Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

                                                                                                                   

А. И. Ефимов

Числовые и функциональные ряды. 
Тригонометрические ряды Фурье. 
Курс лекций и сборник задач.

Учебное пособие

                                             
Ростов-на-Дону – Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2020

УДК 517.521+517.518.45(075.8)
ББК 22.162я73
    Е91

Печатается по решению кафедры прикладной информатики и инноватики
Института высоких технологий и пьезотехники  
Южного федерального университета (протокол № 7 от 08 февраля 2020 г.)

 

Рецензенты:
к.т.н., преподаватель Политехнического института(филиал) ДГТУ 
в г. Таганроге Л. И . Замкова;
к.ф.-м.н., доцент кафедры дифференциальных и интегральных уравнений 
института математики, механики и компьютерных наук 
им. И. И. Воровича ЮФУ, В. М. Каплицкий

 
    Ефимов, А. И.
Е91          Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач : учебное пособие / А. И. Ефимов ;
Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2020. – 232 с.
ISBN 978-5-9275-3680-1 

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата,
обучающихся по направлениям 09.03.03 - прикладная информатика и 27.03.05
- инноватика. Пособие содержит теоретический и практический материал по
следующим разделам высшей математики: числовые ряды, функциональные
последовательности и ряды, тригонометрические ряды Фурье. Материал разбит на четыре главы, первая из которых содержит необходимый теоретический материал по теории пределов, а три остальные соответствуют вышеуказанным разделам высшей математики и содержат теорию, подбор задач с подробно разобранными решениями и большой выбор задач, предлагаемых для
решения студентам. Основным отличием данного учебного пособия от аналогичных изданий является     полнота подачи материала, которая позволяет студенту самостоятельно изучить соответствующие разделы высшей математики
полностью или восполнить пробелы в знаниях. Пособие отражает опыт преподавания автором курса высшей математики в институте высоких технологий и
пьезотехники ЮФУ.
Публикуется в авторской редакции.

УДК 517.521+517.518.45(075.8)
ББК 22.162я73

ISBN 978-5-9275-3680-1  
© Южный федеральный университет, 2020
© Ефимов А. И., 2020

Оглавление

1
Основные сведения из теории пределов.
5

1.1
Предел функции.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1.1.1
Основные определения
. . . . . . . . . . . . . .
5

1.1.2
Предел последовательности
. . . . . . . . . . .
6

2
Числовые ряды.
10

2.1
Определение ряда и его сходимость . . . . . . . . . . .
10

2.2
Свойства числовых рядов. . . . . . . . . . . . . . . . .
11

2.3
Положительные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

2.4
Ряды произвольных знаков.
. . . . . . . . . . . . . . .
20

2.5
Свойства сходящихся рядов
. . . . . . . . . . . . . . .
24

2.6
Положительные ряды. Практические задачи.
. . . . .
27

2.7
Ряды с произвольными членами. Практические задачи. 57

3
Функциональные последовательности и ряды.
87

3.1
Определение сходимости функциональных последова
тельностей и рядов.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

3.2
Равномерная сходимость. . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

3.3
Функциональные свойства суммы ряда. . . . . . . . . .
92

3

Оглавление

3.4
Степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

3.5
Свойства степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6
Функциональные последовательности. Практические за
дачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.7
Функциональные ряды. Практические задачи. . . . . . 133

3.8
Степенные ряды. Практические задачи.
. . . . . . . . 166

4
Ряды Фурье.
192

4.1
Тригонометрические ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . 192

4.2
Почленное дифференцирование и интегрирование ря
дов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.3
Тригонометрические ряды Фурье в случае произволь
ного интервала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.4
Комплексная запись рядов Фурье. . . . . . . . . . . . . 201

4.5
Разложение функций в ряд Фурье. Практические за
дачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5
Приложения.
210

5.1
Приложение А. Соотношения эквивалентности. . . . . 210

5.2
Приложение Б. Таблица производных.
. . . . . . . . . 211

5.3
Приложение В. Таблица интегралов.
. . . . . . . . . . 212

6
Ответы.
221

4

Основные сведения из

теории пределов.

1.1
Предел функции.

1.1.1
Основные определения

Определение 1.1 (см. [2]) Окрестностью точки a на числовой

прямой будем называть любой интервал, центром которого явля
ется точка a.

Будем обозначать окрестность точки a: Ua.

Определение 1.2 Пусть задано два множества числовой прямой

X, Y. Будем говорить, что задана функция f, действующая из мно
жества X в множество Y, если каждой точке x множества X,

ставится в соответствие точка y множества Y. И будем обозна
чать f : X −→ Y.

Замечание 1.1 Согласно определению функция однозначно опреде
ляется множеством X, являющимся областью определения функ
5

Основные сведения из теории пределов.

ции f, множеством Y, являющимся областью допустимых зна
чений функции f, и законом, по которому каждой точки x из X

ставится в соответствие точка y из Y.

Определение 1.3 Пусть задана функция f, действующая из мно
жества натуральных чисел в множество действительных чисел

f : N −→ R, тогда f(n)− будем называть числовой последователь
ностью и обозначать xn.

1.1.2
Предел последовательности

Определение 1.4 (см. [2]) Будем говорить, что последователь
ность xn имеет предел при n −→ ∞, равный a (стремится к a),

если для любой окрестности точки a Ua (∀ Ua) существует но
мер m (∃ m) такой, что для всех n > m (∀ n > m) выполняется

xn ∈ Ua. И будем обозначать:

lim
n−→∞ xn = a
или же
xn−→a
n→∞

Замечание 1.2 Пусть длина интервала Ua равна 2ε, тогда усло
вие x ∈ Ua равносильно неравенству |x − a| < ε (окрестность при

этом удобно обозначать Ua(ε)). Тогда определение предела последо
вательности можно сформулировать следующим образом: Будем

говорить, что последовательность xn имеет предел при n −→ ∞,

равный a, если

∀ε > 0 ∃m > 0 : ∀n > m |xn − a| < ε.

6

1.1 Предел функции.

Свойства пределов числовых последовательностей.

Свойство 1.1 Пусть все элементы числовой последовательности

xn равны a, тогда lim
n−→∞ xn = a.

Свойство 1.2 Пусть lim xn = a и lim yn = b, тогда

lim(xn + yn) = a + b.

Свойство 1.3 Пусть lim xn = a и lim yn = b, тогда

lim(xn · yn) = a · b.

Свойство 1.4 Пусть lim xn = a и lim yn = b ̸= 0, тогда

lim xn

yn
= a

b.

Определение 1.5 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть бес
конечно малой, если ∃ lim
n→∞ xn = 0.

Определение 1.6 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть бес
конечно большой, если

∀C > 0 ∃m : ∀n > m |xn| > C.

При этом будем говорить, что последовательность {xn}∞
n=1 расхо
дится к бесконечности и будем писать

lim
n→∞ xn = ∞

Определение 1.7 Если для последовательности {xn}∞
n=1 выполня
ется следующее ∀C ∃m : ∀n > m xn > C, то будем писать

lim
n→∞ xn = +∞

7

Основные сведения из теории пределов.

Определение 1.8 Если для последовательности {xn}∞
n=1 выполня
ется следующее ∀C ∃m : ∀n > m xn < C, то будем писать

lim
n→∞ xn = −∞

Определение 1.9 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть огра
ниченной, если ∃M1, M2 : ∀n M1 < xn < M2. При этом число M1

будем называть нижней границей последовательности, а число M2

верхней границей последовательности.

Замечание 1.3 Если положить M = max {|M1| , |M2|} , то полу
чим равносильную определению формулировку

∃M > 0 ∀n |xn| < M.

Определение 1.10 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть

ограниченной сверху, если ∃M : ∀n xn < M. Соответственно M

является верхней границей последовательности.

Определение 1.11 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть

ограниченной снизу, если ∃M :
∀n M < xn. Соответственно M

является нижней границей последовательности.

Свойство 1.5 Пусть lim
n→∞ xn = a и a < p (a > q), тогда

∃m : ∀n > m xn < p (xn > q).

Свойство 1.6 Пусть lim
n→∞ xn = a и xn ⩽ p (xn ⩾ q), тогда

a ⩽ p (a ⩾ q).

8

1.1 Предел функции.

Лемма 1.1 (Первая лемма о предельном переходе в неравенстве.)

Пусть lim xn = a
lim yn = b
и ∃m :
∀n > m xn ⩽ yn, тогда a ⩽ b.

Лемма 1.2 (Вторая лемма о предельном переходе в неравенстве.)

Пусть ∃m :
∀n > m xn ⩽ yn ⩽ zn и lim
n→∞ xn = a,
lim
n→∞ zn = a, то
гда lim
n→∞ yn = a

Определение 1.12 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть

монотонно возрастающей (убывающей), если

∀n xn < xn+1 (∀n xn > xn+1).

Определение 1.13 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть

монотонно неубывающей (невозрастающей), если

∀n xn ⩽ xn+1 (∀n xn ⩾ xn+1).

Лемма 1.3 (Лемма о монотонной последовательности.) Монотонно неубы
вающая ограниченная сверху последовательность имеет конечный

предел.

9

Числовые ряды.

2.1
Определение ряда и его

сходимость

Определение 2.1 (см. [1, 3]) Пусть задана последовательность

действительных чисел {an}∞
n=1 сумма следующего вида

a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · ,

называется числовым рядом (или просто рядом) и обозначается

∞
n=1
an,
(2.1)

а число an – его n-м членом n = 1, 2, 3, . . .

Определение 2.2 (см. [1, 3]) Сумма чисел

Sn =

n
k=1
ak,
(2.2)

называется n-й частичной суммой ряда 2.1.

10