Математическое моделирование электротехнических устройств

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  
ОБРАЗОВАНИЯ  
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 
(МИИТ)» 
 
ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНОЙ ТЕХНИКИ И СИСТЕМ 
УПРАВЛЕНИЯ (ИТТСУ) 
 
Кафедра «Электропоезда и локомотивы» 

 
 
Е.К. Рыбников, С.В. Володин, И.И. Гарбузов 

 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ  
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ 

 
 
 
 
 

Учебно-методическое пособие  

для выполнения лабораторных работ 

 
 
 
 
 
 
Москва – 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  
ОБРАЗОВАНИЯ  
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 
(МИИТ)» 
 
ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНОЙ ТЕХНИКИ И СИСТЕМ 
УПРАВЛЕНИЯ (ИТТСУ) 
 
Кафедра «Электропоезда и локомотивы» 

 
 
Е.К. Рыбников, С.В. Володин, И.И. Гарбузов 

 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ  
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ 
 
 
 
 
 
Учебно-методическое пособие 
для подготовки магистров по программе  
13.04.02  «Электроэнергетика и электротехника» 
 
 
 
 
 
Москва – 2018 

УДК 519.8 
Р93 
 

Рыбников Е.К., Володин С.В., Гарбузов И.И. Математиче-

ское моделирование электротехнических устройств: Учеб-

но-методическое пособие для выполнения лабораторных 

работ по дисциплине «Компьютерные технологии в науке 

и образовании». – М.: РУТ(МИИТ), 2018. – 178 с. 

 

В учебно-методическом пособии представлен краткий 

теоретический материал необходимый для выполнения ла-

бораторных работ, посвященных моделированию различ-

ных электрических и электромеханических схем, входя-

щих в состав тягового электропривода электровозов. Изла-

гается последовательность выполнения каждой работы и 

дается анализ полученных результатов. 

Для подготовки магистров по программе 13.04.02 

Электроэнергетика и электротехника. 

Рецензент: профессор кафедры «Электроэнергетика 

транспорта» РУТ (МИИТ), д.т.н. Гречишников В.А.  

 

© РУТ(МИИТ), 2018

СОДЕРЖАНИЕ 

 

Введение…………………………………………………...
4

1. Расчет электрической цепи постоянного тока………..
5

2. Расчет электрической цепи переменного тока……….. 16

3. Компенсация реактивной мощности в электрической

цепи переменного тока…………………………………… 31

4. Численные методы решения дифференциальных

уравнений…………………………………………………. 59

5. Моделирование движения одноосного экипажа по

неровности пути…………………………………………... 78

6. Модель электромеханической системы в составе

тягового двигателя………………………………………... 88

7. Математическая модель двигателя постоянного тока. 106

8. Моделирование динамических процессов тягового

двигателя 
при 
коротком 
замыкании 
обмотки

возбуждения…………………………………………….… 118

9. 
Последовательное 
соединение 
двух 
тяговых

двигателей постоянного тока……………………………..130

10. 
Математическая 
модель 
асинхронного

электрического двигателя……………………………....... 145

Литература…………………………………………………177

ВВЕДЕНИЕ 

Учебное пособие по дисциплине «Компьютерные 

технологии в науке и образовании»  содержит краткий 

теоретический материал необходимый для выполнения 

каждой лабораторной работы. Учебный материал построен 

в последовательности  увеличения сложности решаемых 

задач и соответствует подготовке магистров по программе 

13.04.02 Электроэнергетика и электротехника. 

При выполнении лабораторных работ используется 

средства математического пакета MathCad  для решения 

обыкновенных дифференциальных уравнений с линейны-

ми и нелинейными коэффициентами. 

Цель учебного пособия состоит в получении сту-

дентами навыков: 

– в математическом описании электромеханических 

процессов в электротехнических системах; 

– применения компьютерных пакетов программ для 

решения задач с элементами исследования влияния раз-

личных параметров электромеханических систем на их ди-

намические процессы.  

Лабораторная работа №1 

Расчет электрической цепи постоянного тока 

Цель работы: исследование основных принципов рас-

чета электрической цепи постоянного тока. 

Дана электрическая цепь постоянного тока, содержа-

щая источник ЭДС E1 и активные сопротивления R1, R2, R3, 

R4, R5, R6, R7, R8: 

 
Параметры: 

E1= 350 В; 

R1= 1,5 Ом; R2= 3,2 Ом; R3= 4,5 Ом; R4=2,5 Ом;  

R5= 10,5 Ом; R6= 12,6 Ом; R7= 0,5 Ом; R8= 25 Ом. 

 

Рабочее задание: 

1. Рассчитать токи в ветвях электрической цепи мето-

дом контурных токов. 

2. Проверить правильность расчета по балансу мощно-

стей. 

 

Краткие теоретические сведения. 

Электрической цепью называют совокупность соеди-

ненных друг с другом источников электрической энергии и 

нагрузок, в которых может быть электрический ток. Электромагнитные 
процессы в электрической цепи можно описать 
с помощью понятий «ток», «напряжение», «ЭДС», 

«сопротивление» 
(«проводимость»), 
«индуктивность», 

«емкость». 

Постоянным называют ток неизменный во времени. 

Это направленное упорядоченное движение частиц, несущих 
электрические заряды. 

Изображение электрической цепи с помощью условных 
знаков называют электрической схемой. 

Ветвь − участок цепи, образованный последовательно 

соединенными элементами.  

Узел − точка соединения трех и более ветвей. 

Контур − любой замкнутый путь, проходящий по нескольким 
ветвям.  

Зависимость тока в сопротивлении от приложенного к 

нему напряжения называется  вольтамперной характеристикой (
ВАХ): 

 
Сопротивления, ВАХ которых являются прямыми линиями, 
называются линейными, а те, которые не являются 

прямыми линиями, называются нелинейными. 

Источник электрической энергии характеризуется 

электродвижущей силой (ЭДС) E и внутренним сопротивлением 
Rв. Если в нем под действием ЭДС E возникает ток 

I, то напряжение на его зажимах будет равно:  

 
в
IR
E
U


. 
 (1.1) 

У идеального источника питания, называемого источ-

ником ЭДС, Rв=0.  

Под напряжением на участке электрической цепи по-

нимают разность потенциалов между крайними точками 

этого участка: 

 

Напряжение между точками a и b представленного 

участка составит: 

 
b
a
ab
U




 
(1.2) 

или 

 
IR
b
a




. 
(1.3) 

Основные законы электрических цепей. 

1) Закон Ома. 

Если сопротивление проводника R является линейным, 

то падение напряжения на нем пропорционально току I и 

сопротивлению R: 

 
IR
U ab 
. 
(1.4) 

2) Первый закон Кирхгофа.  

Алгебраическая сумма токов в ветвях, связанных об-

щим узлом электрической цепи, равна нулю. Или сумма 

токов приходящих к узлу, равна сумме токов, уходящих от 

узла. Уходящие токи считаются отрицательными, прихо-

дящие − положительными. 

 

0
4
3
2
1




I
I
I
I
; 

4
3
2
1
I
I
I
I



. 

 

 

3) Второй закон Кирхгофа.  

В любом контуре электрической цепи алгебраическая 

сумма падений напряжения на элементах равна алгебраи-

ческой сумме ЭДС, действующих в этом контуре.  

 

2
1
2
2
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
E
E
R
I
R
I



; 

1
3
3
3
1
1
 
 4
 
 
 
 
 
 
E
R
I
R
I
R
I



; 

2
3
3
3
2
2
 
4
 
 
 
 
 
 
E
R
I
R
I
R
I





. 

 

 

Активные сопротивления являются потребителями, 

преобразующими электрическую энергию в тепловую. 

Мощность потребителя определяется по формуле: 

 
R
U
R
I
UI
P

2
2
потр



, 
(1.5) 

где R – величина сопротивления. 

U – напряжение, приложенное к сопротивлению; 

I – ток в сопротивлении. 

Источники ЭДС являются источниками электрической 

энергии для потребителей. Их мощность составляет: 

 
EI
P

ист
, 
(1.6) 

где E – ЭДС источника; 

I – ток источника. 

В замкнутой электрической цепи должен соблюдаться 

баланс мощностей. Это значит, что сумма мощностей ис-

точников ЭДС равна сумме мощностей приемников, т. е. 

сопротивлений: 

 



потр
ист
P
P
. 
(1.7) 

Для расчетов величин токов в разветвленных электри-

ческих цепях постоянного тока существует множество ме-

тодов. К ним относятся: 

– метод контурных токов; 

– метод узловых потенциалов; 

– метод эквивалентного генератора; 

– метод наложения; 

– матричный метод. 

Рассмотрим  подробно метод контурных токов. При 

расчете этим методом полагают, что в каждом независи-

мом контуре схемы существует свой контурный ток. Эти 

контурные токи принимаются за искомые, после чего из 

них находятся токи отдельных ветвей. Число неизвестных 

в этом методе равно числу уравнений, составленных по 

второму закону Кирхгофа. 

Решение системы уравнений любым известным мето-

дом позволит найти контурные токи и вычислить токи вет-

вей.