Математика в профессиональном образовании: основы методики обучения инженерной математике

МАТЕМАТИКА 

В ПРОФЕССИОНАЛЬНОМ 

ОБРАЗОВАНИИ 

ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ 

ИНЖЕНЕРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

В.М. ФЕДОСЕЕВ
М.А. РОДИОНОВ
Г.И. ШАБАНОВ

Москва
ИНФРА-М

2022

МОНОГРАФИЯ

УДК 51-74:378(075.4)
ББК 22.1+74.48
 
Ф33

Федосеев В.М.

Ф33  
Математика в профессиональном образовании: основы методи
ки обучения инженерной математике : монография / В.М. Федосеев, 
М.А. Родионов, Г.И. Шабанов. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 173 с. — 
(Научная мысль). — DOI 10.12737/1859606.

ISBN 978-5-16-017511-9 (print)
ISBN 978-5-16-110031-8 (online)
В монографии рассматриваются вопросы методики математического 

образования будущего инженера. За основу принята интеграционная модель учебного процесса. В соответствии с данной моделью курс математики должен быть интегрирован в систему инженерного образования. При 
этом и содержание, и методика обучения приобретают специфические черты, позволяющие рассматривать учебный предмет как особую инженерную 
математику. Авторами осуществляется методологический анализ понятия 
«инженерная математика», вводятся главные интегрирующие структуры 
и на этой основе разрабатываются технологии обучения, отвечающие специфике инженерного мировоззрения и методологии технических наук.

Адресована научным работникам, специалистам в области теории и ме
тодики профессионального образования, а также преподавателям, аспирантам и студентам технических вузов.

УДК 51-74:378(075.4) 
ББК 22.1+74.48

ISBN 978-5-16-017511-9 (print)
ISBN 978-5-16-110031-8 (online)

© Федосеев В.М., Родионов М.А.,  
Шабанов Г.И., 2022

Р е ц е н з е н т ы:
Пасин А.В., доктор технических наук, профессор кафедры эксплуатации машинно-тракторного парка, декан инженерного факультета 
Нижегородской сельскохозяйственной академии, почетный работник 
высшего профессионального образования, высшего образования Российской Федерации;
Пучков Н.П., доктор педагогических наук, профессор кафедры высшей математики Тамбовского государственного технического университета

От авторов

В 2018 году в издательстве «ИНФРА-М» авторами была опубликована монография «Основы инженерной математики» [201], 
посвященная изложению основ теории и методики интегрированного обучения студентов технических и технологических направлений. Публикация имела отклик и поэтому возникла потребность 
в переиздании названной монографии. За прошедшее время были 
получены новые результаты, вышла большая статья [153] по проектированию технологического компонента интегрированной методической системы математической подготовки будущих инженеров, 
ряд других работ [37, 202, 203], продолжающих и развивающих тему 
преподавания математики инженерам. Развернутая критика качества современного инженерного образования [84], выполненное 
моделирование зависимости показателей знаний инженерных дисциплин от математических дисциплин [35], новые труды по инженерной педагогике [168] еще более утвердили авторов в их представлениях о принципах методики обучения будущих инженеров. 
И, хотя отношение к излагаемым вопросам в целом не изменилось, 
после расширения и дополнения содержательного тезауруса авторы 
сочли возможным развить принятые педагогические установки 
в данном издании, по нашему мнению более точно отражающим 
тематику и содержание выполненного исследования.

Смысл понятия «инженерная математика» соотносится с соб
ственно математикой примерно так же, как инженерная педагогика 
соотносится с педагогикой. В первом случае прежде всего имеются 
в виду особенности методики обучения, учитывающие специфику 
инженерной деятельности и методологию технических наук. Наряду с этим понятием, для обозначения математического курса, 
преподаваемого инженерам, весьма часто встречается более общий 
термин «прикладная математика», который также используется 
в монографии.

Основным мотивом для предпринятого монографического исследования послужили критика современного состояния математического образования будущих инженеров, а также сложившееся 
в современном научно-педагогическом сообществе не вполне удовлетворительное отношение к инженерной математике. В настоящее 
время достаточно большое число ученых и педагогов считают, что 
преподавание математики инженерам не должно иметь принципиальных отличий от преподавания математических дисциплин 
в классических университетах и педагогических вузах. Методики 
обучения «и здесь, и там» в целом могут быть одними и теми же; 
при этом курс математики для инженеров не требует специального 

методического переосмысления и может быть переделан сокращением объема учебного материала с незначительным дополнением 
в виде специальных примеров и задач. Авторы же предлагаемой 
монографии не разделяют подобных взглядов. Математика в техническом вузе — это часть целостной системы инженерного образования, и, соответственно, должна детерминироваться в первую очередь общими, надпредметными целями инженерного образования. 
Соответственно, ко всем вопросам обучения математике в технических вузах следует подходить не только и не столько с позиции 
чистого математика, но и в большей степени — с позиции инженера-практика. И здесь может быть уместно напомнить мнение замечательного французского математика XIX века, профессора Политехнической школы и Парижского университета Шарля Эрмита: 
«В математике мы больше слуги, чем господа».
Авторы выражают признательность профессорам Пензенского 

государственного технологического университета В.Б. Моисееву, 
С.В. Сергеевой, В.В. Волкову, общение и совместная научно-методическая работа с которыми в значительной степени способствовали созреванию замысла и написанию этой книги. Авторы 
также благодарны рецензентам, сделавшим ряд ценных замечаний, 
позволивших улучшить содержание книги.

Предисловие

В инженерном образовании математику традиционно относят 

к группе фундаментальных дисциплин, составляющих теоретическую базу подготовки будущего инженера. Для таких представлений есть веские основания. Инженерная практика уже в XIX веке 
настолько осложнилась, что имеющийся фактический материал 
нуждался в теоретическом осмыслении и упорядочивании, а для 
этого нужна математика. В отечественном энциклопедическом 
справочнике «Машиностроение», изданном в середине ХХ столетия, роли и значению математики в технике дается следующее 
обоснование: «Математика является одним из краеугольных 
камней, на котором базируются все инженерные науки. Технические расчеты в современном машиностроении, исследования 
и измерения, постановка экспериментов и обработка результатов 
требуют широкого использования математических методов» [223, 
с. VI]. Такая оценка дается в издании, имеющем профессиональнопрактическую направленность, и показательно, что математике 
для инженеров-машиностроителей в нем отводят место большее, 
чем любой другой науке. Среди его авторов мы находим громкие 
имена: М.В. Келдыша, известного математика, будущего президента АН СССР; академиков, специалистов по прикладной математике и механике А.Ю. Ишлинского и Ю.Н. Работнова; профессоров, авторов классических учебников по математике С.В. Бахвалова и Л.П. Смирнова.

Следует напомнить, что тогда и математическое, и инженерное 

образование в нашей стране считались одними из лучших в мире. 
Крупнейшие математики страны участвовали в решении инженерно-технических проблем, инженеры привлекались для преподавания математики в вузах и писали математические учебники, 
примером чему служит известный задачник по математическому 
анализу инженера Г.Н. Бермана. Наши достижения тех лет в образовании, науке и технике хорошо известны. Ныне в профессиональном образовании вновь обращаются к научно-методическому 
опыту тех лет, и в современных методологических работах отмечается, что «классическая концепция инженерного образования с его 
целостным характером знания, сложившаяся в XIX — начале XX в., 
сегодня вновь становится актуальной» [159, c. 136].

По давно утвердившемуся и вполне очевидному мнению ма
тематика является весьма важным инструментом в инженерном 
деле. Академик Н.Н. Моисеев писал о том, что в технике математика — это часть конструкторского ремесла, часть технологии 
[117, c. 144]. В соответствии со сказанным, в последней версии 

образовательных стандартов математика расценивается как «неотъемлемая и очень важная составляющая компетентности инженера» [129, c. 15]. На основании построенных моделей [35] 
зависимости показателей уровня знаний инженерных дисциплин 
от математической подготовки студентов отмечается, что качественное освоение общеинженерных и специальных инженерных 
дисциплин должно опираться на знание математического аппарата, на котором базируются эти дисциплины. «Низкий уровень 
математических дисциплин в школе и вузе не может обеспечить 
формирование инженера-творца, а может подготовить только ремесленника, не способного решать сложные инновационные задачи» [35, c. 89].

Инженер, безусловно, нуждается в обширных математических 

знаниях. Но значение математических учебных дисциплин в инженерном образовании не исчерпывается только «знаниевой» его стороной. Не меньшую, а может быть и большую ценность имеет воспитательное значение математики, ее потенциальные возможности 
для формирования тех личностных качеств студента, которые вообще составляют культуру инженерного мышления.

Логико-методологический анализ состава и структуры инженер
ного мышления убедительно свидетельствует о том, какое значение 
имеет математический метод в выработке стратегии инженерного 
подхода к проблеме. В данном контексте математика выступает 
как часть общей методологии и методики решения инженерных 
задач, соединяющей теорию с практикой и задающей формы и способы мыслительных операций. При этом вполне естественно, что 
«трудные технические задачи требуют настоящего математического 
творчества» [117, c. 6].

Математике в инженерном образовании по праву отводится 

важное место. Однако инженер смотрит на соответствующую науку 
иначе, чем профессиональный математик или преподаватель с дипломом классического университета. Вполне очевидно, что для 
будущего инженера важнее, чтобы в обучении математические понятия излагались в большей мере с точки зрения их приложений, 
чем с точки зрения их логического развития. В математике инженера 
привлекает не формальная, а содержательная сторона. Поэтому для 
того, чтобы математика могла эффективно выполнять свои обязанности, и содержание курса, и методика его преподавания должны 
удовлетворять определенным требованиям, соответствующим отношению инженера к этой науке. Современная же математика и находящаяся под ее влиянием методика обучения данному предмету, 
как показывают многочисленные опросы, зачастую представляется 
инженеру слишком абстрактной, далекой от приложений и потому 
бесполезной для инженерной науки и практики.

Сложившуюся в ХХ веке ситуацию в математическом образо
вании Г. Фройденталь, имея в виду потребности прикладников, обрисовал следующими словами: «Совершенно нетерпимо, когда математик преподает математику без ее применений, а физик применяет математические методы, не излагавшиеся математиком. <…> 
Эта шизофрения имеет глубокие корни. Разрыв возник в конце 
прошлого столетия (имеется в виду XIX век) и продолжает расширяться вследствие современного развития, особенно вследствие 
проникновения теоретико-множественной терминологии и новых 
формулировок в математику. Если мы, математики, будем все более 
методично и неэвристично преподавать математику, то люди, которые ее применяют, станут сами давать своим ученикам ту математику, которую они считают нужной» [206, c. 106].

По многим публикациям и собственному педагогическому 

опыту можем судить о том, что математика представляется значительной части будущих инженеров далекой по декларируемым 
целям и задействованному инструментарию от реалий их будущей 
профессиональной деятельности. Малая заинтересованность студентов в обучении математике и, как следствие, плохая успеваемость по предмету не могут удовлетворять ни преподавателей математики, ни тем более потребителей математических знаний. Такое 
положение требует коррекции системы математической подготовки 
на инженерных факультетах вузов. Такая коррекция должна опираться прежде всего на профессиональное мнение инженеров-практиков о той математике, какой бы они хотели научиться.

Как известно, стиль мышления инженера — конкретный, пред
метно-наглядный и образный. В науке его интересует прежде всего 
смысловое содержание. Инженер плохо понимает те утверждения, 
которые ему не ясны и в которых он не видит практического 
смысла. Отсюда и его отношение к математике прежде всего как 
к опытной, индуктивной науке, принципиально не отличающейся 
от прикладных дисциплин, представленных в составе инженерной 
подготовки.

Описываемую позицию инженера в отношении математики 

и методики ее преподавания достаточно точно передает следующая 
цитата из О. Хевисайда, известного английского математика, физика и инженера: «Это возмутительно, что молодые люди должны 
забивать себе голову сплошными логическими тонкостями, пытаясь понять доказательство очевидного факта с помощью чегото, столь же очевидного, или, может быть, не столь очевидного, 
и приобретая глубокую неприязнь к математике, в то время как изучение геометрии, важнейшего фундаментального предмета, может 
быть сделано очень интересным и поучительным. Я придерживаюсь мнения, что это, по существу, экспериментальная наука, как 

и всякая другая, и ее надо преподавать в первую очередь с помощью 
наблюдения, описания и эксперимента. Обучение должно быть естественным продолжением того знакомства с геометрией, которое 
получает каждый, соприкасаясь с окружающим миром, но, конечно, 
обучение должно быть более определенным и целенаправленным» 
[25, c. 13].
Такое понимание математики может показаться несколько арха
ичным и несовременным. Но и в наше время известный математик, 
академик В.И. Арнольд отношение к математике как к опытной 
науке в вопросах преподавания считал наиболее продуктивным 
и распространял его на все математическое образование в целом 
[6–11]. И именно в таком подходе инженерное образование заинтересовано более всего, и такой взгляд на математику для инженера, 
по мнению указанного ученого, является наиболее естественным 
и целесообразным.

В математике инженер видит главным образом определенную 
методологию решения практических задач, так сказать, школу 
мышления, развивающую изобретательские и творческие способности. И в математике это есть более, чем в других науках. «Математика в некоторых отношениях является наиболее подходящим 
экспериментальным материалом для изучения индуктивных рассуждений», — писал известный специалист по методологии и методике математического образования Д. Пойа [135, c. 18].

Таким образом, математика в инженерной реальности является 

частью научного метода, важным инструментальным средством 
для осуществления технических исследований и разработок. Как 
учебная дисциплина она обладает значительным педагогическим 
потенциалом, необходимым для формирования инженерной культуры студента вуза. Главная же задача обучения математике в техническом вузе состоит в том, чтобы этот потенциал был реализован 
в достаточной мере. В данном контексте математика должна преподаваться не как замкнутая в себе логическая дисциплина, а как 
составная часть общей системы профессиональных знаний; для инженеров представляющая собой особый «раздел» технических наук 
и естествознания. Методы обучения математике должны быть максимально приближены к мировоззрению инженера. Вместе с тем, 
как указывает Г. Штейнгауз, пока «симбиоз математики с техникой 
не дал тех результатов, которые ожидались, возможно, потому, что 
обе стороны имели свои традиции, а также из-за психологических 
различий при оценке и понимании роль математики в технических 
приложениях» [220, c. 270].
Сказанное обуславливает целесообразность разработки специальной методической системы инженерной математики, опирающейся на вузовский учебный курс математики, естественным 

образом интегрированный в систему инженерного образования. 
В предлагаемой монографии авторы поставили перед собой цель — 
раскрыть содержание понятия «инженерная математика» и выделить основные направления ее реализации в рамках инженерной 
вузовской подготовки с учетом требований образовательных стандартов технических и технологических направлений профессиональной подготовки, современных педагогических инноваций. 
Представляется, что именно при таком подходе возможно достижение полноценного понимания прикладного, культурного значения математики для инженерного образования, которое, в свою 
очередь, обеспечит усиление мотивационного, прикладного и мировоззренческого потенциала данного курса и ослабит существующие 
методологические и психологические противоречия между сугубо 
научной и прикладной позициями в понимании сущности математического образования будущих инженеров.

Глава 1 
МАТЕМАТИКА В ИНЖЕНЕРНОМ 
ОБРАЗОВАНИИ КАК ПРЕДМЕТ 
МЕТОДИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. ИННОВАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В СОВРЕМЕННОМ 
ИНЖЕНЕРНОМ ОБРАЗОВАНИИ

В настоящей монографии инженерная математика выступает 

в качестве одноименной программы по исследованию математического образования инженера, имеющего целью приведение последнего к уровню профессиональных требований и в итоге интеграцию математической и инженерной подготовки бакалавров 
в образовательном процессе технического вуза. В первой главе 
будут рассмотрены факторы, повлиявшие на актуализацию в современных условиях данного методического направления в профессиональном образовании.

Многие аналитики инженерного образования (М. Ауер, Н.Г. Баг
дасарьян, М. Барбер, Н.В. Карлов, Э. Кроули, В.М. Приходько, 
В.П. Рыжов, Д.Л. Сапрыкин, Н.И. Сидняев и др.) отмечают, что 
в XXI веке произошло изменение важнейших мегатрендов в этой 
области профессионального образования [12, 15, 74, 140, 157, 159, 
161, 231, 239]. В предыдущий период, относящийся ко второй половине ХХ века, профессия инженера получила узкую специализацию 
и была массовой. Следствием этого явилось то, что долгосрочная 
тенденция к специализации принесла разрушение системной целостности инженерного образования (Д.Л. Сапрыкин и др.). Той 
целостности, которая была свойственна его классическим формам, 
сложившимся на протяжении XIX и достигшим пика своего развития в начале ХХ века.

Впоследствии процессы дифференциации в инженерном деле 

получают преобладающее развитие. Однако в XXI веке положение 
в этой области вновь меняется, на первое место в инженерии выходит инновационная деятельность. Соответственно, претерпевает 
качественные изменения и инженерное образование. Например, 
в Федеральном государственном образовательном стандарте 
высшего образования (ФГОС 3+) в п. 4.3 о профессиональной деятельности бакалавра по направлению подготовки 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных 
производств» перечислены следующие его виды: