Операционное исчисление

 
 

Министерство транспорта Российской Федерации 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  
ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 
(МИИТ)» 

Институт экономики и финансов

 
 
 
КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 
 

Г.Н. ЕФИМОВ 
 
 

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
 

Учебное пособие 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
МОСКВА – 2018 

 
 

Министерство транспорта Российской Федерации 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  
ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 
(МИИТ)» 

Институт экономики и финансов

 
 
КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» 
 

Г.Н. ЕФИМОВ 
 

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
 
 

Учебное пособие  
для студентов всех технических специальностей 
ИЭФ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва – 2018 
 
 

 
 

 
УДК 517 
Е 91     
 
Ефимов Г.Н. Операционное исчисление: Учебное пособие.  
– М.: РУТ (МИИТ), 2018. – 100 с. 

 
         В учебном пособии рассматриваются методы и приемы решения 
обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с использованием операционного исчисления. Имеется значительное количество 
примеров и задач. 
Учебное пособие предназначено для студентов всех специальностей высших технических направлений и соответствует государственному стандарту. 
Данное учебное пособие содержит все необходимые теоретические сведения, методические рекомендации, образцы решения типовых заданий и тридцать вариантов индивидуальных заданий. 
 
Рецензенты: 
к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой «Высшая и вычислительная 
математика» РУТ (МИИТ) Платонова О.А. 
к.ф.-м.н., доцент РТУ МИРЭА   Кесельман В.М. 
 
 
 
© РУТ (МИИТ), 2018 
 
 

Содержание 

Введение…………………………………………………...
5

1 Преобразование Лапласа…………………………….
7

 1.1 
Оригиналы и их изображения………………. 
7 

 1.2 
Изображение некоторых функций…………..
12 

2 Основные свойства и теоремы преобразования 

Лапласа……………………………………………….. 
17 

 2.1 
Свойства преобразования Лапласа…………. 
17 

 2.2 
Теоремы о дифференцировании оригинала и 
изображения………………………………….. 36 

 2.3 
Теоремы об интегрировании оригинала и 
изображения………………………………… 
41 

 2.4 
Умножение изображений. Свёртка…………. 45 

 2.5 
Интегралы Дюамеля…………………………. 50 

 2.6 
Изображение периодического оригинала….. 
52 

 2.7 
Предельные соотношения…………………… 53 

 2.8 
Таблица соответствия между оригиналами и 
их изображениями…………………………… 
55 

 2.9 
Обращение преобразования Лапласа………. 
58 

 2.10 

Применение преобразования Лапласа к 
интегрированию линейных 
дифференциальных уравнений……………...

60 

2.11 
Метод (принцип) Дюамеля решения 
дифференциальных уравнений……………... 
66 

 
2.12 
Линейные дифференциальные уравнения с 
переменными коэффициентами…………… 
69 

 
2.13 
Интегральные уравнения……………………. 
71 

2.14 

Решение систем дифференциальных 
уравнений…………………………………….. 
73 

3 
Индивидуальные задания по теме: «Операционное 
исчисление» ………………………………………… 
80 

Список литературы………………………………………
100 
 
 

Введение 

Изучение различных процессов физико-технического характера предполагает не только глубокое понимание их физической сути, но и умелое применение математического аппарата к 
исследованию математических моделей реальных физических 
процессов. Математическая модель отражает существенные 
стороны явления и представляет собой совокупность какихлибо условий.  
Операционное (символическое) исчисление – один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.  
 Многие математики еще в 19 веке стали заниматься операционным исчислением, в том числе и в России, например, М.Е. 
Ващенко-Захарченко (12.11.1825 – 7.08.1912), А.В. Летников 
(13.01.1837–10.03.1888). В его основе лежит построение математического анализа как системы формальных операций над 

символом 
d
p
dt
=
 производной по независимой переменной t, 

обратная операция интегрирования рассматривается как приме
нение символа 1
p . Символическое исчисление оказалось очень 

удобным для решения задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями (обыкновенными и в частных производных), которые возникают в математической физике.  
 Развитие и систематическое применение операционного 
исчисления началось в конце 19 века с работ английского инженера-электрика О. Хевисайда (1880 – 1925), который предложил 

формальные правила обращения с оператором дифференциро
вания d
dt   и успешно решил ряд прикладных задач в электротех
нике. Однако операционное исчисление не получило у него 
строгого математического обоснования. Первоначальное обоснование символического исчисления дали в 20 годах 20 века 
Т.Д. Бромвич (8.2.1875 – 26.8.1929) и Дж. Карсон (23.7.1898 – 
28.11.1952), английские математики, связав этот метод с известным из теории функций комплексного переменного методом 
интегральных преобразований. Обоснование операционного исчисления было дано с помощью преобразования Лапласа. При 
этом символ (оператор) p получил новое истолкование как комплексное переменное, а вместе с ним новую трактовку получило 
и само операционное исчисление как прикладной раздел теории 
функций комплексного переменного. В 1953 году Л. Микусинский (род. 3.4.1913, польский математик) алгебраизировал операционное исчисление, опираясь на понятие функционального 
кольца, дав, таким образом, его полное обоснование. Наиболее 
общая концепция операционного исчисления получается с помощью обобщенных функций, что расширяет возможности применения операторного метода при решении уравнений математической физики.  
      Операционное исчисление играет важную роль при решении 
прикладных задач, что особенно важно для студентов технического вуза. С помощью операционного исчисления можно 
также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается. 
 
 
 

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 
(Пьер Симон Лаплас (1749 – 1825) – французский математик) 

1.1 Оригиналы и их изображения 

      Основными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения. 
      Пусть  ( )t
f
 – действительная функция действительного переменного t  (под  t будем понимать время или координату). 
     Определение. Функция 
( )t
f
 называется оригиналом, если 

она удовлетворяет следующим условиям: 
     1.  ( )
0
=
t
f
   при    
(
)
;0
t ∈ −∞
 или 
0
t <
; 

     2. ( )t
f
 – кусочно-непрерывная при 
0
≥
t
 т. е. она непрерывна 
или  имеет точки разрыва 1-го рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек только  конечное  число, причем    
( )
(
)
0
0 .
f
f
=
+
  

     3. Существуют такие 
числа  
0
0 ,
M
и
α
>
≥
 
что для всех  t   выполняется 
неравенство    

( )
t
Me
t
f
α
<
, т. е. при воз
растании  t   функция  

( )
f t   может возрастать 

не быстрее некоторой показательной функции с 
показателем α.     Число  

0
inf
α
α
=
  (точная нижняя граница таких α) называется показателем роста функции 

( )
f t . 

0
1
2
t

f(t)

f(t)

Так как одно из основных приложений операционного исчисления - решение задач с начальными условиями (задач Коши), то 
поведение функций до начального момента 
0
t =
 несущественно.   
Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого 
момента времени; удобнее считать, что в момент  
0.
t =
 Второе 
условие означает, что на любом отрезке [
](
)
,
0 ≤
<
< ∞
a b
a
b
 

функция удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или 
имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого 
рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов). 
Третье условие означает, что скорость роста функции-оригинала не может быть больше экспоненциальной. 
Третьему условию удовлетворяют: 
- 
ограниченные функции    
0
(
0)
α =
;  

- 
 степенные    
( )
n
f t
t
=
. Так как  

t
t
e
<
 при 
0
t ≥
, поэтому 

t
t
e
α
α⋅
<
 
- 
и многие другие.  
Примеры функций, не являющихся оригиналами: 

1) 

0,
0;
( )
1 ,
0.
2

t
f t
t
t

<

= 
≥
 −


     Эта функция имеет разрыв второго 

рода в точке 
2
t =
. 

2) 

0,
0;
( )
1
sin
,
0.

t
f t
t
t

<

= 
 
≥
 

 


  Функция имеет бесконечное число 

экстремумов на отрезке [0,1].  

3) 
2
0,
0;
( )
(
2)
,
0.
t
t
f t
t
e
t

<

= 
+
⋅
≥


 

Не существует таких констант M и 
0
α , что 
0
|
( ) |
t
f t
M e
α ⋅
≤
⋅
. 

Не 
являются 
оригиналами, 
например, 
функции 
вида  

( )

2t
f t
a e
=
⋅
 
(не 
выполняется 
условие 
3), 
функции  

( )
,
0
n
a
f t
n
t
=
>
  (не выполняется условие 2). 

     Условия 1) – 3) выполняются для большинства функций, 
описывающих различные физические процессы. 
     Замечание. Функция  
( )
f t   может быть и комплексной  

функцией действительного переменного, т. е. иметь вид  

( )
( )
( )
1
2
f t
f
t
i f
t
=
+
 она считается оригиналом, если действи
тельные функции    
( )
1f
t и   
( )
2f
t    являются  оригиналами. 

Определение. Преобразованием Лапласа называется преоб
разование, которое ставит в соответствие функции 
( )
f t дей
ствительной  переменной  t  функцию ( )
p
F
 комплексной переменной p
x
i y
=
+
 по формуле  

                
( )
( )

0

p t
F p
e
f t dt

∞
− ⋅
=
⋅
∫
               (1) 

или 

( )
( )
( )

( )
(
)
( )
(
)

0
0

0
0
cos
sin

pt
x t
i y t

x t
xt

F p
e
f t dt
e
e
f t dt

e
f t
y t dt
i e
f t
y t dt

∞
∞
−
− ⋅
− ⋅ ⋅

∞
∞
− ⋅
−

=
=
⋅
=

=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅

∫
∫

∫
∫

 

Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно 
в любой точке p, удовлетворяющей неравенству 
1
Re p
α
≥
, где 

1
α  - произвольной число, такое, что 
1
0
α
α
>
. Действительно, 

0

0

(Re
Im
)

Re
Im
|
( ) | |
| |
( ) | |
|

|
| |
|

t
pt
pt
p i
p t

t
p t
i
p t
e
f t
e
f t
e
Me

M e
e
e

α

α

⋅
−
−
−
+

⋅
−
⋅
−
⋅

⋅
=
⋅
≤
⋅
=

=
⋅
⋅
=