Построение эпюр внутренних усилий
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Российский университет транспорта
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 44
Дополнительно
Излагаются основные теоретические сведения из курса «Сопротивление материалов» - определение внутренних усилий в поперечных сечениях стержня. Приводятся характерные примерны с подробными решениями.
Учебное пособие следкт рассматривать как дополнение к лекциям и к учебной литературе. Для студентов электромеханических специальностей, изучающих сопротивление материалов Рецензенты: доктор технических наук, профессор С.Б. Косицын (РУТ (МИИТ); кандидат технических наук, доцент В.И. Иванов-Дятлов (МАДИ).
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта (МИИТ)» __________________________________________________________________________________________________ Институт пути, строительства и сооружений Кафедра «Строительная механика» Б.П. Державин, А.М. Лукьянов, И.И. Монахов ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ Учебное пособие по дисциплине «Сопротивление материалов» Москва - 2018
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Российский университет транспорта (МИИТ)»
___________________________________________________________________________________________________________________________________
Институт пути, строительства и сооружений
Кафедра «Строительная механика»
Б.П. Державин, А.М. Лукьянов, И.И. Монахов
ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР
ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
Учебное пособие
для студентов электромеханических специальностей
Москва - 2018
УДК 539.
Д 36
Державин Б.П., Лукьянов А.М., Монахов И.И. Построение эпюр
внутренних усилий: Учебное пособие. – 5-е изд. испр. - М.: РУТ
(МИИТ), 2018. – 44 с.: ил.
Излагаются основные теоретические сведения из курса
«Сопротивление материалов» - определение внутренних усилий в
поперечных
сечениях
стержня.
Приводятся
характерные
примерны с подробными решениями.
Учебное пособие следкт рассматривать как дополнение к
лекциям и к учебной литературе.
Для
студентов
электромеханических
специальностей,
изучающих сопротивление материалов
Рецензенты: доктор технических наук, профессор С.Б.
Косицын (РУТ (МИИТ); кандидат технических наук, доцент В.И.
Иванов-Дятлов (МАДИ).
РУТ (МИИТ), 2018
1. Метод сечений
При действии на тело внешних сил оно деформируется. Следовательно,
меняется
взаимное
расположение
частиц
тела;
в
результате этого возникают дополнительные силы взаимодействия
между частицами. Эти силы взаимодействия в деформированном
теле будем называть внутренними силами (усилиями). При
решении задач сопротивления материалов необходимо уметь
определять значение и направление внутренних усилий (например, в
задачах, где оценивается прочность элементов конструкций). Для их
определения применяется метод сечений.
Рассмотрим тело, имеющее форму бруса и находящееся в
равновесии под действием системы внешних сил Fi . Пусть
требуется определить внутренние усилия в произвольном сечении
а–а этого бруса (рис.1, a). Мысленно рассечем его по сечению а–а
на две части I и II и удалим одну из частей, например часть I
(обычно оставляется та часть, для которой получается простое
решение или к которой приложено меньше внешних сил).
Оставшаяся часть II, в общем случае, не будет находиться в
равновесии. Для сохранения этой части бруса в равновесии
необходимо к ней приложить усилия, распределенные по сечению
а-а (рис.1, б). Эти усилия и есть внутренние усилия в сечении а-а
бруса. Они заменяют собой действие отброшенной части I (вместе
с приложенными к ней внешними силами) на оставшуюся часть II.
Внутренние усилия, согласно закону о равенстве дейст-вия и
противодействия, которые приложены к части II в сечении а-а
равны и противоположны по направлению внутренним усилиям,
действующим на часть I в том же сечении.
В соответствии с правилами статики приведем систему
внутренних усилий, действующих на часть II в сечении а–а, к
главному вектору R и главному моменту M , приложенным в
центре тяжести этого сечения. Выберем систему координат x, y, z
с началом в том же центре тяжести (точка О). Ось z направим по
внешней нормали к сечению, а оси x, y расположим в плоскости
сечения (рис.1, в).
Разложим главный вектор и главный момент на составляющие
по осям x, y, z . В результате получим шесть составляющих,
которые принято называть внутренними силовыми факторами
или внутренними усилиями.
3
Составляющие главного вектора называются:
усилие вдоль оси z - продольной силой N;
усилия вдоль осей x и y - поперечными силами Qx и Qy,
соответственно (см. рис. 1, в).
Составляющие главного момента называются:
момент относительно оси z - крутящим моментом Мz ;
моменты относительно осей x и y - изгибающими моментами
Мx и Мy соответственно (см. рис. 1,в).
Таким образом, после приложения в сечении а - а к части II
усилий, заменяющих собой действие отброшенной части I
(в общем случае, шести силовых факторов), оставшаяся часть II,
которая нагружена и приложенными к ней внешними силами,
находится в равновесии. Поэтому для части II можно записать
шесть уравнений равновесия:
Ост.ч. Ост.ч. Ост.ч.
Σ Х = 0 Σ Y= 0 Σ Z= 0
Ост.ч. Ост.ч. Ост.ч. (1)
Σ Мx = 0 Σ My = 0 Σ Mz = 0
Напомним
основные
правила
составления
уравнений
равновесия:
1.Проекция силы на ось равна произведению силы на косинус
угла между направлением силы и направлением положительной
оси.
2. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равна
нулю.
3. Момент силы относительно оси равен произведению
проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо
силы.
4. Момент силы относительно оси равен нулю:
а) если сила параллельна оси;
б) если линия действия силы пересекает ось.
Из
приведенных
первых
трех
уравнений
равновесия
соответственно находим Q x , Q y и N, а из трех последних
уравнений – М x , М y и М z .
Заметим, что знак у этих усилий, получаемый из решения
уравнений равновесия, указывает на правильность (знак плюс)
4
Рис. 1. Определение внутренних усилий методом сечений
или неправильность (знак минус) выбранных направлений
внутренних усилий.
Поступая аналогично, можно определить внутренние усилия в
сечении а – а из рассмотрения равновесия части I.
Таким образом, метод сечений дает возможность определить в
сечении направление и значение равнодействующих внутренних
усилий (или их компонент). Закон же распределения внутренних
усилий по сечению остается неизвестным. Для решения этого
вопроса необходимо знать, как деформируется данный брус под
действием внешних сил, приложенных к нему.
Применение метода сечения для определения значений и
направлений внутренних усилий рассмотрим на следующем
примере.
5
Пример 1. Для пространственного стержня рис. 2, а
определить значения и направления внутренних усилий в
сечениях I - I и II – II
Рис. 2. К примеру 1.
Р е ш е н и е . Для определения значений и направлений
внутренних усилий в сечениях I - I и II – II применим метод
сечений.
С е ч е н и е I – I. Рассечем пространственный стержень в
сечении I – I плоскостью, которая перпендикулярна оси стержня
АВ (рис. 2, б). Одну часть стержня, например, содержащую
заделку, отбросим, и действие ее на оставшуюся часть заменим
шестью внутренними усилиями N, Q x , Q y , M z , M x , M y ,
приложенными в сечении I - I .
Заметим, что в стержне, закрепленном при помощи жесткой
заделки, целесообразно оставлять ту часть стержня, которая не
6
закреплена, так как тогда не требуется определять опорные
реакции.Далее выберем прямоугольную систему осей x, y, z,
совместив начало координат с центром тяжести сечения I - I . Ось
z направим вдоль оси рассеченного стержня АВ (в сторону
внешней нормали сечения), а оси x, y, расположим в плоскости
поперечного сечения, как показано на рис. 2 ,б. Такой выбор осей
является обязательным. Внутренние усилия N, Q x, Q y направим
вдоль соответствующих положительных осей x, y, z, внутренние
усилия Мx, Мy, Мz - по ходу часовой стрелки при взгляде на
оставшуюся часть со стороны положительного направления тех
же осей. Такие направления внутренних силовых факторов будем
считать положительными.
Часть стержня, нагруженная внешними силами 2F, 5F и
усилиями, приложенными в сечении I - I , находятся в равновесии
(рис.2. б). Для этой части стержня составим шесть уравнений
равновесия, из решения которых определим внутренние усилия в
сечении I – I:
Ост.ч.
Σ Х = 0, Q x + 2F = 0, Q x = -2F;
Ост. ч. Ост.ч
ΣY= 0 , Q y = 0; ΣZ = 0, N+5F = 0, N= -5F;
Ост. ч.
ΣМx = 0, Mx - 5Fa=0, M x = 5Fa;
Ост.ч.
Σ My = 0, My - 2Fa+5Fa =0, My= - 3Fa;
Ост. ч.
Σ Mz = 0, M z = 0.
Таким образом, в сечении I - I действуют четыре внутренних
усилия (Qy =0 и Mz = 0), причем три из них – Q x, N и Mу в
направлении, противоположном принятому.
Сечение II – II. Рассечем стержень в сечении II – II плоскостью,
перпендикулярной оси стержня ВС Часть стержня, содержащую
жесткое закрепление, отбросим. Выберем систему координат x, y,
z и действие отброшенной части на оставшуюся заменим шестью
внутренними усилиями, как показано на рис. 2, в.
Эта часть стержня находится в равновесии; составим для нее
уравнения равновесия:
7
Ост.ч. Ост.ч
Σ Х = 0, Q x - 5F = 0, Q x = 5F; ΣY = 0 , Qy = 0;
Ост. ч.
Σ Z = 0, N +2F = 0, N = - 2 F ;
Ост. ч.
Σ Мx = 0 , M x = 0 ; ΣMy = 0, M y +5 Fa = 0, M y = -5Fa;
Ост.ч.
ΣMz = 0, M z - 5Fa = 0. M z = 5Fa;
Следовательно, в сечении II – II возникает четыре внутренних
усилия (Q y = 0, M Х = 0), причем два из них – N и My -
направлены в обратную сторону (рис.2 , в ).
Как видно из рассмотренного примера, внутренние усилия,
возникающие в поперечных сечениях стержня, меняются вдоль
его продольной оси z. Для более наглядного представления
харак-тера изменения внутренних усилий вдоль оси z строят их
графики.
Графики
изменения
внутренних
усилий
вдоль
продольной оси стержня называются э п ю р а м и.
Например, эпюрой продольных сил, эпюрой изгибающих
моментов и т.п.
2. Построение эпюр внутренних усилий
2.1. Общие замечания
Эпюры внутренних усилий, как правило, строят для того, чтобы
определить опасные сечения, т.е. сечения, где существует
большая вероятность наступления разрушения из-за того, что там
внутренние усилия достигают наибольших значений.
Характер изменения внутренних усилий вдоль продольной оси
стержня, в общем случае, бывает разным. Поэтому, сначала
следует установить границы участков, в пределах которых
внутренние усилия будут изменяться по одной закономерности.
Границами таких участков являются сечения, где приложены
внешние сосредоточенные усилия (момент, сила), начинается или
кончается распределенная нагрузка, а также сечения, в которых
имеется перелом оси стержня.
Далее, применяя метод сечений и учитывая правила знаков,
получают аналитические зависимости изменения внутренних усилий в
пределах каждого участка, например N= f1 (z), М x = f2 (z) и т.д. Затем,
используя их, строят графики этих усилий – эпюры. Ординаты
8
эпюр внутренних усилий в определенном масштабе откладываются от
базисной линии, которая проводится параллельно оси стержня.
Построенную
эпюру
принято
штриховать
линиями,
перпендикулярными базисной линии. Кроме того, на эпюрах для
харак-терных ординат обязательно указывать их значения, а в
кружочке – знак усилия.
2.2. Построение эпюр продольных сил
При действии на стержень внешних нагрузок, направленных
вдоль продольной оси, или нагрузок, равнодействующая которых
направлена также вдоль продольной оси, в поперечных сечениях
возникает только один силовой фактор - продольная сила. Такие
нагрузки вызывают растяжение или сжатие стержня.
Условимся: продольную силу N считать положительной,
если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения, и
отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлена к
сечению (рис. 3).
Рис. 3. Правило знаков для N
При построении эпюры продольных сил положительные
значения N будем откладывать вверх от горизонтальной базисной
линии или вправо от вертикальной базисной линии; отрицательные
значения N, соответственно, будем откладывать в противоположном
направлении, т.е. либо вниз, либо влево.
Пример 2. Для стержня, нагруженного сосредоточенными
продольными силами (рис. 4, а), построить эпюру N.
Р е ш е н и е. Разобьем стержень на три участка (на рис. 4, а
участки обозначены римскими цифрами), начиная от правого
незакрепленного конца. Границами участков будут сечения, в которых
приложены внешние сосредоточенные силы.
Сначала найдем закономерность изменения продольной силы
на первом участке. Для этого в произвольном месте участка I
проведем сечение I - I и отбросим левую часть стержня, так как к ней
9
приложено больше сил, включая неизвестную реакцию в заделке.
Действие отброшенной части на оставшуюся заменим внутренним