Лекции по интегральному исчислению функций одной переменной и теории рядов

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
 
Федеральное государственное автономное  
образовательное учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
 
 
 
 
 
М. Э. Абрамян 
 
 
 
 
ЛЕКЦИИ  
ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ  
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 
И ТЕОРИИ РЯДОВ 
 
 
Для студентов физико-математических 
и технических специальностей 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону – Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2021 

 
 
УДК 517.4(075.8) 
ББК 22.162я73 
 
А164 
Печатается по решению учебно-методической комиссии  
Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича  
Южного федерального университета (протокол № 6 от 22 июня 2021 г.) 
 
Рецензенты:  
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика»  
Южно-Российского государственного политехнического университета,  
почетный работник высшего профессионального образования РФ,  
профессор А. Э. Пасенчук; 
 
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры  
и дискретной математики Института математики, механики  
и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета, 
доцент А. В. Козак 
 
Учебник подготовлен в рамках договора № ОПОП/2/1 от 10.06.2021 по актуализации  
основной профессиональной образовательной программы высшего образования 
по направлению 01.03.02 «Прикладная математика и информатика (бакалавриат)» 
 
 
Абрамян, М. Э. 
А164  
Лекции по интегральному исчислению функций одной переменной и теории рядов / М. Э. Абрамян ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2021. – 261 с. 
 
 
ISBN 978-5-9275-3828-7 
 
 
 
Учебник содержит лекционный материал второй части курса математического анализа и включает следующие темы: неопределенный интеграл, определенный интеграл и его геометрические приложения, несобственный интеграл, числовые ряды, функциональные последовательности и ряды, степенные 
ряды, ряды Фурье. Особенностью книги является возможность ее изучения 
одновременно с просмотром видеолекций, записанных автором и доступных 
на сайте youtube.com. Разделы и подразделы учебника снабжены сведениями 
о номере лекции, времени начала соответствующего фрагмента и длительности этого фрагмента. В электронном варианте учебника эти сведения оформлены в виде гиперссылок, позволяющих немедленно перейти к просмотру требуемого фрагмента лекции.  
 
 
Учебник предназначен для студентов физико-математических и технических специальностей.  
УДК 517.4(075.8) 
ББК 22.162я73 
ISBN 978-5-9275-3828-7 
 
©  Южный федеральный университет,  2021 
 
©  Абрамян М. Э.,  2021 
 
©  Оформление. Макет. Издательство  
 
     Южного федерального университета,  2021 

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Видеолекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1. Первообразная и неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Определение первообразной и неопределенного интеграла . . . . . . . . .13
Таблица неопределенных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Простейшие свойства неопределенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Замена переменной в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Формула интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Разложение рациональной функции на простейшие дроби . . . . . . . . .22
Методы разложения рациональной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Интегрирование слагаемых в разложении
рациональной функции на простейшие дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Теорема об интегрировании рациональной функции . . . . . . . . . . . . . . .26
3. Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . 28
Рациональные выражения для тригонометрических функций . . . . . 28
Универсальная тригонометрическая замена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Особенности применения универсальной
тригонометрической замены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Другие виды замены переменной
для тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Интегрирование иррациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Интегрирование рациональной функции
с иррациональным аргументом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Обобщение на случай нескольких иррациональных аргументов . . . 37
Интегрирование биномиального дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Подстановки Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Определенный интеграл и суммы Дарбу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
Суммы и интегралы Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу . . . . . . . . . . . . . . .53

6. Классы интегрируемых функций.
Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
Свойства интеграла, связанные с подынтегральными функциями .61
Свойства, связанные с промежутками интегрирования . . . . . . . . . . . . 64
Оценки интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Интегральные теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
7. Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
Интеграл с переменным верхним пределом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
Дополнительные приемы вычисления определенных интегралов . . 83
8. Вычисление площадей и объемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Квадрируемые фигуры на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора . . . . .91
Вычисление объемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9. Кривые и вычисление их длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Вектор-функции и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
Дифференцируемые вектор-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Теорема Лагранжа для вектор-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Кривые в пространстве. Спрямляемые кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Свойства непрерывно дифференцируемых кривых . . . . . . . . . . . . . . . 116
Варианты формулы для нахождения длины кривой . . . . . . . . . . . . . .121
10. Несобственные интегралы: определение и свойства . . . . . .124
Задачи, приводящие к понятию несобственного интеграла . . . . . . . 124
Варианты определения несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Свойства несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11. Абсолютная и условная сходимость
несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла . . . . . . . . . . .132
Абсолютная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . .133
Свойства несобственных интегралов от неотрицательных функций 134
Условная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
Признак Дирихле условной сходимости несобственного интеграла . 140
Интегралы, имеющие несколько особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Оглавление
12. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Числовые ряды: определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
Критерий Коши сходимости числового ряда
и необходимое условие его сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
Абсолютно сходящиеся числовые ряды
и арифметические свойства сходящихся числовых рядов . . . . . .149
13. Признаки сходимости числовых рядов
с неотрицательными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Признак сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
Интегральный признак сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Признаки Даламбера и Коши сходимости числовых рядов . . . . . . . 157
14. Знакочередующиеся ряды и условная сходимость . . . . . . . 162
Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
Признаки Дирихле и Абеля
условной сходимости числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Дополнительные замечания
об абсолютно и условно сходящихся рядах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15. Функциональные последовательности и ряды . . . . . . . . . . . . 171
Поточечная и равномерная сходимость функциональной
последовательности и функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Критерий Коши равномерной сходимости функциональной
последовательности и функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Признаки равномерной сходимости функциональных рядов . . . . . .179
16. Свойства равномерно сходящихся последовательностей
и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Непрерывность равномерного предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Интегрирование функциональных последовательностей и рядов . 185
Дифференцирование функциональных последовательностей
и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
17. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Степенной ряд: определение и теоремы Абеля о его сходимости . 193
Верхний и нижний пределы последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Формула Коши – Адамара
для радиуса сходимости степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

18. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
Вещественные аналитические функции
и их разложение в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
Вещественные аналитические функции
и свойство бесконечной дифференцируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Достаточное условие существования ряда Тейлора.
Разложения экспоненты, синуса и косинуса в ряд Тейлора . . . .211
Разложение степенной функции в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Разложения логарифма и арксинуса в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . 216
19. Ряды Фурье в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Вещественное евклидово пространство и его свойства . . . . . . . . . . . . 220
Ряд Фурье по ортонормированной последовательности
векторов в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Ряд Фурье по полной ортонормированной
последовательности векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
20. Ряды Фурье в пространстве интегрируемых функций . . 232
Евклидово пространство интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . 232
Построение ортонормированной последовательности
интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
Построение формального ряда Фурье
для интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном
в случае периодических непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . 240
Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном в случае
кусочно-непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
Поточечная сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Равномерная сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Скорость убывания коэффициентов Фурье
для дифференцируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Памяти профессора
Владимира Ставровича Пилиди
(1946–2021)
Предисловие
Книга является продолжением учебника [1] и содержит лекционный
материал второй части курса математического анализа, читавшегося автором на протяжении ряда лет в Институте математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета
(направление подготовки 01.03.02 – Прикладная математика и информатика). В книге рассмотрены следующие темы: неопределенный интеграл, определенный интеграл и его геометрические приложения, несобственный интеграл, числовые ряды, функциональные последовательности и ряды, степенные ряды, ряды Фурье.
За рамками материала, изложенного в [1] и настоящей книге, остались
темы курса, связанные с дифференциальным и интегральным исчислением функций многих переменных.
Данную книгу, как и [1], можно отнести к категории «кратких учебников», охватывающих только тот материал, который обычно удается дать
на лекциях. В этом отношении она подобна книгам [13, 19] и отличается от «подробных учебников», освещающих предмет с гораздо большей
полнотой. В частности, разделы, связанные с интегральным исчислением функций одной переменной, подробно изложены в учебниках [2, 4, 6,
8, 11, 14, 15], а разделы, связанные с теорией рядов, входят в учебники
[2, 3, 5–7, 9, 11, 14, 15]; при этом теория рядов Фурье часто излагается
отдельно (см. [10, 12, 16]).
Большинство утверждений, приводимых в книге, снабжено подробными доказательствами; для немногочисленных вспомогательных фактов,
принимаемых без доказательства, приводятся ссылки на учебники, в которых эти факты доказаны (в качестве основного источника для подобных ссылок был выбран учебник [14]).
Подобно книге [1], предлагаемая книга имеет две основные особенности: ориентация на набор видеолекций и наличие вариантов на русском

и английском языках (английским вариантом книги [1] является [17]). Отмеченные особенности и обусловленные ими дополнительные преимущества для читателя подробно описаны в предисловии к [1]. В качестве дополнительных источников на английском языке, наиболее близких к русским учебникам, можно указать книги [18–20].
Указатель к книге составлен по тем же принципам, что и указатель
к [1]: он содержит все определения и теоремы, причем все ссылки на теоремы представляют собой их развернутые описания, сгруппированные
в разделе «Теорема». Кроме того, все теоремы и другие понятия, содержащие в своих названиях фамилии, дополнительно приводятся в позициях, соответствующих этим фамилиям. В электронном варианте книги
номера страниц в указателе и в оглавлении являются гиперссылками,
позволяющими сразу перейти на данную страницу.
В начальном разделе «Видеолекции» приводится полная информация
о связанном с книгой наборе видеолекций, включающая их интернетадреса, что позволяет быстро загрузить нужную лекцию даже при отсутствии электронного варианта книги.

Видеолекции
Если рядом с заголовком раздела или подраздела указан текст в рамке, то это означает, что с данным разделом или подразделом связан фрагмент видеолекции. Текст в рамке состоит из трех частей: номера видеолекции, времени, с которого начинается фрагмент, и продолжительности
фрагмента.
Например, рядом с заголовком первого раздела главы 1, посвященного
определению первообразной и неопределенного интеграла, указан текст
2.1A/00:00 (16:47) . Он означает, что эта тема обсуждается в самом начале лекции 2.1A и соответствующий фрагмент лекции длится 16 минут
47 секунд. Последний раздел главы 20 – это раздел о скорости убывания
коэффициентов Фурье для дифференцируемых функций; рядом с его заголовком указывается текст 3.19B/33:49 (06:32) , означающий, что эта
тема обсуждается в лекции 3.19B, начиная с 33:49, и продолжительность
обсуждения равна 6 минутам 32 секундам.
Двойная нумерация видеолекций связана с тем, что они взяты из двух
наборов (с номерами 2 и 3), соответствующих лекциям второго и третьего
семестра, причем лекции в каждом наборе нумеруются, начиная от 1.
В электронной версии книги все тексты в рамках являются гиперссылками. Щелчок на таком тексте позволяет загрузить нужную лекцию
и сразу запустить ее воспроизведение, начиная с указанного времени.
При использовании бумажного варианта книги такая возможность,
естественно, недоступна, поэтому ниже приводится дополнительная информация, которая позволит быстро загрузить требуемую видеолекцию.
Все видеолекции выложены на сайте youtube.com. Первые 10 видеолекций относятся к набору 2 и являются начальными лекциями этого
набора (с номерами от 1 до 10), завершающие 11 видеолекций относятся к средней части набора 3 и имеют в этом наборе номера от 9 до 19.
Кроме того, приведена ссылка на видеолекцию 2.11A, в которой завершается тема, посвященная кривым и нахождению их длин, и ссылка на
видеолекцию 3.8B, в которой начинается тема, посвященная несобственным интегралам. Все остальные видеолекции состоят из двух частей: A
и B. После названия лекции указываются короткие ссылки на каждую
часть.

2.1. Неопределенный интеграл
2.1A:
https://youtu.be/66lAeLxskVA
2.1B:
https://youtu.be/xzIopk1WCDM
2.2. Интегрирование рациональных функций
2.2A:
https://youtu.be/aLuD104G8PI
2.2B:
https://youtu.be/pPDP0Lv23fk
2.3. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций
2.3A:
https://youtu.be/_5Maq2J0eHg
2.3B:
https://youtu.be/aSDoNpfUbAs
2.4. Определенный интеграл. Суммы Дарбу
2.4A:
https://youtu.be/TRBKy1OknMM
2.4B:
https://youtu.be/a4gf4Temgug
2.5. Классы интегрируемых функций
2.5A:
https://youtu.be/oLRSzkV4FLo
2.5B:
https://youtu.be/OXUliFTV26s
2.6. Свойства определенного интеграла
2.6A:
https://youtu.be/VkS-AcA9njQ
2.6B:
https://youtu.be/tygGvPGHTps
2.7. Формула Ньютона – Лейбница
2.7A:
https://youtu.be/h77yheGoE1I
2.7B:
https://youtu.be/FPhuVOZFZZ8
2.8. Вычисление площадей
2.8A:
https://youtu.be/Yg2rrKjorF8
2.8B:
https://youtu.be/sX5r7CP2oR0
2.9. Вычисление объемов
2.9A:
https://youtu.be/3Vpk5JvFLaM
2.9B:
https://youtu.be/6VT320AFKbw
2.10. Вектор-функции. Вычисление длины кривой
2.10A:
https://youtu.be/Q6sxEiXVzhc
2.10B:
https://youtu.be/xb8oN2tz4Lw
2.11. Метрические пространства
2.11A:
https://youtu.be/J29z4Sog7WE
3.8. Определение и свойства несобственного интеграла
3.8B:
https://youtu.be/3r3u9nmPvQI
3.9. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
3.9A:
https://youtu.be/at_eysCbc_M