Ефимов Г.Н. Операционное исчисление: Учебное пособие.  
– М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 100 с. 

 
         В учебном пособии рассматриваются методы и приемы решения 
обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с использова-
нием операционного исчисления. Имеется значительное количество 
примеров и задач. 
Учебное пособие предназначено для студентов всех специально-
стей высших технических направлений и соответствует государствен-
ному стандарту. 
Данное учебное пособие содержит все необходимые теоретиче-
ские сведения, методические рекомендации, образцы решения типо-
вых заданий и тридцать вариантов индивидуальных заданий. 
 
Рецензенты: 
к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой «Высшая и вычислительная 
математика» РУТ (МИИТ) Платонова О.А. 
к.ф.-м.н., доцент РТУ МИРЭА   Кесельман В.М. 
 
 
 
© РУТ (МИИТ), 2018 
 
 

Содержание 

Введение…………………………………………………...
5

1 Преобразование Лапласа…………………………….
7

 1.1 
Оригиналы и их изображения………………. 
7 

 1.2 
Изображение некоторых функций…………..
12 

2 Основные свойства и теоремы преобразования 

Лапласа……………………………………………….. 
17 

 2.1 
Свойства преобразования Лапласа…………. 
17 

 2.2 
Теоремы о дифференцировании оригинала и 
изображения………………………………….. 36 

 2.3 
Теоремы об интегрировании оригинала и 
изображения………………………………… 
41 

 2.4 
Умножение изображений. Свёртка…………. 45 

 2.5 
Интегралы Дюамеля…………………………. 50 

 2.6 
Изображение периодического оригинала….. 
52 

 2.7 
Предельные соотношения…………………… 53 

 2.8 
Таблица соответствия между оригиналами и 
их изображениями…………………………… 
55 

 2.9 
Обращение преобразования Лапласа………. 
58 

 2.10 

Применение преобразования Лапласа к 
интегрированию линейных 
дифференциальных уравнений……………...

60 

2.11 
Метод (принцип) Дюамеля решения 
дифференциальных уравнений……………... 
66 

 
2.12 
Линейные дифференциальные уравнения с 
переменными коэффициентами…………… 
69 

 
2.13 
Интегральные уравнения……………………. 
71 

2.14 

Решение систем дифференциальных 
уравнений…………………………………….. 
73 

3 
Индивидуальные задания по теме: «Операционное 
исчисление» ………………………………………… 
80 

Список литературы………………………………………
100 
 
 

Введение 

Изучение различных процессов физико-технического характера 
предполагает не только глубокое понимание их физической 
сути, но и умелое применение математического аппарата к 
исследованию математических моделей реальных физических 
процессов. Математическая модель отражает существенные 
стороны явления и представляет собой совокупность каких-
либо условий.  
Операционное (символическое) исчисление – один из методов 
математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить 
исследование дифференциальных, псевдодифференциаль-
ных, интегральных операторов и решение уравнений, содержащих 
эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических 
задач.  
 Многие математики еще в 19 веке стали заниматься операционным 
исчислением, в том числе и в России, например, М.Е. 
Ващенко-Захарченко (12.11.1825 – 7.08.1912), А.В. Летников 
(13.01.1837–10.03.1888). В его основе лежит построение математического 
анализа как системы формальных операций над 

символом 
d
p
dt
=
 производной по независимой переменной t, 

обратная операция интегрирования рассматривается как применение 
символа 1
p . Символическое исчисление оказалось очень 

удобным для решения задач, связанных с линейными дифференциальными 
уравнениями (обыкновенными и в частных производных), 
которые возникают в математической физике.  
 Развитие и систематическое применение операционного 
исчисления началось в конце 19 века с работ английского инженера-
электрика О. Хевисайда (1880 – 1925), который предложил 

формальные правила обращения с оператором дифференцирования 
d
dt   и успешно решил ряд прикладных задач в электротехнике. 
Однако операционное исчисление не получило у него 
строгого математического обоснования. Первоначальное обоснование 
символического исчисления дали в 20 годах 20 века 
Т.Д. Бромвич (8.2.1875 – 26.8.1929) и Дж. Карсон (23.7.1898 – 
28.11.1952), английские математики, связав этот метод с известным 
из теории функций комплексного переменного методом 
интегральных преобразований. Обоснование операционного исчисления 
было дано с помощью преобразования Лапласа. При 
этом символ (оператор) p получил новое истолкование как комплексное 
переменное, а вместе с ним новую трактовку получило 
и само операционное исчисление как прикладной раздел теории 
функций комплексного переменного. В 1953 году Л. Микусин-
ский (род. 3.4.1913, польский математик) алгебраизировал операционное 
исчисление, опираясь на понятие функционального 
кольца, дав, таким образом, его полное обоснование. Наиболее 
общая концепция операционного исчисления получается с помощью 
обобщенных функций, что расширяет возможности применения 
операторного метода при решении уравнений математической 
физики.  
      Операционное исчисление играет важную роль при решении 
прикладных задач, что особенно важно для студентов технического 
вуза. С помощью операционного исчисления можно 
также находить решения линейных дифференциальных уравнений 
с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, 
уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); 
производить суммирование рядов; вычислять интегралы. 
При этом решение этих и других задач значительно упрощается. 
 
 
 

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 
(Пьер Симон Лаплас (1749 – 1825) – французский математик) 

1.1 Оригиналы и их изображения 

      Основными понятиями операционного исчисления являются 
понятия функции-оригинала и функции-изображения. 
      Пусть  ( )t
f
 – действительная функция действительного переменного 
t  (под  t будем понимать время или координату). 
     Определение. Функция 
( )t
f
 называется оригиналом, если 

она удовлетворяет следующим условиям: 
     1.  ( )
0
=
t
f
   при    
(
)
;0
t ∈ −∞
 или 
0
t <
; 

     2. ( )t
f
 – кусочно-непрерывная при 
0
≥
t
 т. е. она непрерывна 
или  имеет точки разрыва 1-го рода, причем на каждом конечном 
промежутке оси t таких точек только  конечное  число, причем    
( )
(
)

0
0 .
f
f
=
+
  

     3. Существуют такие 
числа  
0
0 ,
M
и
α
>
≥
 
что для всех  t   выпол-
няется 
неравенство    

( )
t
Me
t
f
α
<
, т. е. при воз-

растании  t   функция  

( )
f t   может возрастать 

не быстрее некоторой по-
казательной функции с 
показателем α.     Число  

0
inf
α
α
=
  (точная ниж-
няя граница таких α) называется показателем роста функции 

( )
f t . 

0
1
2
t

f(t)

f(t)

Так как одно из основных приложений операционного исчисле-
ния - решение задач с начальными условиями (задач Коши), то 
поведение функций до начального момента 
0
t =
 несуще-
ственно.   
Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого 
момента времени; удобнее считать, что в момент  
0.
t =
 Второе 
условие означает, что на любом отрезке [
](
)
,
0 ≤
<
< ∞
a b
a
b
 

функция удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или 
имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого 
рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов). 
Третье условие означает, что скорость роста функции-ориги-
нала не может быть больше экспоненциальной. 
Третьему условию удовлетворяют: 
- 
ограниченные функции    
0
(
0)
α =
;  

- 
 степенные    
( )
n
f t
t
=
. Так как  

t
t
e
<
 при 
0
t ≥
, поэтому 

t
t
e
α
α⋅
<
 
- 
и многие другие.  
Примеры функций, не являющихся оригиналами: 

1) 

0,
0;
( )
1 ,
0.
2

t
f t
t
t

<

= 
≥
 −


     Эта функция имеет разрыв второго 

рода в точке 
2
t =
. 

2) 

0,
0;
( )
1
sin
,
0.

t
f t
t
t

<

= 
 
≥
 

 


  Функция имеет бесконечное число 

экстремумов на отрезке [0,1].  

3) 
2
0,
0;
( )
(
2)
,
0.
t
t
f t
t
e
t

<

= 
+
⋅
≥


 

Не существует таких констант M и 
0
α , что 
0
|
( ) |
t
f t
M e
α ⋅
≤
⋅
. 

Не 
являются 
оригиналами, 
например, 
функции 
вида  

( )

2t
f t
a e
=
⋅
 
(не 
выполняется 
условие 
3), 
функции  

( )
,
0
n
a
f t
n
t
=
>
  (не выполняется условие 2). 

     Условия 1) – 3) выполняются для большинства функций, 
описывающих различные физические процессы. 
     Замечание. Функция  
( )
f t   может быть и комплексной  

функцией действительного переменного, т. е. иметь вид  

( )
( )
( )
1
2
f t
f
t
i f
t
=
+
 она считается оригиналом, если действи-

тельные функции    
( )
1f
t и   
( )
2f
t    являются  оригиналами. 

Определение. Преобразованием Лапласа называется преоб-

разование, которое ставит в соответствие функции 
( )
f t дей-

ствительной  переменной  t  функцию ( )
p
F
 комплексной пере-
менной p
x
i y
=
+
 по формуле  

                
( )
( )

0

p t
F p
e
f t dt

∞
− ⋅
=
⋅
∫
               (1) 

или 

( )
( )
( )

( )
(
)
( )
(
)

0
0

0
0
cos
sin

pt
x t
i y t

x t
xt

F p
e
f t dt
e
e
f t dt

e
f t
y t dt
i e
f t
y t dt

∞
∞
−
− ⋅
− ⋅ ⋅

∞
∞
− ⋅
−

=
=
⋅
=

=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅

∫
∫

∫
∫

 

Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно 
в любой точке p, удовлетворяющей неравенству 
1
Re p
α
≥
, где 

1
α  - произвольной число, такое, что 
1
0
α
α
>
. Действительно, 

0

0

(Re
Im
)

Re
Im
|
( ) | |
| |
( ) | |
|

|
| |
|

t
pt
pt
p i
p t

t
p t
i
p t
e
f t
e
f t
e
Me

M e
e
e

α

α

⋅
−
−
−
+

⋅
−
⋅
−
⋅

⋅
=
⋅
≤
⋅
=

=
⋅
⋅
=

 

(так как 
1
|)
sin(Im
)
cos(Im
|
|
|
Im
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
t
p
i
t
p
e
t
p
i
) =  

= 
0
0
1
0
(Re
)
(
)
Re
|
|
t
p
t
t
p t
M
e
e
M e
M e

α
α
α
α
⋅
−
−
−
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
≤
⋅
, 

 а интеграл 
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0

(
)
(
)
t
t
M
M
M e
dt
e

α
α
α
α

α
α
α
α

+∞
+∞
−
−
⋅
−
−
⋅
⋅
= −
⋅
=
−
−
∫
  

сходится.  
Таким образом, мы доказали, что изображение F(p) определено 
в любой точке p, такой что 
0
Re p
α
>
, т.е. в полуплоскости 

справа от прямой 
0
Re p
α
=
. 
Как следствие, показа-
тель 
скорости 
роста 
оригинала число 
0
α  ча-
сто называют абсциссой 
сходимости.  
   Заметим, что мы до-
казали также, что 

0
)
(
Re
+∞
→
→
p
p
F
 

 
Так как 

0
(Re
)
|
( )|
p
t
pt
e
f t
M e

α
−
−
⋅
−
⋅
≤
⋅
,  
то       

 
≤
⋅
≤
⋅
=
∫
∫

∞
+
−
∞
+
−

0
0
)
(
)
(
|)
(
|
dt
t
f
e
dt
t
f
e
p
F
pt
pt
 

0

0
0
0
(Re
)

Re
Re

p
t

p
M
M
e
dt
p

α

α

+∞
−
−

→+∞
≤
=
→
−
∫
 

 Кроме того, в оценке 
1
0
(
)
|
( )|
t
pt
e
f t
M e

α
α
−
−
⋅
−
⋅
≤
⋅
 мы мажориро-
вали модуль подынтегральной функции функцией, не завися-
щей от p, интеграл от которой сходится. Как и в теории степен-
ных рядов, этого достаточно, чтобы сходимость интеграла была 

Im p

Re p

Здесь существует  F(p)

0
Re p
α
=
 

равномерной по переменной p, поэтому функцию F(p) можно 
дифференцировать и интегрировать по этой переменной. 
     Так как  
( )
F p  – аналитическая функция в полуплоскости   

0
Re
,
p
α
>
  то  
( )
0
F p →
  при  p → ∞   по любому направлению. 

Отсюда, в частности, следует, что функции  
( )
2,
F p =
     

( )
3
F p
p
=
  не могут быть изображениями. 

     Отметим, что из аналитичности функции  
( )
F p   следует, что 

все ее особые точки должны лежать левее прямой  
0
Re p
α
α
=
=
  

или на самой этой прямой. Функция 
( )
F p , не удовлетворяю-

щая этому условию, не является изображением функции 
( )
f t . 

Не является изображением, например, функция  
( )
F p
tg p
=
 

(ее особые точки расположены на всей оси α).    
     Соответствие  между оригиналом  
( )
f t   и изображением  

( )
F p  записывается в виде  
( )
( )t
f
p
F

•

•=
  или   
( )
( )t
f
p
F

•

•→
, а 

также  ( )
( )
p
F
t
f

•

•←
, 
( )
{ ( )}
F p
L f t
=
    (принято оригиналы обо-

значать малыми буквами, а их изображения – соответствующими 
большими буквами). 
       Нахождение по заданному оригиналу его изображения и 
нахождение оригинала по его изображению составляет главную 
задачу операционного исчисления. 
   Пример 1.1.1 Выяснить, какие из данных функций являются 
оригиналами: 

а) ( )
(
)




≥

<
=
+
0
,

0
,0

4
3
t
e

t
t
f
t
i
       б) ( )






≥
−

<
=
0
,
4
1

0
,0

t
t

t
t
f