Лекции по интегральному исчислению функций одной переменной и теории рядов

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

Федеральное государственное автономное  

образовательное учреждение высшего образования 

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

 
 
 
 
 

М. Э. Абрамян 

 
 
 
 

ЛЕКЦИИ  

ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ  

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 

И ТЕОРИИ РЯДОВ 

 

 

Для студентов физико-математических 

и технических специальностей 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ростов-на-Дону – Таганрог 

Издательство Южного федерального университета 

2021 

 

 

УДК 517.4(075.8) 
ББК 22.162я73 
 
А164 

Печатается по решению учебно-методической комиссии  

Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича  

Южного федерального университета (протокол № 6 от 22 июня 2021 г.) 

 

Рецензенты:  

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика»  

Южно-Российского государственного политехнического университета,  

почетный работник высшего профессионального образования РФ,  

профессор А. Э. Пасенчук; 

 

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры  

и дискретной математики Института математики, механики  

и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета, 

доцент А. В. Козак 

 

Учебник подготовлен в рамках договора № ОПОП/2/1 от 10.06.2021 по актуализации  

основной профессиональной образовательной программы высшего образования 

по направлению 01.03.02 «Прикладная математика и информатика (бакалавриат)» 

 

 
Абрамян, М. Э. 

А164  
Лекции по интегральному исчислению функций одной перемен
ной и теории рядов / М. Э. Абрамян ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2021. – 261 с. 

 
 
ISBN 978-5-9275-3828-7 

 
 
 
Учебник содержит лекционный материал второй части курса математиче
ского анализа и включает следующие темы: неопределенный интеграл, определенный интеграл и его геометрические приложения, несобственный интеграл, числовые ряды, функциональные последовательности и ряды, степенные 
ряды, ряды Фурье. Особенностью книги является возможность ее изучения 
одновременно с просмотром видеолекций, записанных автором и доступных 
на сайте youtube.com. Разделы и подразделы учебника снабжены сведениями 
о номере лекции, времени начала соответствующего фрагмента и длительности этого фрагмента. В электронном варианте учебника эти сведения оформлены в виде гиперссылок, позволяющих немедленно перейти к просмотру требуемого фрагмента лекции.  

 
 
Учебник предназначен для студентов физико-математических и техниче
ских специальностей.  

УДК 517.4(075.8) 

ББК 22.162я73 

ISBN 978-5-9275-3828-7 

 
©  Южный федеральный университет,  2021 

 
©  Абрамян М. Э.,  2021 

 
©  Оформление. Макет. Издательство  

 
     Южного федерального университета,  2021 

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Видеолекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1. Первообразная и неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Определение первообразной и неопределенного интеграла . . . . . . . . .13
Таблица неопределенных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Простейшие свойства неопределенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Замена переменной в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Формула интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Разложение рациональной функции на простейшие дроби . . . . . . . . .22
Методы разложения рациональной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Интегрирование слагаемых в разложении
рациональной функции на простейшие дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Теорема об интегрировании рациональной функции . . . . . . . . . . . . . . .26

3. Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . 28

Рациональные выражения для тригонометрических функций . . . . . 28
Универсальная тригонометрическая замена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Особенности применения универсальной
тригонометрической замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Другие виды замены переменной
для тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Интегрирование иррациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Интегрирование рациональной функции
с иррациональным аргументом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Обобщение на случай нескольких иррациональных аргументов . . . 37
Интегрирование биномиального дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Подстановки Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5. Определенный интеграл и суммы Дарбу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
Суммы и интегралы Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу . . . . . . . . . . . . . . .53

М. Э. Абрамян. Лекции по интегральному исчислению и теории рядов

6. Классы интегрируемых функций.
Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
Свойства интеграла, связанные с подынтегральными функциями .61
Свойства, связанные с промежутками интегрирования . . . . . . . . . . . . 64
Оценки интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Интегральные теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

7. Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

Интеграл с переменным верхним пределом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
Дополнительные приемы вычисления определенных интегралов . . 83

8. Вычисление площадей и объемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Квадрируемые фигуры на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора . . . . .91
Вычисление объемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9. Кривые и вычисление их длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Вектор-функции и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
Дифференцируемые вектор-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Теорема Лагранжа для вектор-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Кривые в пространстве. Спрямляемые кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Свойства непрерывно дифференцируемых кривых . . . . . . . . . . . . . . . 116
Варианты формулы для нахождения длины кривой . . . . . . . . . . . . . .121

10. Несобственные интегралы: определение и свойства . . . . . .124

Задачи, приводящие к понятию несобственного интеграла . . . . . . . 124
Варианты определения несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Свойства несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11. Абсолютная и условная сходимость
несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла . . . . . . . . . . .132
Абсолютная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . .133
Свойства несобственных интегралов от неотрицательных функций 134
Условная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
Признак Дирихле условной сходимости несобственного интеграла . 140
Интегралы, имеющие несколько особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Оглавление
5

12. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Числовые ряды: определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
Критерий Коши сходимости числового ряда
и необходимое условие его сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

Абсолютно сходящиеся числовые ряды
и арифметические свойства сходящихся числовых рядов . . . . . .149

13. Признаки сходимости числовых рядов
с неотрицательными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Признак сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
Интегральный признак сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Признаки Даламбера и Коши сходимости числовых рядов . . . . . . . 157

14. Знакочередующиеся ряды и условная сходимость . . . . . . . 162

Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
Признаки Дирихле и Абеля
условной сходимости числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Дополнительные замечания
об абсолютно и условно сходящихся рядах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

15. Функциональные последовательности и ряды . . . . . . . . . . . . 171

Поточечная и равномерная сходимость функциональной
последовательности и функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной
последовательности и функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов . . . . . .179

16. Свойства равномерно сходящихся последовательностей
и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Непрерывность равномерного предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Интегрирование функциональных последовательностей и рядов . 185
Дифференцирование функциональных последовательностей
и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188

17. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Степенной ряд: определение и теоремы Абеля о его сходимости . 193
Верхний и нижний пределы последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Формула Коши – Адамара
для радиуса сходимости степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

М. Э. Абрамян. Лекции по интегральному исчислению и теории рядов

18. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

Вещественные аналитические функции
и их разложение в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

Вещественные аналитические функции
и свойство бесконечной дифференцируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Достаточное условие существования ряда Тейлора.
Разложения экспоненты, синуса и косинуса в ряд Тейлора . . . .211

Разложение степенной функции в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Разложения логарифма и арксинуса в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . 216

19. Ряды Фурье в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Вещественное евклидово пространство и его свойства . . . . . . . . . . . . 220
Ряд Фурье по ортонормированной последовательности
векторов в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Ряд Фурье по полной ортонормированной
последовательности векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

20. Ряды Фурье в пространстве интегрируемых функций . . 232

Евклидово пространство интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . 232
Построение ортонормированной последовательности
интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235

Построение формального ряда Фурье
для интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном
в случае периодических непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . 240

Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном в случае
кусочно-непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242

Поточечная сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Равномерная сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Скорость убывания коэффициентов Фурье
для дифференцируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Памяти профессора
Владимира Ставровича Пилиди
(1946–2021)

Предисловие

Книга является продолжением учебника [1] и содержит лекционный
материал второй части курса математического анализа, читавшегося автором на протяжении ряда лет в Институте математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета
(направление подготовки 01.03.02 – Прикладная математика и информатика). В книге рассмотрены следующие темы: неопределенный интеграл, определенный интеграл и его геометрические приложения, несобственный интеграл, числовые ряды, функциональные последовательности и ряды, степенные ряды, ряды Фурье.
За рамками материала, изложенного в [1] и настоящей книге, остались
темы курса, связанные с дифференциальным и интегральным исчислением функций многих переменных.
Данную книгу, как и [1], можно отнести к категории «кратких учебников», охватывающих только тот материал, который обычно удается дать
на лекциях. В этом отношении она подобна книгам [13, 19] и отличается от «подробных учебников», освещающих предмет с гораздо большей
полнотой. В частности, разделы, связанные с интегральным исчислением функций одной переменной, подробно изложены в учебниках [2, 4, 6,
8, 11, 14, 15], а разделы, связанные с теорией рядов, входят в учебники
[2, 3, 5–7, 9, 11, 14, 15]; при этом теория рядов Фурье часто излагается
отдельно (см. [10, 12, 16]).
Большинство утверждений, приводимых в книге, снабжено подробными доказательствами; для немногочисленных вспомогательных фактов,
принимаемых без доказательства, приводятся ссылки на учебники, в которых эти факты доказаны (в качестве основного источника для подобных ссылок был выбран учебник [14]).
Подобно книге [1], предлагаемая книга имеет две основные особенности: ориентация на набор видеолекций и наличие вариантов на русском

М. Э. Абрамян. Лекции по интегральному исчислению и теории рядов

и английском языках (английским вариантом книги [1] является [17]). Отмеченные особенности и обусловленные ими дополнительные преимущества для читателя подробно описаны в предисловии к [1]. В качестве дополнительных источников на английском языке, наиболее близких к русским учебникам, можно указать книги [18–20].
Указатель к книге составлен по тем же принципам, что и указатель
к [1]: он содержит все определения и теоремы, причем все ссылки на теоремы представляют собой их развернутые описания, сгруппированные
в разделе «Теорема». Кроме того, все теоремы и другие понятия, содержащие в своих названиях фамилии, дополнительно приводятся в позициях, соответствующих этим фамилиям. В электронном варианте книги
номера страниц в указателе и в оглавлении являются гиперссылками,
позволяющими сразу перейти на данную страницу.
В начальном разделе «Видеолекции» приводится полная информация
о связанном с книгой наборе видеолекций, включающая их интернетадреса, что позволяет быстро загрузить нужную лекцию даже при отсутствии электронного варианта книги.

Видеолекции

Если рядом с заголовком раздела или подраздела указан текст в рамке, то это означает, что с данным разделом или подразделом связан фрагмент видеолекции. Текст в рамке состоит из трех частей: номера видеолекции, времени, с которого начинается фрагмент, и продолжительности
фрагмента.
Например, рядом с заголовком первого раздела главы 1, посвященного
определению первообразной и неопределенного интеграла, указан текст
2.1A/00:00 (16:47) . Он означает, что эта тема обсуждается в самом начале лекции 2.1A и соответствующий фрагмент лекции длится 16 минут
47 секунд. Последний раздел главы 20 – это раздел о скорости убывания
коэффициентов Фурье для дифференцируемых функций; рядом с его заголовком указывается текст 3.19B/33:49 (06:32) , означающий, что эта
тема обсуждается в лекции 3.19B, начиная с 33:49, и продолжительность
обсуждения равна 6 минутам 32 секундам.
Двойная нумерация видеолекций связана с тем, что они взяты из двух
наборов (с номерами 2 и 3), соответствующих лекциям второго и третьего
семестра, причем лекции в каждом наборе нумеруются, начиная от 1.
В электронной версии книги все тексты в рамках являются гиперссылками. Щелчок на таком тексте позволяет загрузить нужную лекцию
и сразу запустить ее воспроизведение, начиная с указанного времени.
При использовании бумажного варианта книги такая возможность,
естественно, недоступна, поэтому ниже приводится дополнительная информация, которая позволит быстро загрузить требуемую видеолекцию.
Все видеолекции выложены на сайте youtube.com. Первые 10 видеолекций относятся к набору 2 и являются начальными лекциями этого
набора (с номерами от 1 до 10), завершающие 11 видеолекций относятся к средней части набора 3 и имеют в этом наборе номера от 9 до 19.
Кроме того, приведена ссылка на видеолекцию 2.11A, в которой завершается тема, посвященная кривым и нахождению их длин, и ссылка на
видеолекцию 3.8B, в которой начинается тема, посвященная несобственным интегралам. Все остальные видеолекции состоят из двух частей: A
и B. После названия лекции указываются короткие ссылки на каждую
часть.

М. Э. Абрамян. Лекции по интегральному исчислению и теории рядов

2.1. Неопределенный интеграл
2.1A:
https://youtu.be/66lAeLxskVA

2.1B:
https://youtu.be/xzIopk1WCDM

2.2. Интегрирование рациональных функций
2.2A:
https://youtu.be/aLuD104G8PI

2.2B:
https://youtu.be/pPDP0Lv23fk

2.3. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций
2.3A:
https://youtu.be/_5Maq2J0eHg

2.3B:
https://youtu.be/aSDoNpfUbAs

2.4. Определенный интеграл. Суммы Дарбу
2.4A:
https://youtu.be/TRBKy1OknMM

2.4B:
https://youtu.be/a4gf4Temgug

2.5. Классы интегрируемых функций
2.5A:
https://youtu.be/oLRSzkV4FLo

2.5B:
https://youtu.be/OXUliFTV26s

2.6. Свойства определенного интеграла
2.6A:
https://youtu.be/VkS-AcA9njQ

2.6B:
https://youtu.be/tygGvPGHTps

2.7. Формула Ньютона – Лейбница
2.7A:
https://youtu.be/h77yheGoE1I

2.7B:
https://youtu.be/FPhuVOZFZZ8

2.8. Вычисление площадей
2.8A:
https://youtu.be/Yg2rrKjorF8

2.8B:
https://youtu.be/sX5r7CP2oR0

2.9. Вычисление объемов
2.9A:
https://youtu.be/3Vpk5JvFLaM

2.9B:
https://youtu.be/6VT320AFKbw

2.10. Вектор-функции. Вычисление длины кривой
2.10A:
https://youtu.be/Q6sxEiXVzhc

2.10B:
https://youtu.be/xb8oN2tz4Lw

2.11. Метрические пространства
2.11A:
https://youtu.be/J29z4Sog7WE

3.8. Определение и свойства несобственного интеграла
3.8B:
https://youtu.be/3r3u9nmPvQI

3.9. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
3.9A:
https://youtu.be/at_eysCbc_M