Конструирование и расчет элементов оборудования

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

КОНСТРУИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ 
ЭЛЕМЕНТОВ ОБОРУДОВАНИЯ

Практикум

Казань

Издательство КНИТУ

2019

УДК 66.02.001.24(076)
ББК 34.7я7

К65

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

зам. нач. управления по производству и техн. обеспечению управления 

по проектно-конструкторским работам ПАО «Казаньоргсинтез» 

канд. техн. наук Е. Б. Татаринов

директор ООО «ИЦ «Эксперт Профи» канд. техн. наук 

Ф. Р. Зайнуллин

К65

Авторы: С. И. Валеев, А. С. Поникаров, В. А. Булкин, 
С. И. Поникаров
Конструирование и расчет элементов оборудования : практикум / 
С. И. Валеев [и др.]; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. 
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. – 124 с.

ISBN 978-5-7882-2562-3

Рассмотрены теоретические основы расчета оболочек вращения, круглых 
пластин, быстровращающихся дисков и оболочек, виброустойчивости 
валов, описание лабораторных и лабораторно-экспериментальных устано-
вок, методики проведения экспериментов и обработки полученных резуль-
татов.

Предназначен для студентов направлений подготовки 15.03.02 «Техно-

логические машины и оборудование», 18.03.02 «Энерго- и ресурсосберега-
ющие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии», 
21.03.01 «Нефтегазовое дело» всех форм обучения.

Подготовлен на кафедре «Машины и аппараты химических произ-

водств».

ISBN 978-5-7882-2562-3
© Валеев С. И., Поникаров А. С., 

Булкин В. А., Поникаров С. И., 2019

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2019

УДК 66.02.001.24(076)
ББК 34.7я7

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.................................................................................................... 4
Лабораторная работа 1. Определение критической скорости 
вращения вала с одним диском............................................................ 5
Лабораторная работа 2. Определение первой критической 
скорости вращения вала с несколькими дисками.......................... 16
Лабораторная работа 3. Исследование напряжений, действующих 
в стенке цилиндра ................................................................................. 30
Лабораторная работа 4. Определение напряжений в стенке 
вращающегося цилиндрического ротора......................................... 41
Лабораторная работа 5. Определение напряжений в днищах 
различной формы, нагруженных внутренним давлением............ 48
Лабораторная работа 6. Определение напряжений 
в толстостенных цилиндрах................................................................ 60
Лабораторная работа 7. Исследование устойчивости 
цилиндрических оболочек, нагруженных внешним давлением .. 70
Лабораторная работа 8. Определение температурных 
напряжений в теплообменнике жесткой конструкции.................. 81
Лабораторная работа 9. Исследование фланцевого соединения 
с плоскими-прокладками .................................................................... 93
Лабораторная работа 10. Исследование напряжений 
в быстровращающихся дисках......................................................... 107
Лабораторная работа 11. Исследование изгибающих напряжений 
в бандажах ............................................................................................ 115
Список используемой литературы................................................... 122

ВВЕДЕНИЕ

«Конструирование и расчет элементов оборудования» – одна из 

основополагающих дисциплин на завершающем этапе обучения, бази-
рующаяся на знании многих учебных дисциплин: высшей математики, 
сопротивления материалов, деталей машин, материаловедения, техно-
логии металлов, САПРа, процессов и аппаратов химической техноло-
гии и др.

Целью данного практикума является приобретение навыков ис-

пользования знаний, умений и их закрепление путем проведения экспе-
риментальных исследований; методов расчета различного оборудова-
ния; обработки полученных результатов и доказательства справедливо-
сти уравнений для расчета элементов оборудования в сравнении с экс-
периментом.

Представлены 11 лабораторных работ, выполняемых на кафедре 

«Машины и аппараты химических производств». По окончании каждой 
лабораторной работы обучающиеся должны оформить отчет. 

К каждой описываемой лабораторной работе представлены соот-

ветствующая ей установка, на которой непосредственно и проводятся 
экспериментальные исследования.

Лабораторная работа 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ 

ВАЛА С ОДНИМ ДИСКОМ

Цели работы: 
1. Ознакомление с методикой расчета критической скорости вра-

щения вала с одним диском при различных вариантах закрепления вала 
в опорах;

2. Развитие умения экспериментально определять критическое 

число оборотов вала с одним диском.

Понятие критической скорости вращения валов

Роторы машин, состоящие из вала с насаженными на него сосре-

доточенными массами, всегда подвержены колебаниям и вибрациям. 
Источником этих вибраций является несбалансированность, т. е. сме-
щенность от оси вращения вала центра тяжести вала или насаженных 
на него деталей. Обычно центр тяжести вала с вращающейся деталью 
имеет эксцентриситет относительно геометрической оси ее вращения 
либо за счет неточности изготовления, либо за счет статического про-
гиба, либо за счет прогиба от случайного импульса силы, сместившего 
положение центра тяжести с геометрической оси вала. Наличие эксцен-
триситета способствует возникновению неуравновешенной центробеж-
ной силы во вращающихся деталях.

Установлено, что в зависимости от скорости вращения вала его 

колебания могут иметь различную амплитуду. Скорости вращения, при 
которых валы становятся особо неустойчивыми, теряют свою прямоли-
нейную форму и приобретают прогибы, опасные для длительной ра-
боты, называются критическими скоростями. Возникновение критиче-
ских скоростей при вращении валов аналогично возникновению резо-
нансных явлений в колебательных системах, где совпадение частоты 
вынужденных и собственных колебаний системы (балки) приводит к 
критическим прогибам. Колебания вала при вращении также можно 
рассматривать как вынужденные колебания (например, в вертикальной 
плоскости). Колебания считаются вынужденными, если они вызваны 
принудительно внешней силой. В данном случае внешней силой явля-
ется центробежная сила вращающихся неуравновешенных масс. Про-
гибы при этих колебаниях будут иметь максимум, если вынужденные 

колебания по частоте совпадут с собственными колебаниями вала. При-
чем численные значения собственных колебаний зависят от свойств ма-
териала вала (жесткости, плотности и др.).

а

б

Рис. 1.1. Схема невесомого вала с одной сосредоточенной массой

а – неподвижный вал; б – вращающийся вал

Рассмотрим действие центробежной силы от неуравновешенных 

масс на вал с одним диском. Допустим, что вал невесомый, абсолютно 
упругий и может получать неограниченный прогиб (рис. 1.1). Опреде-
лим прогиб вала под действием центробежной силы вращающейся
массы диска, центр тяжести которого имеет начальный эксцентриситет. 
Пусть m – масса диска, е – начальный эксцентриситет ее центра тяжести 
М относительно оси вала. На вал действует центробежная сила

r
m
С
2

=
,
(1.1)

где r – радиус вращения точки М; – угловая скорость вращения.

Первоначально r=e, но, после того как вал получит упругий про-

гиб y, радиус вращения станет равным r = e + y, а центробежная сила –

(
)
y
e
m
С
+
=
2
/

.
(1.2)

Центробежная сила 
/
С стремится переместить точку по радиусу 

от оси вращения. Этому движению препятствует сила упругости вала, 
действующая на точку М пропорционально его прогибу:

ky
P =
.
(1.3)

Коэффициент пропорциональности k характеризует силу, вызы-

вающую единичный прогиб, а также изгибную жесткость вала (размер-
ность в Н/м или кгс/см). Других сил, действующих на диск, нет, по-
этому уравнение равновесия сил имеет вид

p
С =
/
или 
(
)
ky
y
e
m
=
+
2

.
(1.4)

Из этого уравнения легко найти зависимость прогиба вала от ско-

рости вращения  и начального эксцентриситета e:

2

2


m
k
e
m
y
−
=

.
(1.5)

При определенном значении угловой скорости выражение

(
2

m
k −
), стоящее в знаменателе, обращается в нуль. В этом случае 

прогиб становится бесконечным. Это значение угловой скорости и яв-
ляется критическим:

0
2 =
−

m
k
,
(1.6)

m
k
k =


.
(1.7)

Формула (1.7) может быть преобразована к виду, более удобному 

для расчетов. Для этого запишем уравнение равновесия вала с одним 
диском, свободно лежащего на опорах. Аналогично уравнению (1.4) бу-
дем иметь

ст
kf
mg =
.
(1.8)

где ст
f
– статический прогиб; к – сила, вызывающая единичный про-

гиб; g – ускорение свободного падения.

Определив из уравнения (1.8) величину k и подставив ее в урав-

нение (1.7), получим

ст
f
g
k =


.
(1.9)

Принимая во внимание, что величина g в условиях решаемой за-

дачи (в земных условиях) практически постоянна, приходим к выводу, 
что значение критической скорости зависит от статического прогиба, 
характеризующего жесткость данной системы (вала).

В реальных условиях прогиб вала 
ст
f
становится бесконечно 

большим, как это следует из соотношения (1.5), даже при критических 
скоростях вращения. Однако длительное вращение вала при критиче-
ских скоростях может привести к потере упругости и усталостному из-
лому вала за счет большого прогиба.

Анализ влияния величины начального эксцентриситета на про-

гиб вала при вращении позволяет обнаружить вероятностный или не-
устойчивый характер явления. Для того чтобы критическое явление 
имело место, наличие начального эксцентриситета необязательно. Сле-
дует отметить, что при критической скорости вращения прогиб неогра-
ниченно возрастает. При е =0, согласно уравнению (1.5), прогиб у= 0 
при любой скорости вращения. Однако достаточно случайного откло-
нения вала от равновесия, чтобы при 
k

 =
прогиб стал «бесконечно 

большим».

Во вращающихся валах можно обнаружить явление самоцентри-

рования. Для того чтобы объяснить явление самоцентрирования, 
найдем предел, к которому стремится прогиб вала при неограниченном 
возрастании скорости вращения. Разделив числитель и знаменатель 
дроби в правой части уравнения (1.5) на  
2

m
, получим

1
2 −
=

m
k

e
y

.
(1.10)

Отсюда при 

→


→
2

m
k
и 
(
)e
y
−
→
. Физически это озна-

чает, что вал изгибается таким образом, что центр тяжести приближа-
ется к оси вращения. При этом радиус вращения центра тяжести 
y
e
r
+
=

и центробежная сила, возбуждающая колебания вала, значительно 
уменьшаются. Полного самоцентрирования (т. е. у=−е) практически до-
стичь невозможно, так как нельзя достичь бесконечной скорости вра-
щения.

Полученная формула (1.9) позволяет определить критическую 

угловую скорость невесомого вала, несущего одну сосредоточенную 
массу. Учесть влияние собственного вала на критическую угловую ско-
рость можно, если воспользоваться принципом независимости влияния   
масс (принципом суперпозиции). Тогда критическая угловая скорость 
тяжелого вала с одним диском будет определяться по формуле, предло-
женной Донкерли:

2
1
2
2
1
1
1




+
=

о
кр
,
(1.11)

где 
о
 – первая критическая угловая скорость тяжелого вала; 
1
 – кри-

тическая угловая скорость невесомого вала с одним диском.

Влияние характера опор на критическую скорость

вращения вала

При определении критических скоростей вращающихся валов 

необходимо учитывать характер опор (подшипников). Принято 
условно называть опоры, допускающие поворот оси вала относительно 
оси опоры, короткими (рис. 1.2а), а опоры, не допускающие этого пово-
рота, – длинными (рис. 1.2б). В первом случае опора по характеру воз-
действия на цапфу вала близка к шарнирному закреплению, а во втором 
случае – к жесткому защемлению. К коротким опорам относят радиаль-
ные однорядные шариковые, двухрядные сферические шариковые и ро-
ликовые подшипники, узкие роликовые подшипники, а к длинным –
подшипники с длинными цилиндрическими роликами, игольчатые под-
шипники и подшипники скольжения, длина которых равна 3–4 диамет-
рам вала и более. Сдвоенные, двухрядные и многорядные шариковые и 
роликовые подшипники также относятся к длинным опорам.

В технике встречаются следующие расчетные схемы закрепления 

вала в опорах (см. рис. 1.2): вал в коротких опорах; вал в длинных опо-
рах; вал, у которого одна из опор короткая, другая длинная.

Рис 1.2. Схемы закрепления валов:

а – вал в коротких опорах; б – вал в длинных опорах; в – вал 

в смешанных опорах

Расчетные формулы для определения значения 
о
 тяжелого вала 

в зависимости от принятой схемы закрепления вала будут иметь следу-
ющий вид:

а) вал в коротких опорах:

q
EJ
g
n
о
2

2
2




 =

,.
(1.12)

где n=1,2,3... – целое положительное число, равное номеру критической
скорости;  – расстояние между опорами, м; g – ускорение свободного 
падения, м/с2; Е – модуль упругости первого рода, Па; J – экваториаль-
ный момент инерции сечения вала, м4; q – удельная нагрузка (вес еди-
ницы длины тяжелого вала), Н/м;

б) вал в длинных опорах:

q
EJ
g
n
о
2

2
2

4


 =
,
(1.13)

где n = 3,5,7...  (ряд нечетных чисел начиная с 3);

в) вал в одном длинном и одном коротком подшипниках:

q
EJ
g
n
о
2

2
2

16


 =
,
(1.14)

где n = 4k+ 1, а k = 1,2,3... (ряд чисел).

При расчете первой критической скорости в формулах (1.12)–

(1.14) принимаются наименьшие значения n. Расчет 
1
 производится по 

формуле (1.9), где переменной величиной, учитывающей влияние опор, 
будет прогиб
ст
f
. С учетом расчетных схем закрепления вала рассмот-

рим формулы для определения ст
f
и 
1
 .

Вал в коротких подшипниках. Прогиб ст
f
в месте приложения 

силы определяется, как для балки, опирающейся на две шарнирные 
опоры:

(
)


2
2

3
a
a
EJ
G
ст
f
−

=

.
(1.15)

Иcпользуя уравнение (1.9), имеем 

(
)
2
2

2
1
3

a
a
G

gEJ

−
=





,
(1.16)

где E – модуль упругости материала, Па; G – вес диска, Н; а – расстоя-
ние от левого подшипника до диска, м; 
2
1
 – критическая угловая ско-

рость, рад/с;  – расстояние между опорами, м.

Для случая, когда диск расположен в середине вала (
2

=
a
),

уравнение (1.16) приводится к виду

3
93
.6
1

G

gEJ



.
(1.17)

Вал в длинных подшипниках. Прогиб ст
f
определяется, как для 

балки, жестко защемленной по концам:

(
)

3

3
3

3


a
a
EJ
G
f ст
−

=
.
(1.18)

Подставив данное значение ст
f
в (1.9), получим

(
)
3
3
2
1

3
3

a
a
G

gEJ

−
=




.
(1.19)

Если диск расположен посередине, то 

3
1
86
.
13

G
gEJ


.
(1.20)

Вал в одном длинном и одном коротком подшипниках. Прогиб 

определяется по формуле

(
)

3

2
3

12
3


gEJ
b
b
Ga
f ст
+
=
.
(1.21)

Подставив полученное значение в (1.9), найдем

(
)
b
b
Ga

gEJ

+
=




3

12

2

3

3
2
1

.
(1.22)

где 
a
b
−
= 
.

В смешанном варианте опор (одна опора длинная, другая корот-

кая) величина а равна расстоянию диска от опоры, соответствующей 
длинному подшипнику или жесткому защемлению. В частности,  при 
расположении диска в середине после замены 
2

=
a
и 
2

=
b
получим

3
1
74
.
10

G
gEJ


.
(1.23)

Различные варианты опор удобно сравнивать в тех случаях, когда 

диск расположен посередине. Сопоставляя (1.17) и (1.20), видим, что во 
втором случае (два длинных подшипника) критическая скорость вдвое 
больше, чем в первом (два коротких подшипника). Это связано с тем, 
что жесткость вала в длинных подшипниках больше, чем жесткость 
того же вала в коротких подшипниках. Если один подшипник длинный, 
а другой короткий, то получается промежуточный результат (1.23).