Конструирование и расчет элементов оборудования

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

КОНСТРУИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ 
ЭЛЕМЕНТОВ ОБОРУДОВАНИЯ

Практикум

Казань

Издательство КНИТУ

2019

УДК 66.02.001.24(076)
ББК 34.7я7

К65

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

зам. нач. управления по производству и техн. обеспечению управления 

по проектно-конструкторским работам ПАО «Казаньоргсинтез» 

канд. техн. наук Е. Б. Татаринов

директор ООО «ИЦ «Эксперт Профи» канд. техн. наук 

Ф. Р. Зайнуллин

К65

Авторы: С. И. Валеев, А. С. Поникаров, В. А. Булкин, 
С. И. Поникаров
Конструирование и расчет элементов оборудования : практикум / 
С. И. Валеев [и др.]; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. 
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. – 124 с.

ISBN 978-5-7882-2562-3

Рассмотрены теоретические основы расчета оболочек вращения, круг
лых пластин, быстровращающихся дисков и оболочек, виброустойчивости 
валов, описание лабораторных и лабораторно-экспериментальных установок, методики проведения экспериментов и обработки полученных результатов.

Предназначен для студентов направлений подготовки 15.03.02 «Техно
логические машины и оборудование», 18.03.02 «Энерго- и ресурсосберегающие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии», 
21.03.01 «Нефтегазовое дело» всех форм обучения.

Подготовлен на кафедре «Машины и аппараты химических произ
водств».

ISBN 978-5-7882-2562-3
© Валеев С. И., Поникаров А. С., 

Булкин В. А., Поникаров С. И., 2019

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2019

УДК 66.02.001.24(076)
ББК 34.7я7

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.................................................................................................... 4
Лабораторная работа 1. Определение критической скорости 
вращения вала с одним диском............................................................ 5
Лабораторная работа 2. Определение первой критической 
скорости вращения вала с несколькими дисками.......................... 16
Лабораторная работа 3. Исследование напряжений, действующих 
в стенке цилиндра ................................................................................. 30
Лабораторная работа 4. Определение напряжений в стенке 
вращающегося цилиндрического ротора......................................... 41
Лабораторная работа 5. Определение напряжений в днищах 
различной формы, нагруженных внутренним давлением............ 48
Лабораторная работа 6. Определение напряжений 
в толстостенных цилиндрах................................................................ 60
Лабораторная работа 7. Исследование устойчивости 
цилиндрических оболочек, нагруженных внешним давлением .. 70
Лабораторная работа 8. Определение температурных 
напряжений в теплообменнике жесткой конструкции.................. 81
Лабораторная работа 9. Исследование фланцевого соединения 
с плоскими-прокладками .................................................................... 93
Лабораторная работа 10. Исследование напряжений 
в быстровращающихся дисках......................................................... 107
Лабораторная работа 11. Исследование изгибающих напряжений 
в бандажах ............................................................................................ 115
Список используемой литературы................................................... 122

ВВЕДЕНИЕ

«Конструирование и расчет элементов оборудования» – одна из 

основополагающих дисциплин на завершающем этапе обучения, базирующаяся на знании многих учебных дисциплин: высшей математики, 
сопротивления материалов, деталей машин, материаловедения, технологии металлов, САПРа, процессов и аппаратов химической технологии и др.

Целью данного практикума является приобретение навыков ис
пользования знаний, умений и их закрепление путем проведения экспериментальных исследований; методов расчета различного оборудования; обработки полученных результатов и доказательства справедливости уравнений для расчета элементов оборудования в сравнении с экспериментом.

Представлены 11 лабораторных работ, выполняемых на кафедре 

«Машины и аппараты химических производств». По окончании каждой 
лабораторной работы обучающиеся должны оформить отчет. 

К каждой описываемой лабораторной работе представлены соот
ветствующая ей установка, на которой непосредственно и проводятся 
экспериментальные исследования.

Лабораторная работа 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ 

ВАЛА С ОДНИМ ДИСКОМ

Цели работы: 
1. Ознакомление с методикой расчета критической скорости вра
щения вала с одним диском при различных вариантах закрепления вала 
в опорах;

2. Развитие умения экспериментально определять критическое 

число оборотов вала с одним диском.

Понятие критической скорости вращения валов

Роторы машин, состоящие из вала с насаженными на него сосре
доточенными массами, всегда подвержены колебаниям и вибрациям. 
Источником этих вибраций является несбалансированность, т. е. смещенность от оси вращения вала центра тяжести вала или насаженных 
на него деталей. Обычно центр тяжести вала с вращающейся деталью 
имеет эксцентриситет относительно геометрической оси ее вращения 
либо за счет неточности изготовления, либо за счет статического прогиба, либо за счет прогиба от случайного импульса силы, сместившего 
положение центра тяжести с геометрической оси вала. Наличие эксцентриситета способствует возникновению неуравновешенной центробежной силы во вращающихся деталях.

Установлено, что в зависимости от скорости вращения вала его 

колебания могут иметь различную амплитуду. Скорости вращения, при 
которых валы становятся особо неустойчивыми, теряют свою прямолинейную форму и приобретают прогибы, опасные для длительной работы, называются критическими скоростями. Возникновение критических скоростей при вращении валов аналогично возникновению резонансных явлений в колебательных системах, где совпадение частоты 
вынужденных и собственных колебаний системы (балки) приводит к 
критическим прогибам. Колебания вала при вращении также можно 
рассматривать как вынужденные колебания (например, в вертикальной 
плоскости). Колебания считаются вынужденными, если они вызваны 
принудительно внешней силой. В данном случае внешней силой является центробежная сила вращающихся неуравновешенных масс. Прогибы при этих колебаниях будут иметь максимум, если вынужденные 

колебания по частоте совпадут с собственными колебаниями вала. Причем численные значения собственных колебаний зависят от свойств материала вала (жесткости, плотности и др.).

а

б

Рис. 1.1. Схема невесомого вала с одной сосредоточенной массой

а – неподвижный вал; б – вращающийся вал

Рассмотрим действие центробежной силы от неуравновешенных 

масс на вал с одним диском. Допустим, что вал невесомый, абсолютно 
упругий и может получать неограниченный прогиб (рис. 1.1). Определим прогиб вала под действием центробежной силы вращающейся
массы диска, центр тяжести которого имеет начальный эксцентриситет. 
Пусть m – масса диска, е – начальный эксцентриситет ее центра тяжести 
М относительно оси вала. На вал действует центробежная сила

r
m
С
2

=
,
(1.1)

где r – радиус вращения точки М; – угловая скорость вращения.

Первоначально r=e, но, после того как вал получит упругий про
гиб y, радиус вращения станет равным r = e + y, а центробежная сила –

(
)
y
e
m
С
+
=
2
/

.
(1.2)

Центробежная сила 
/
С стремится переместить точку по радиусу 

от оси вращения. Этому движению препятствует сила упругости вала, 
действующая на точку М пропорционально его прогибу:

ky
P =
.
(1.3)

Коэффициент пропорциональности k характеризует силу, вызы
вающую единичный прогиб, а также изгибную жесткость вала (размерность в Н/м или кгс/см). Других сил, действующих на диск, нет, поэтому уравнение равновесия сил имеет вид

p
С =
/
или 
(
)
ky
y
e
m
=
+
2

.
(1.4)

Из этого уравнения легко найти зависимость прогиба вала от ско
рости вращения  и начального эксцентриситета e:

2

2


m
k
e
m
y
−
=

.
(1.5)

При определенном значении угловой скорости выражение

(
2

m
k −
), стоящее в знаменателе, обращается в нуль. В этом случае 

прогиб становится бесконечным. Это значение угловой скорости и является критическим:

0
2 =
−

m
k
,
(1.6)

m
k
k =


.
(1.7)

Формула (1.7) может быть преобразована к виду, более удобному 

для расчетов. Для этого запишем уравнение равновесия вала с одним 
диском, свободно лежащего на опорах. Аналогично уравнению (1.4) будем иметь

ст
kf
mg =
.
(1.8)

где ст
f
– статический прогиб; к – сила, вызывающая единичный про
гиб; g – ускорение свободного падения.

Определив из уравнения (1.8) величину k и подставив ее в урав
нение (1.7), получим

ст
f
g
k =


.
(1.9)

Принимая во внимание, что величина g в условиях решаемой за
дачи (в земных условиях) практически постоянна, приходим к выводу, 
что значение критической скорости зависит от статического прогиба, 
характеризующего жесткость данной системы (вала).

В реальных условиях прогиб вала 
ст
f
становится бесконечно 

большим, как это следует из соотношения (1.5), даже при критических 
скоростях вращения. Однако длительное вращение вала при критических скоростях может привести к потере упругости и усталостному излому вала за счет большого прогиба.

Анализ влияния величины начального эксцентриситета на про
гиб вала при вращении позволяет обнаружить вероятностный или неустойчивый характер явления. Для того чтобы критическое явление 
имело место, наличие начального эксцентриситета необязательно. Следует отметить, что при критической скорости вращения прогиб неограниченно возрастает. При е =0, согласно уравнению (1.5), прогиб у= 0 
при любой скорости вращения. Однако достаточно случайного отклонения вала от равновесия, чтобы при 
k

 =
прогиб стал «бесконечно 

большим».

Во вращающихся валах можно обнаружить явление самоцентри
рования. Для того чтобы объяснить явление самоцентрирования, 
найдем предел, к которому стремится прогиб вала при неограниченном 
возрастании скорости вращения. Разделив числитель и знаменатель 
дроби в правой части уравнения (1.5) на  
2

m
, получим

1
2 −
=

m
k

e
y

.
(1.10)

Отсюда при 

→


→
2

m
k
и 
(
)e
y
−
→
. Физически это озна
чает, что вал изгибается таким образом, что центр тяжести приближается к оси вращения. При этом радиус вращения центра тяжести 
y
e
r
+
=

и центробежная сила, возбуждающая колебания вала, значительно 
уменьшаются. Полного самоцентрирования (т. е. у=−е) практически достичь невозможно, так как нельзя достичь бесконечной скорости вращения.

Полученная формула (1.9) позволяет определить критическую 

угловую скорость невесомого вала, несущего одну сосредоточенную 
массу. Учесть влияние собственного вала на критическую угловую скорость можно, если воспользоваться принципом независимости влияния   
масс (принципом суперпозиции). Тогда критическая угловая скорость 
тяжелого вала с одним диском будет определяться по формуле, предложенной Донкерли:

2
1
2
2
1
1
1




+
=

о
кр
,
(1.11)

где 
о
 – первая критическая угловая скорость тяжелого вала; 
1
 – кри
тическая угловая скорость невесомого вала с одним диском.

Влияние характера опор на критическую скорость

вращения вала

При определении критических скоростей вращающихся валов 

необходимо учитывать характер опор (подшипников). Принято 
условно называть опоры, допускающие поворот оси вала относительно 
оси опоры, короткими (рис. 1.2а), а опоры, не допускающие этого поворота, – длинными (рис. 1.2б). В первом случае опора по характеру воздействия на цапфу вала близка к шарнирному закреплению, а во втором 
случае – к жесткому защемлению. К коротким опорам относят радиальные однорядные шариковые, двухрядные сферические шариковые и роликовые подшипники, узкие роликовые подшипники, а к длинным –
подшипники с длинными цилиндрическими роликами, игольчатые подшипники и подшипники скольжения, длина которых равна 3–4 диаметрам вала и более. Сдвоенные, двухрядные и многорядные шариковые и 
роликовые подшипники также относятся к длинным опорам.

В технике встречаются следующие расчетные схемы закрепления 

вала в опорах (см. рис. 1.2): вал в коротких опорах; вал в длинных опорах; вал, у которого одна из опор короткая, другая длинная.

Рис 1.2. Схемы закрепления валов:

а – вал в коротких опорах; б – вал в длинных опорах; в – вал 

в смешанных опорах

Расчетные формулы для определения значения 
о
 тяжелого вала 

в зависимости от принятой схемы закрепления вала будут иметь следующий вид:

а) вал в коротких опорах:

q
EJ
g
n
о
2

2
2




 =

,.
(1.12)

где n=1,2,3... – целое положительное число, равное номеру критической
скорости;  – расстояние между опорами, м; g – ускорение свободного 
падения, м/с2; Е – модуль упругости первого рода, Па; J – экваториальный момент инерции сечения вала, м4; q – удельная нагрузка (вес единицы длины тяжелого вала), Н/м;

б) вал в длинных опорах:

q
EJ
g
n
о
2

2
2

4


 =
,
(1.13)

где n = 3,5,7...  (ряд нечетных чисел начиная с 3);

в) вал в одном длинном и одном коротком подшипниках:

q
EJ
g
n
о
2

2
2

16


 =
,
(1.14)

где n = 4k+ 1, а k = 1,2,3... (ряд чисел).

При расчете первой критической скорости в формулах (1.12)–

(1.14) принимаются наименьшие значения n. Расчет 
1
 производится по 

формуле (1.9), где переменной величиной, учитывающей влияние опор, 
будет прогиб
ст
f
. С учетом расчетных схем закрепления вала рассмот
рим формулы для определения ст
f
и 
1
 .

Вал в коротких подшипниках. Прогиб ст
f
в месте приложения 

силы определяется, как для балки, опирающейся на две шарнирные 
опоры:

(
)


2
2

3
a
a
EJ
G
ст
f
−

=

.
(1.15)

Иcпользуя уравнение (1.9), имеем 

(
)
2
2

2
1
3

a
a
G

gEJ

−
=





,
(1.16)

где E – модуль упругости материала, Па; G – вес диска, Н; а – расстояние от левого подшипника до диска, м; 
2
1
 – критическая угловая ско
рость, рад/с;  – расстояние между опорами, м.