Расчет стержней на изгиб и кручение

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)» 

  

___________________________________________________________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Строительная механика» 

 

 

 

 

 

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ИЗГИБ 

И    КРУЧЕНИЕ 

 

 

Учебно-методическое пособие  по дисциплине       

 «Сопротивление материалов» 

 

 

 

 

 

 

 

Москва  -  2018 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«Российский университет транспорта (МИИТ)»  

   _____________________________________________________________________________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра «Строительная механика» 

 

 

 

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ИЗГИБ 

И    КРУЧЕНИЕ 

 

Учебно-методическое пособие 

 для студентов специальности СЖД 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва  -  2018 

 

УДК   539. 
 Р 24 
 
 

 Расчет стержней на изгиб и кручение/ Державин Б.П., 

Жаринов М.Ю., Лукьянов А.М., Мелешонков  Е.И. Учебнометодическое 
пособие 
по 
дисциплине 
«Сопротивление 

материалов». - М.: РУТ (МИИТ), 2018.  –  44 с.: ил. 

 

Учебно-методическое пособие по курсу «Сопротивление 

материалов» для студентов специальности СЖД посвящено 
разделу «Расчет стержней на изгиб и кручение». 

Кратко 
излагаются 
основные 
теоретические 
сведения. 

Приводятся характерные примеры с подробными решениями и 
контрольные вопросы с тестовыми задачами, что способствует 
лучшему усвоению данных разделов курса. 

 Учебно-методическое пособие следует рассматривать как 

дополнение к лекциям и  указанной  учебной литературе. 

 

При 
выполнении 
задания 
рекомендуется 
использовать 

учебники: 

1.Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б. П. Сопротив
ление материалов.Часть 1.9-е изд. М.: Юрайт. 2016, - 294 с.: ил. 

2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б. П. Сопротив
ление материалов.Часть 2. 9-е изд.М.: Юрайт. 2016, - 274 с.: ил. 

3. Лукьянов А.М., Лукьянов М. А. Сопротивление материалов. 

Учебное пособие.–М:ФГБУ ДПО «Учебно-методический центр по 
образованию на железнодорожном транспорте».2017,–598 с: ил. 

 
Рецензент: доцент, к.т.н.  Бондаренко А.И. РУТ (МИИТ), 

кафедра «Теоретическая механика». 

 
 
 
 
 
 

РУТ (МИИТ), 2018 

 

 

I Поперечный изгиб балок 

 

1. Подбор поперечных сечений балок. Анализ 

напряженного состояния. 

 

Пример 1. Для балки из стали С-255, нагруженной, как 

показано на рис. 1: 

1. построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; 
2. подобрать сечение из  прокатного двутавра, используя 

условия 
прочности 
по 
нормальным 
и 
касательным 

напряжениям;  

3. построить 
для 
сечения 
m-n 
эпюры 
нормальных 
и 

касательных напряжений; 

4. в точке «К» сечения m-n исследовать напряженное 

состояние аналитическим способом: 
а) найти положение главных площадок и значения 
напряжений, действующих на этих площадках; 
б) определить положение площадок, где действуют max, и 
значения напряжений  на этих площадках. 

При расчете принять:  

коэффициент надежности по нагрузке  р =1,15; 
коэффициент условий работы  =1,0; 
расчетное сопротивление изгибу R и =240 МПа (24 кН/см2); 
расчетное сопротивление сдвигу RсД=140 МПа (14 кН/см2); 
нормативная нагрузка qн=10 кН/м; а=1,5м. 

Решение. Определим опорные реакции VA и VВ из уравнений 

равновесия: 

 MB = 0,         VA ·4 – q·4а·2а – qа·а + qа2 = 0, 

 

 MA = 0,         –VB·4а+ q·4а·2а+ qа·3а+ qа2 =0. 

 

Отсюда VA = 2qа;  VB = 3qа. 

После определения реакций  VA  и  VB  следует обязательно 

проверить правильность их вычисления, составив уравнение 
равновесия: 

 Y = 0 ,         2qа  – q·4а – qа +3qа = 0 

 

Следовательно, реакции найдены, верно. 
В соответствии с характером нагружения разобьем балку на 

три участка (рис. 1). Для каждого участка составим выражения  
Q и M, применяя метод сечений (оставшиеся части балок 
показаны  на рис. 1,б,в,г): 

 

Рис. 1.      К примеру 1. 

 
участок I - 
a
z
3
0
1 

 

1
1
qz
qa
Q

 2
 ;      
2
2
1

1
1
1

z
qz
z
qa
M



 ; 

участок II - 
a
z 

2
0
 

2
2
3
qz
qa
Q



;      
2
3
2

2
2

2

2

z
qz
z
qa
qa
M





; 

участок III a
z 

3
0
 

0
3 
Q
;  
2

3
qa
M


 

При помощи полученных выражений построим эпюры 

поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 2). 

 

3qa

a

M2

q
q

Q2

qa2

M1

qa2

B

qa

Z3

VA=2qa

Z2
1

1

a
a
3a

q

I
II
III

VB=3qa

Z1

2

2

3

3

a)

A

y

x

2qa

Z1
Q1

A

б)
в)

B

Z2

M3

Q3

qa2
г)

Z3

y

x

y

x

y

x