Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А. А. Бондарчук

ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ. 
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 
И ЭКСПЕРИМЕНТ 

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2021

УДК 531+532(075.8)
ББК 22.2+22.253.3 я73
 
Б81

Печатается по решению кафедры теоретической и компьютерной 
гидроаэродинамики Института математики, механики 
и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального 
университета (протокол № 5 от 23 января 2020 г.)

Рецензенты:
профессор кафедры дифференциальных и интегральных уравнений 
ИММиКН им. И. И. Воровича ЮФУ,
доктор физико-математических наук Н. В. Боев;
ведущий научный сотрудник ЮНЦ РАН,
кандидат физико-математических наук Д. Н. Шейдаков

Бондарчук, А. А.
Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент : учебное пособие / А. А. Бондарчук ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство 
Южного федерального университета, 2021. – 132 с.
ISBN 978-5-9275-3632-0

В учебном пособии излагаются базовые сведения по выводу и использованию основных моделей жидких и газообразных сред для выполнения аналитических, численных и 
экспериментальных исследований. Последовательно рассматриваются следующие темы: 
молекулярно-кинетическая теория газов, использование законов сохранения для вывода 
дифференциальных уравнений движения жидких и газовых сред, особенности работы с 
моделями несжимаемых жидкостей, основы газовой динамики. Изложение основ молекулярно-кинетической теории демонстрирует прямую связь между принципами классической механики и гидроаэродинамики. Пособие содержит контрольные задания.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям образовательных программ бакалавриата 01.03.03 «Механика и математическое моделирование» (дисциплина «Экспериментальные методы в гидроаэродинамике») и 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (дисциплина «Механика жидкости и газа: теория и компьютерный 
эксперимент»).

Б81

ISBN 978-5-9275-3632-0

УДК 531+532(075.8)
ББК 22.2+22.253.3 я73
© Южный федеральный университет, 2021
© Бондарчук А. А., 2021
©  Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..............................................................................................5

Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория ...........................6
1.1.  Основные понятия ................................................................6
1.2. Столкновения между частицами......................................10
1.3. Распределение скоростей у частиц разной массы ..........13
1.4. Взаимодействие газа с неподвижной 
твердой стенкой ..................................................................15
1.5. Взаимодействие газа 
с движущейся твердой стенкой .........................................17
1.6. Численное моделирование ................................................18
Контрольные задания к главе 1 ...............................................20

Глава 2. Вывод уравнений основных моделей .......................23
2.1. Общая схема вывода ..........................................................24
2.2. Выбор малого объема .........................................................24
2.3. Закон сохранения массы 
в дифференциальной форме .............................................25
2.4. Закон изменения количества движения 
в дифференциальной форме .............................................28
2.5. Закон изменения энергии 
в дифференциальной форме .............................................38
2.6. Итоговый вид уравнений 
четырех основных моделей ...............................................44
Контрольные задания к главе 2 ...............................................46

Глава 3. Течения несжимаемой жидкости ..............................49
3.1. Гидростатика ......................................................................49
3.2. Уравнение вихрей ..............................................................51
3.3. Безвихревые течения жидкости .......................................53

Оглавление

4

3.4. Плоские течения жидкости ...............................................55
3.5. Плоские безвихревые течения жидкости ........................56
3.6. Примеры комплексных потенциалов 
для плоских течений ..........................................................58
3.7. Беcциркуляционное обтекание цилиндра ......................67
3.8. Циркуляционное обтекание цилиндра ...........................72
3.9. Прочие формы применения теории потенциалов ..........74
3.10. Вязкая жидкость ................................................................76
3.11. Течение Пуазейля ..............................................................79
3.12. Безразмерная запись уравнений движения ...................83
Контрольные задания к главе 3 ...............................................86

Глава 4. Течения сжимаемого газа ............................................90
4.1. Идеальный газ ....................................................................90
4.2. Скорость звука ....................................................................96
4.3. Вязкий газ ...........................................................................99
4.4. Аэродинамическое подобие .............................................103
4.5. Численные методы в газовой динамике ........................106
Контрольные задания к главе 4 .............................................114

Литература ......................................................................................116

Приложения ...................................................................................118
Приложение 1. Описание лабораторных работ ....................118
Приложение 2. Работа с ANSYS CFX .....................................123

ВВЕДЕНИЕ

В учебном пособии излагаются основные сведения о теоретических и экспериментальных методах исследования и моделирования течения жидких и газообразных сред.
В первой главе даются базовые знания молекулярно-кинетической теории. Хотя данная теория не используется напрямую для 
расчетов, знание ее основ позволяет выстроить непрерывную связь 
между законами теоретической механики и течениями жидких и 
газообразных сред, что улучшает понимание физического смысла 
рассматриваемых величин, используемых формул и происходящих процессов в целом.
Во второй главе демонстрируется вывод уравнений основных 
моделей из законов сохранения. Умение получить систему уравнений из базовых принципов дает возможность модифицировать 
эти уравнения при необходимости учета каких-либо специфических факторов и процессов, а также выводить уравнения для произвольных областей конечной величины, что востребовано при использовании метода конечных объемов.
В третьей главе излагаются особенности работы с моделями 
несжимаемой жидкости. Основное внимание уделяется модели с 
самым развитым теоретическим аппаратом – модели идеальной 
жидкости и, в частности, методу комплексного потенциала. Также 
рассматриваются особенности моделирования вязкой жидкости и 
приведение системы уравнений к безразмерному виду.
Четвертая глава посвящена свойствам течений сжимаемого 
газа и особенностям их численного моделирования. Рассматривается также теория подобия в приложении к экспериментальному 
моделированию.
Каждая глава содержит контрольные задания. В приложениях также приведено более подробное описание заданий, выполняемых с использованием лабораторного оборудования, и краткие сведения о работе с пакетом для численного моделирования течений 
жидкостей и газов ANSYS CFX.

ГЛАВА 1. 

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Течения жидкостей и газов моделируются с помощью системы 
дифференциальных уравнений в частных производных, в которую 
входят уравнения движения (в формулировке Эйлера или Навье – 
Стокса), уравнение неразрывности и, в зависимости от используемой модели, уравнения состояния и баланса энергии. При выводе этих уравнений в учебной литературе, как правило, применяют 
один из следующих подходов: а) рассмотрение кинематики жидкой частицы с дальнейшим переходом к напряжениям; б) рассмотрение действия законов сохранения для малого объема; в) рассмотрение простейших форм уравнений, таких как уравнения 
гидростатики, с дальнейшим переходом к последовательно усложняющимся вариантам. Все перечисленные подходы обладают одним общим недостатком: несмотря на то, что механика жидкостей 
и газов является естественным продолжением и следует из теоретической механики, две ключевые гидродинамические функции – 
давление и температура, – вводятся максимально абстрактно, без 
связи с уже известными в классической механике терминами (в отличие от функций скорости и плотности жидкости, которые являются обобщением понятий скорости и массы материальной точки). 
Ввиду этого, мы начнем с изложения некоторых элементов молекулярно-кинетической теории, что позволит заполнить этот пробел (более подробно с этой теорией можно ознакомиться, например, в [17]).

1.1. Основные понятия

В основе молекулярно-кинетической теории лежит упрощенное представление о газе как совокупности хаотически перемещающихся и сталкивающихся между собой малых частиц, подчиняющихся законам классической механики, без учета их внутренней 

1.1. Основные понятия

7

структуры и состояния, а также статистическим законам, в силу 
большого количества частиц. Рассмотрение статистической компоненты выходит за пределы тематики данного пособия, а вот применение основных законов механики в такой постановке позволяет 
вывести многие принципы газовой динамики (к механике жидкости эта теория малоприменима). Разберем, как понятия классической механики транслируются в понятия механики газов.
Как известно, базовыми понятиями в классической механике 
являются масса и скорость, через которые определяются также 
импульс, момент импульса и кинетическая энергия. Для этих величин существуют законы сохранения, которые определяют, как 
меняются (если вообще меняются) эти величины под действием 
внешних факторов. Выполняются эти законы и для газообразных 
сред, однако, в несколько другом проявлении.

Понятие плотности
В классической механике масса частиц/тел, как правило, 
остается неизменной (исключением являются, например, задачи 
реактивного движения с учетом расхода топлива). В молекулярнокинетической теории массы частиц также неизменны и, более того, 
всегда одинаковы для молекул одного газа (химические реакции в 
рамках этой теории мы не рассматриваем). Они могут быть просто 
просуммированы для нахождения массы газа в заданном объеме. 
Распределение же частиц в пространстве может существенно различаться, для описания чего вводится понятие «плотность», характеризующая концентрацию массы в единице объема (для практических задач удобнее работать с распределением массы газа, чем 
с распределением количества частиц) и измеряющаяся в <кг/м3>. 
В случаях, когда газ является смесью двух или более различных 
веществ, может вводиться несколько плотностей/концентраций, 
которые рассматриваются отдельно. В отличие от массы, плотность 
может меняться в процессе сжатия или расширения, а также при 
перемещении и перемешивании объемов газа.
Для перехода от масс отдельных частиц (массу молекул обычно измеряют в атомных единицах массы как сумму атомных весов, 
входящих в молекулу атомов) к измеряемой в привычных единицах плотности используют понятие «моль» – количество вещества, 

Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория

8

масса которого в граммах численно равна молекулярной массе. 
В одном моле вещества содержится 6,0221407·1023 молекул (так называемое число Авогадро). При нормальных условиях один моль 
любого газа будет занимать объем приближенно в 22,414 литров; 
это, в частности, означает, что при равных условиях отношение 
плотностей двух газов будет равно отношению их молекулярных 
весов (усредненных, если газ является смесью). Так, средний молекулярный вес воздуха равен примерно 29 (воздух на три четверти 
состоит из азота N2 с молекулярным весом 28 и на четверть из кислорода O2 с молекулярным весом 32, с незначительными примесями других газов), а молекулярный вес водяного пара H2O – 18, что 
более чем в полтора раза меньше. В полном соответствии с этими 
числами, водяной пар в полтора раза легче воздуха и в атмосфере 
поднимается вверх до тех пор, пока не начинается его конденсация из-за снижения температуры.

Понятие скорости
Со скоростью ситуация в газах более сложная, и это понятие 
имеет несколько другое значение по сравнению с классической механикой. Дело в том, что из-за того, что движущихся частиц огромное количество и направления движения у них различные, большая часть их импульсов при суммировании взаимно сокращается. 
Оставшийся после сокращения импульс (если он не равен нулю) 
определяет движение воздушных масс как целого, но ничего не говорит нам о скоростях отдельных частиц (что, впрочем, и не требуется, если мы рассматриваем только кинетику газа). Отметим, что 
средняя скорость движения отдельных частиц в газе обычно намного выше, чем скорость движения массы газа как целого. Так, 
в воздухе скорость движения молекул составляет сотни метров в 
секунду, примерно в полтора раза больше скорости звука, что на 
один-два порядка превышает скорость ветра.

Понятие температуры
В классической механике у частиц/тел имеется кинетическая 
энергия, которая прямо определяется массой и скоростью движения (а также вращательной скоростью). Из предыдущего пункта, 
однако, следует, что скорости отдельных частиц газа для нас на

1.1. Основные понятия

9

прямую ненаблюдаемы, это означает, что мы не можем вывести 
кинетическую энергию из других величин. В то же время среднее 
количество кинетической энергии у частиц газа оказывает самое 
непосредственное влияние на его свойства. Мерой этой усредненной кинетической энергии является понятие «температура». Температура измеряется в градусах (для расчетов, как правило, используются градусы Кельвина или градусы Цельсия, равные по 
величине, но имеющие разные точки отсчета), из нее можно получить количество внутренней энергии газа.

Понятия вязкости, теплопроводности и диффузии
Из-за постоянного хаотичного движения молекул происходит 
постоянное перемешивание вещества, приводящее к выравниванию распределений плотности, импульса и удельной энергии, 
даже при отсутствии заметных потоков газа. Для описания этого 
процесса вводятся три термина: «вязкость» (в применении к диссипации импульса), «теплопроводность» (в применении к диссипации энергии) и «диффузия» (в применении к диссипации вещества, 
когда рассматривается некоторая неоднородная смесь). Эти термины близко связаны с понятием трения из классической механики [3], так, можно сказать, что импульс передается между слоями 
газа за счет трения между ними. Скорость протекания этого процесса подчиняется статистическим законам и описывается эмпирическими формулами. Интенсивность процесса растет с увеличением скорости движения частиц (то есть температуры), хотя этим 
эффектом зачастую пренебрегают, когда изучаемое течение газа 
происходит в условиях достаточно узкого диапазона возможных 
температур. Интересно, что на интенсивность процесса не влияет 
плотность – дело в том, что хотя с увеличением плотности растет 
число частиц, переносящих с собой вещество, импульс и энергию 
в соседние области пространства, но одновременно уменьшается 
длина свободного пробега молекул, то есть переносимые вещество, 
импульс и энергия попадают в более близкие слои газа. Следует, 
однако, понимать, что этот принцип перестает работать при слишком малой плотности, когда частицы уже могут перемещаться на 
очень большое расстояние без столкновений, поэтому на границе с 
вакуумом никакого трения быть не может.

Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория

10

Понятие давления
Причины возникновения или изменения движения тоже отличаются от тех, что были в классической механике. Если в классических задачах причиной движения являются приложенные к частице/телу силы (которые в том числе могут порождаться другими 
телами, например сила натяжения пружины, реакция опоры или 
сопротивление воздуха), то в молекулярно-кинетической теории из 
постоянно действующих на частицы сил можно выделить только 
дальнодействующие, такие как гравитация и электромагнетизм, 
так как, очевидно, что в ситуации, когда частицы ничем не соединены и свободно перемещаются в пустоте, больше на них действовать нечему. Если мы не рассматриваем ионизированный газ, то 
и электромагнитные силы отметаются, оставляя только силу тяжести. Но и сила тяжести не является определяющим фактором, 
управляющим движением частиц в газе (ее можно вовсе не учитывать, если не рассматривается слой воздуха высотой в километры). 
Таким фактором являются многочисленные столкновения между частицами, при которых они обмениваются импульсами между 
собой и с окружающими телами. Совокупность таких столкновений создает «давление», которое является определяющим фактором динамики газов. Давление измеряется в <Па> (паскали, или 
<Н/м2>). Рассмотрим, как происходят столкновения между частицами и как они формируют давление и определяют связи между 
различными характеристиками газа.

1.2. Столкновения между частицами

Мы не будем вычислять вероятность столкновения между частицами газа, которая зависит от их размеров и скорости, просто 
примем вместо этого, что такие столкновения происходят и часто. 
Также мы будет считать, что процесс удара – абсолютно упругий, 
то есть никак не влияет на внутреннее состояние частиц и меняет 
только их скорость и направление движения. В этом случае состояние частиц после удара определяется законом сохранения импульса, законом сохранения момента импульса и законом сохранения 
движения. Для простоты рассмотрим лобовой удар, то есть будем 
считать, что частицы перед ударом двигаются по одной прямой на