Расчет статически неопределимых рам методом сил

 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)” 

____________________________________________________________________ 

                 ИНСТИТУТ ПУТИ, СТРОИТЕЛЬСТВА И СООРУЖЕНИЙ     

Кафедра «Строительная механика» 

                                                                     

 

 

 

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ 

 
 
 
 

 

Учебно-методическое пособие 

к выполнению домашнего задания  

по дисциплинам «Строительная механика» и  «Сопротивление материалов» 

 

 

 

                                                        

 

 

 

 

 

Москва - 2018   

 

 

 

             
- 1 -

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)” 

____________________________________________________________________ 

                 ИНСТИТУТ ПУТИ, СТРОИТЕЛЬСТВА И СООРУЖЕНИЙ     

Кафедра «Строительная механика» 

 

                                                                     

 
                          Кафедра «Строительная механика» 

 

                                                                       

 

 

 

 

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ 

 

 
 
 
 

 

 

 

Учебно-методическое пособие  

для студентов ИПСС и ИТТСУ 

 

 

 

Москва - 2018 

 

 

 

 

             
- 2 -

УДК 624 

Р - 24 

           Расчет статически неопределимых рам методом сил: Учебно-

методическое пособие к выполнению домашнего задания/ Лукьянов А.М., 

Григорьев Н.А., Марасанов А.И., Штейн А.В. - М.: РУТ (МИИТ), 2018.  

- 56 с. 

 
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ИПСС и 

ИТТСУ, 
выполняющих 
домашнее 
задание 
«Расчет 
статически 

неопределимых систем методом сил» в курсах «Строительная механика» и  

«Сопротивление материалов». В учебно-методическом пособии содержатся 

основные теоретические сведения по рассматриваемому вопросу, а также 

приведены характерные задачи с решениями. 

 
 

           Рецензент   доцент кафедры «Мосты и тоннели» РУТ (МИИТ) 

Шейкин А.А. 

 

©РУТ (МИИТ), 2018 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 

 

             
- 3 -

 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Данное учебно-методическое пособие ставит целью оказание помощи 

студентам при выполнении  расчетно-графической работы «Расчет 

статически неопределимых рам методом сил» в курсе «Строительная 

механика», изучаемом в ИПСС, а также в курсе «Сопротивление 

материалов», изучаемом в ИТТСУ. 

В первой части в кратких сведениях по теории метода сил в 

рассматриваемом примере отражены особенности расчета статически 

неопределимых рам с учетом симметрии конструкции. При выполнении 

студентами домашнего задания исследование именно таких систем вызывает 

некоторые затруднения. 

 Вначале осуществляется расчет симметричной рамы на действие 

неподвижной нагрузки. Затем строятся линии влияния внутренних сил в 

заданном сечении с целью освоения одного из методов расчета на 

подвижную нагрузку. 

Во второй части рассматривается расчет несимметричных статически 

неопределимых рам на действие заданной нагрузки, температурных 

воздействий, смещений опор.  

Перед ознакомлением с настоящим учебно-методическим пособием 

студенту, проходящему обучение в ИПСС или ИТТСУ РУТ (МИИТ), 

рекомендуется предварительно изучить соответствующие разделы курса по 

лекциям или одному из указанных ниже учебников. 

 

 

 

 

 

 

             
- 4 -

1. РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНОЙ СТАТИЧЕСКИ 

НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ 

 

1.1. Расчет симметричной статически неопределимой рамы на 

действие неподвижной нагрузки 

 

1.1.1. Исходные данные 

 

В первой части расчета рамы, представленной на рис.1,а, требуется 

построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил, 

определить вертикальное перемещение и угол поворота узла «2» от действия 

заданной статической нагрузки. 

Во второй части необходимо построить линии влияния «лишних» 

неизвестных и линии влияния следующих внутренних усилий: Мк , Qк  , Nк в 

исследуемом сечении  «к» верхнего ригеля рамы (рис. 1,б). 

J =6J

5
0
4

3J =12J0

J =18J
1
2

q=1кН/м
F=10кН

12м

б)

S'=

4

2J =6J0

S'=1
2

4

1
3

1
3
S'=
4

S'=0,5
3

6 м

S'=1
2

2'
3

z

3
1

1S'=

2
1

0

F=1

"к"
4

3

S'=
1

1
3

3'

0'

1'

0
J =18J

0
J =18J

F=10кН

1
0
1

6 м
6 м

а)

J =18J
0
4

0
2

 

;
EJ
s

EJ
c

i

i

i

0


         
;
EJ
s
c
EJ
i
i
i
0

          
.
c
J
J
s
s

i
i

i
'
i

1
0 

 

 
Рис. 1 

 На расчетной схеме (рис.1), указаны моменты инерции 
iJ  поперечных 

сечений и приведённые длины 
is  этих элементов, которые определены по 

 

             
- 5 -

заданным величинам 
3
1 
c
, 
1
2 
c
, 
2
3 
c
, 
3
4 
c
 приведённых погонных 

жесткостей стержневых элементов рамы. 

 

1.1.2.  Определение степени статической неопределимости 

 

Степень статической неопределимости равна числу «лишних» (или 

избыточных) связей, которые не являются абсолютно необходимыми для 

образования геометрически неизменяемой системы. Для определения 

степени статической неопределимости воспользуемся известной формулой:  

i = 3К – Ш, 

где  К – число замкнутых контуров заданной системы; 

       Ш – число простых шарниров. 

Шарнир, соединяющий два стержня – простой, если же он соединяет n 

стержней – это сложный шарнир, который эквивалентен (n – 1) простым 

шарнирам. 

Заданная рама по условиям прикрепления к земле (внешне) является 

статически определимой, а внутренне – статически неопределимой, так как 

имеет два замкнутых контура и один двойной шарнир. Следовательно:   i = 3 

х 2 – 2 = 4. 

Данная рама четыре раза статически неопределима 

 

 

1.1.3.  Выбор основной системы. Канонические уравнения  метода сил 

 

Основная система метода сил получится путем удаления в заданной раме 

четырех «лишних» связей. Рассмотрим несколько возможных вариантов 

основных систем. Так как заданная рама - симметричная, то будем выбирать 

только симметричные схемы вариантов основных систем, соблюдая 

основные требования о геометрической неизменяемости и о статической 

определимости таких систем. При этом в некоторых из вариантов 

 

             
- 6 -

воспользуемся 
группировкой 
неизвестных 
на 
симметричные 
и 

кососимметричные, что приведет в дальнейшем к упрощению системы 

канонических уравнений. 

Первый вариант (рис. 2,а) получен путем врезания шарниров в опорные 

узлы и удаления продольных связей в элементах нижнего ригеля рамы. За 

«лишние» неизвестные приняты моменты в опорных узлах «0» и «4» и 

продольные силы в стержнях  «0 – 5» и «4 – 5». После группировки получим: 

Х1 , Х2 – симметричные неизвестные; Х3 , Х4 – кососимметричные. 

Этот вариант основной системы симметричен (обладает вертикальной 

осью симметрии), статически определим (не имеет «лишних» связей) и 

геометрически неизменяем, так как представляет собой балочную раму с 

жесткими узлами. При этом элементы нижнего ригеля соединены с рамой 

шарнирами и линейными связями, направление которых не пересекает эти 

шарниры. Таким образом, основные требования, предъявляемые к основной 

системе метода сил, соблюдены. 

Второй вариант  (рис. 2,б) получен путем врезания двух шарниров в 

опорные узлы и одного двойного шарнира в узел «2» верхнего ригеля 

заданной рамы. Введение шарниров в жестких узлах соответствует 

удалению связей, препятствующих взаимному повороту смежных сечений 

стержней, сходящихся в этих узлах. Поэтому за «лишние» неизвестные 

приняты моменты Х1 – Х4. Так как узел «2» находится на оси симметрии 

рамы, то после введения шарнира в этот узел неизвестные Х2 и Х4 сразу 

разделились соответственно на симметричное и кососимметричное. В 

опорных узлах «0» и «4», которые не лежат на оси симметрии, такое 

разделение возможно только после группировки неизвестных на Х1 -

симметричное и Х3 – кососимметричное. Этот вариант основной системы 

также удовлетворяет основным требованиям. Он представляет собой 

трехшарнирную раму с затяжкой, которая является геометрически 

неизменяемой и статически определимой.  

 

             
- 7 -

Третий вариант (Рис. 2,в) получен путем отбрасывания «лишних» 

связей, препятствующих вертикальному и горизонтальному перемещению 

смежных с узлом «5» сечений стержней рамы, сходящихся в этом узле 

(удален 
двойной 
шарнир). 
Вместо 
удаленных 
связей 
приложены 

неизвестные усилия Х1 – Х4, Которые разделились на симметричные Х1, Х2 и 

кососимметричные Х3 , Х4 .  

Условие эквивалентности каждого из вариантов основной системы с 

заданной описывается системой канонических уравнений, которая с учетом 

использования 
симметричных 
и 
кососимметричных 
неизвестных 

разделяется на две независимые системы: 

              



















0

0

2
2
22
1
21

1
2
12
1
11

P

P

X
X

X
X
                    (1.1)       

                      



















0

0

4
4
44
3
43

3
4
34
3
33

P

P

X
X

X
X
                   (1.2)           

 

Запись этих уравнений в матричной форме имеет вид: 

 
            
0




ñ,
F
ñ
c X
 ;                             (1.3)    

                             
0




êñ
,
F
êñ
êñ X
 ;                         (1.4)   

 

 

             
- 8 -

1

2

3

0
5
4

Х 4

Х 4

Х 2

2
Х 

Х 3
Х 3

1
Х 

1
Х 

2
Х 

4
Х 

Х 2
Х 4

Х 3

3
Х 

1
Х 

Х 1

а)

1
2
3

Х 4
Х 4

2Х 4

Х 2
2
Х 

Х 3
Х 1
Х 3
Х 1

0
5
4

б)

1

2

3

1
2Х 

4
2Х 

2
Х 

4
Х 
1
Х 
Х 1

3
Х 
3
Х 

5
0
4
2
Х 

4
Х 

в)

Х 3

Х 3

Х 1

Х 1

 

                                         Рис. 2 

 

             
- 9 -

где       
















22
21

12
11

c
 ;     
















44
43

34
33

êñ
     - матрицы коэффициентов 

канонических уравнений (матрицы податливости); 










2

1

X
X
X c
 ;      









4

3

X
X
X êñ
  - матрицы-столбцы (вектора) неизвестных; 













F

F
c,
F

2

1
;        












F

F
êñ
,
F

4

3
  - матрицы-столбцы (вектора) грузовых 

перемещений. 

При решении задачи о построении эпюр внутренних сил в раме (рис. 1,а) 

от заданной симметричной нагрузки во всех вариантах основных систем 

кососимметричные 
неизвестные 
будут 
равны 
нулю 
(Х4=Х3=0). 

Следовательно, заданная система может быть рассчитана как система с 

двумя симметричными неизвестными, которые можно определить, решая 

систему канонических уравнений (1.3). 

При решении же задачи о построении линий влияния «лишних» 

неизвестных 
и 
внутренних 
усилий 
в 
заданном 
сечении 
система 

канонических уравнений, с учетом ее разделения на две независимые, 

приобретает следующий вид: 

              
0




ñ,
F
c
cX
 ;                               (1.5) 

                                 
0




êñ
,
F
êñ
êñÕ
,                           (1.6) 

где  
êñ
c ,

 - матрицы коэффициентов, которые идентичны матрицам в 

уравнениях (1.3) и (1.4); 

          
êñ
ñ Õ
,
Õ
 - матрицы неизвестных, содержащие столько столбцов, 

сколько 
положений 
единичной 
силы 
на 
верхнем 
ригеле 
рамы 

рассматривается в расчете; 

           
êñ
,
F
ñ,
F ,

- матрицы грузовых перемещений, элементами которых 

являются перемещения по направлению неизвестных от воздействия 

движущейся силы F=1 при ее расположении в фиксированных сечениях 

верхнего ригеля рамы.