Теоретические основы электротехники. Часть II. Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ 

ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Кафедра «Электроэнергетика транспорта»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ЧАСТЬ II. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ 

ПАРАМЕТРАМИ

СБОРНИК ЗАДАЧ

Москва – 2020

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ 

ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Кафедра «Электроэнергетика транспорта»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ЧАСТЬ II. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ 

ПАРАМЕТРАМИ

Сборник задач

для студентов специальности 23.05.05 «Системы обеспечения 

движения поездов», специализаций «Электроснабжение железных 

дорог», «Телекоммуникационные системы и сети на 

железнодорожном транспорте», «Автоматика и телемеханика на 

железнодорожном транспорте»

Москва – 2020

УДК 621.3

Т 33

Теоретические основы электротехники. Часть II. 

Переходные процессы в линейных электрических цепях 
с сосредоточенными параметрами: Сборник задач для 
студентов 
электротехнических 
специальностей 
и 

специализаций университета: / Власов С.П., Волынцев 
В.В., Косарев Б.И., Кручинин Е.В. – М.:  РУТ (МИИТ), 
2020. – 128 с. 

Настоящее издание представляет вторую часть 

сборника 
задач 
повышенной 
сложности 
по 

теоретическим основам электротехники (ТОЭ). Первая 
часть [8] содержит задачи повышенной сложности по 
линейным 
электрическим 
цепям
постоянного 
и 

синусоидального тока. Предлагаемая читателю вторая 
часть сборника
содержит задачи по переходным 

процессам 
в 
линейных 
электрических 
цепях 
с 

сосредоточенными параметрами. Большинство задач 
сборника характеризуются повышенной сложностью, 
необычной постановкой вопроса, неординарностью, 
нетривиальными методами решения, неожиданностью 
результата.

Сборник задач предназначен для самостоятельной 

углублённой работы студентов над курсом ТОЭ; он 
может быть полезен и преподавателям в организации 
подготовки наиболее успевающих студентов к участию в 
олимпиадах по ТОЭ.

Все замечания и пожелания по содержанию 

пособия следует направлять авторам на кафедру 
«Электроэнергетика транспорта» РУТ (МИИТ).

© РУТ (МИИТ), 2020

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый 
читателю 
сборник 
задач 

повышенной сложности по ТОЭ является продолжением 
сборника, содержащего задачи по расчёту электрических 
цепей 
постоянного 
и 
синусоидального 
тока 
в 

стационарных установившихся режимах [8]. Настоящий 
сборник состоит из задач по расчёту переходных 
процессов 
в 
линейных 
электрических 
цепях
с 

сосредоточенными параметрами.

Основу 
сборника 
составляют 
задачи, 

предлагавшиеся для решения участникам олимпиад по 
ТОЭ в МИИТе, составленные доцентом В. Ф. Климовым. 
Некоторые задачи заимствованы из классических 
задачников по ТОЭ под редакцией К. М. Поливанова [1], 
П. А. Ионкина [2], М. Р. Шебеса [3], из задачника 
программированных 
задач 
по 
ТОЭ 
Львовского 

университета [4], а также задачников по ТОЭ МИИТа [5,
7] и задачника олимпиадных задач МЭИ [6].

Особенностью задачника является наличие задач, 

снабжённых подробными решениями, однако, в нём 
имеются 
и 
задачи, 
предназначенные 
для 

самостоятельного решения. Такие задачи снабжены 
ответами. Используются различные методы решения: 
классический, операторный, метод интеграла Дюамеля, 
рассматриваются и так называемые «некорректные» 
задачи.

Авторы полагают, что предлагаемый сборник задач 

окажется полезным студентам для самостоятельных 
занятий по 
ТОЭ, 
а 
также 
преподавателям 
при 

организации занятий студентов по подготовке к 
олимпиадам по теоретическим основам электротехники.

Авторы.

Далее в тексте и рисунках будут использованы 

международные обозначения физических величин.

Произвольные 
единицы 
СИ, 
имеющие 

специальные наименования обозначения (ГОСТ 8_4172002), приведены в таблице ниже.

Таблица.

Единица

Выражение 

через 

основные и 
производ
ные 

единицы 

СИ

Наименование
Размерность

Наимено
вание

Обозначение

Международное

Русское

Плоский угол
1
радиан
rad
рад
m·m–1=1

Частота
T -1
герц
Hz
Гц
s–1

Энергия, работа, 
количество 
теплоты

L2MT -2
джоуль
J
Дж
m2·kg·s–2

Мощность
L2MT -3
ватт
W
Вт
m2·kg·s–3

Электрический 
заряд, количество 
электричества

TI
кулон
C
Кл
s·A

Сила 
электрического 
тока 

I
ампер 
А 
А 

Электрическое 
напряжение, 
электрический 
потенциал, 
разность 
электрических 

L2MT -3I 
1
вольт
V
В
m2·kg·s–

3·A–1

потенциалов, 
электродвижущая 
сила

Электрическая 
ёмкость

L–2M 
1T 4I2
фарад
F
Ф
m–2·kg–

1·s4·A2

Электрическое 
сопротивление

L2MT -3I 
2
ом
Ω
Ом
m2·kg·s–

3·A–2

Электрическая 
проводимость

L–2M 
1T 3I2
сименс
S
См
m–2·kg–

1·s3·A2

Поток магнитной 
индукции, 
магнитный поток

L2MT -2I 
1
вебер
Wb
Вб
m2·kg·s–

2·A–1

Плотность 
магнитного 
потока, магнитная 
индукция

MT -2I -1
тесла
T
Тл
kg·s–2·A–1

Индуктивность, 
взаимная 
индуктивность

L2MT -2I 
2
генри
H
Гн
m2·kg·s–

2·A–2

3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В 

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С 
СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3.1.
Электрические цепи с индуктивными 

катушками

Активное 
сопротивление 
обмоток 
мощных 

электрических 
машин 
может 
определяться 
на 

постоянном токе методом амперметра и вольтметра по 
схеме, представленной на рис. 3.1.

Рис. 3.1

При 
измерениях 
зафиксировано 

mV
I
10 (A), U
210(mV).


Сопротивление

милливольтметра
mV
r
1 (k )

 , при этом 
mV
0
r
r

, 

поэтому, в расчётах током через милливольтметр можно 
пренебречь. Активное сопротивление обмотки оказалось 

mV

0

U
0,21
r
0,021( )
I
10



 .

В какой последовательности и почему следует 

разбирать экспериментальную схему после проведения 
измерений?

Решение
Необходимо отметить, что:
1. Прежде чем разомкнуть ключ К1
следует 

отключить милливольтметр mV. Если разомкнуть ключ 
К1 при наличии милливольтметра в схеме (будем 
полагать t=0 моментом размыкания ключа К1) ток в 
катушке 




i 0
I
i 0


 
замкнётся 
через 

милливольтметр и напряжение на нём достигнет 
величины 
3

mV
mV
U
r
i(0 )
10 10
10 (kV)

 




,

что приведёт к повреждению милливольтметра.

2. Размыкание 
ключа 
К1 
при 
отключённом 

милливольтметре может привести к пробою изоляции 
обмотки испытуемой электрической машины. Между 
контактами ключа К1 некоторое (непродолжительное) 
время будет гореть электрическая дуга (некорректная 
коммутация), ток будет быстро убывать, что приведёт к 

возникновению 
ЭДС
самоиндукции 
L

di
e
L dt
 

значительной величины, что может привести к пробою 
изоляции проводов обмотки.

3. Во 
избежание 
негативных 
последствий, 

отмеченных пп.1 и 2, в схеме следует предусмотреть 
переключатель П2 и «разрядное» сопротивление rP. 
Величина разрядного сопротивления должна быть такой, 
чтобы напряжение на обмотке электрической машины 
после отключения милливольтметра и переключения
переключателя П2 из положения 1 в положение 2 не 

превышало 
допустимой 
для 
обмотки 
величины 

p
доп
r
i(0 )
U




. После этого размыкается ключ К1.

Из приведённых рассуждений вытекает следующий 

порядок разборки измерительной схемы:

1. Отключить милливольтметр.
2. Перевести переключатель П2 из положения 1 в 

положение 2.

3. Разомкнуть ключ К1.

Для ускорения процесса уменьшения тока в 

обмотке 
возбуждения 
электрической 
машины 
с 

параметрами L, r обмотку присоединяют без разрыва 
цепи (рис. 3.2) к резистору r1. Найти ток i и напряжение 
u на обмотке. Найти время t1 уменьшения тока в 50 раз 
по сравнению с начальным значением. Каким будет 
время t1 при малом значении
1r ?

Дано: 

1
E
50(V), L
0,5(H), r
1( ), r
10 ( )





 .

Рис. 3.2

Решение
Ток в индуктивности до коммутации:

E
50
i(0 )
50(A)
i(0 )
r
1







.

Дифференциальное уравнение после коммутации:

1

di
(r
r ) i
L
0
dt

 

.

Характеристическое уравнение:

1
pL
r
r
0
 

,

откуда 
1
1
r
r
11
p
22(s )
L
0,5



 
 
=. 

Общее решение дифференциального уравнения:

22t

пр
св
i(t)
i
i
0
Ae




.

Начальное условие 
i(0 )
50(A),
 
пр
i
0


следовательно 
22t
i(t)
50e
(A),



22t
di
u(t)
i(t) r
L
500e
(V),
dt



 
 
или 
проще 

22t

1
u(t)
i(t) r
500e
(V)

 

 
.

В 
момент 
времени 
1t
имеем 

1
22t

1

50
ln0,02
50e
 (A), t
0,178(s)
50
22







.
Если 

1r
0,1( )


,
то 

1
1
r
r
p
2,2(s )
L



 
 
и 

2,2t
i
50e
(A)


. Тогда в момент времени 
1t
получим