Пересечение пространственных объектов

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  

учреждение высшего образования 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»  
_______________________________________________________ 

Кафедра машиноведения, проектирования,  

стандартизации и сертификации 

 

С.В. ЛАРИНА, С.Н. МУРАВЬЕВ, Н.А. ЧВАНОВА 

 
 
 

 

 
 

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ 

 
 
 
 

 
 
 

Учебное пособие 

по дисциплине  

«Начертательная геометрия. Инженерная графика» 

 
 

 
 
 
 
 
 

 

МОСКВА – 2018 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  

учреждение высшего образования 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»  

_____________________________________________________________ 

Кафедра машиноведения, проектирования,  

стандартизации и сертификации 

 

С.В. ЛАРИНА, С.Н. МУРАВЬЕВ, Н.А. ЧВАНОВА 

 

 
 
 
 
 

 

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБЪЕКТОВ 

 

 
 
 
 

 

Учебное пособие 

 
 
 

для обучающихся ИТТСУ, ИУИТ и ВЕЧЕРНЕГО факультета 

 

 
 
 
 
 

 
 

МОСКВА – 2018 

УДК 514 
Л 25 
 

 
          Ларина С.В., Муравьев С.Н., Чванова Н.А.  Пересечение пространственных объектов: Учебное пособие по дисциплине «Начертательная геометрия. Инженерная графика». – М.: РУТ (МИИТ), 2018. –  
77 с.: ил. 

 
Настоящее учебное пособие предназначено в помощь студентам 

при решении задач на построение линии пересечения пространственных объектов. 

Пособие поможет обучающимся самостоятельно выполнить до
машнее задание по дисциплине «Начертательная геометрия. Инженерная графика» на тему «Пересечение кривых поверхностей». В примерах, приведённых в пособии, обучающихся знакомят со способами 
решения задач на тему «Пересечение кривых поверхностей» и построения развёрток кривых поверхностей на ортогональном чертеже. 

Издание предназначено для обучающихся ИТТСУ, ИУИТ и ВЕ
ЧЕРНЕГО факультета. 

Ил. 31,  табл. 3, библиогр. – 5 назв. 

 
 
Рецензенты: доцент кафедры «Инженерная графика» ФГБОУ ВО 
«МГТУ «Станкин», канд. техн. наук Лыткин И.Н.;  
заведующий кафедрой «Электропоезда и локомотивы» РУТ (МИИТ), 
д-р техн. наук Пудовиков О.Е. 

 
 

 
 
 

 
                                                                                                                             
                                                           ©   РУТ (МИИТ), 2018 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

                                                                                   Стр. 

 
1.  ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ  
     ПОВЕРХНОСТЕЙ КАРКАСНЫМ МЕТОДОМ ………………..  4 
2.  ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ………. 7 

2.1. Построение линии пересечения поверхности 

с плоскостью частного положения …………………….........  7 

2.2. Плоские сечения простейших геометрических  

линейчатых поверхностей …………………………………..  11 

2.2.1. Плоские сечения цилиндрической поверхности ……..11 
2.2.2. Плоские сечения конической поверхности ………….. 12 

3.  ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ …………… 13 

3.1. Пересечение соосных поверхностей ...............……………… 13 
3.2. Выбор способа решения ……………………………………… 14 

3.2.1. Способ секущих плоскостей ...............……………….. 14 
3.2.2. Способ концентрических сфер ……................………. 31 
3.2.3. Способ эксцентрических сфер ...................................... 35 

3.4. Частные случаи пересечения поверхностей второго  

порядка ………………………………………………………… 39 

4.  ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И  

КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ……………………………  44 

5.  СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ……………………………………….. 48 
6. ТРЕБОВАНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ К ОФОРМЛЕНИЮ 

РАБОТЫ ……………………………………………………………. 48 

7.  ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ……….…………………………………  54    

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………..……………  76 

 
 
 
 
 
 
 

 

1. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ 

ПОВЕРХНОСТЕЙ КАРКАСНЫМ МЕТОДОМ 

 

Многие изделия представляют собой конструкции из пересека
ющихся простейших геометрических тел. Внешняя форма изделий 
ограничивается отсеками кривых поверхностей и (или) гранями многогранников. Грани многогранников – плоскости общего и (или) частного положений. Общую линию пересекающихся поверхностей изделий называют линией пересечения. 

Линия t пересечения поверх
ности Ф1 с плоскостью α одновременно принадлежит поверхности и секущей плоскости (рисунок 
1.1). Эта линия плоская кривая. 

Способ построения линии 

пересечения кривой поверхности с 
плоскостью базируется на определении точек пересечения секущей 
плоскости с простейшими линиями 
каркаса (прямыми или окружностями) поверхности. 

Для построения линии t пересечения поверхности Ф1 с плоско
стью α (см. рисунок 1.1) использованы простейшие линии каркаса m1, 
m2, …, mn поверхности Ф1, которые пересекаются с заданной плоскостью α в точках A, B, C, D, …, N. Найденные точки пересечения последовательно соединяют плавной кривой линией t, являющейся искомой линией пересечения кривой поверхности Ф1 с заданной плоскостью α. 

Линия пересечения двух поверхностей одновременно принадле
жит этим поверхностям и представляет собой пространственную кривую (рисунок 1.2), которая, в частном случае, может распадаться на 
плоские кривые линии. 

 

 Простейшие геометрические тела: цилиндр, конус, шар и тор. 
 Кривая поверхность это множество (геометрическое место) последовательных по
ложений линии, движущейся в пространстве по заданному закону. 

Рисунок 1.1



Ф

1

t

N

A

C

D

B

mn

m2

m1

m3

m4

Для определения точек линии, общей для двух поверхностей, 

часто используют вспомогательные секущие поверхности. Эти поверхности называют поверхностями-посредниками. Поверхностипосредники пересекают данные поверхности по линиям каркаса, которые, в свою очередь, пересекаются в точках, принадлежащих линии 
пересечения. 

Рассмотрим в об
щем виде использование 
посредников 
при 

решении задачи на построение линии пересечения m двух заданных 
поверхностей Ф1 и Ф2, 
Ф1 ∩ Ф2 = m. Посредник 
α пересекает заданную 
поверхность Ф1 по линии каркаса n, а поверхность Ф2 – по линии 
каркаса l. Точка K, в которой пересекаются линии каркаса n и l, общая 

для заданных поверхностей Ф1 и Ф2, и следовательно, принадлежит 
линии их пересечения – линии m. Многократно повторяя такой приём, 
получаем ряд точек искомой линии пересечения. В результате использования одного посредника можно сразу получить 1, 2 или 4 точки, 
принадлежащие линии пересечения m (таблица 1.1). 

Построение линии пересечения поверхностей всегда следует 

начинать с определения опорных (характерных) точек. К ним относят: 

- точки, координаты которых x, y и z имеют экстремальные зна
чения, то есть точки, наиболее и наименее удалённые от плоскостей 
проекций П1, П2 и П3; 

- точки видимости – точки на очерковых линиях поверхностей. 

Эти точки делят линию пересечения на видимую и невидимую части. 
Проекции линии пересечения в этих точках касаются очерковых линий поверхностей. 
 

Рисунок 1.2



Ф

2

Ф

1

l

К

m
n

Таблица 1.1 

№ п/п
 ∩
1
 = n
 ∩
2

= l
n ∩ l = () K, K, K, K

1
Прямая
Прямая


n

К

l

2
Прямая
Окружность

К'

К

n
l



3
Окружность
Две прямые

n

К'''

К''

К

К'
n'
l



4
Две прямые
Две прямые

n

К''

К'

l

К

К'''

l'

n'



5
Окружность
Окружность

n

l
К



К'

6
Окружность
Окружность
К

l

n



 

При построении линии пересечения поверхностей на ортого
нальном чертеже следует учитывать, что проекции линии пересечения 
всегда строят в пределах площади наложения одноимённых проекций 
пересекающихся поверхностей (рисунок 1.3). 

2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ 

 
     2.1. Построение линии пересечения поверхности с  

     плоскостью частного положения 

 

Плоскость α пересекает поверхность вращения Ф по кривой ли
нии k. Так как секущая плоскость α частного положения, то одна из 
проекций линии k совпадает с вырожденной проекцией этой плоскости. Горизонтальная проекция k1 (отрезок A1B1) линии k совпадает с 
вырожденной проекцией α1 плоскости α, так как α  П1 (рисунок 2.1). 
Если α  П2, то k2 ≡ α2 – совпадает с вырожденной проекцией плоскости α. 

Рисунок 1.3

1
Ф2

Ф2

2

j2

i2

j 1
i1

Ф1

2
Ф1

1

Фронтальная проекция

площади наложения

Горизонтальная проекция

площади наложения

