Прикладные методы цифровой обработки сигналов в радиотехнических системах

 

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное автономное образовательное  

учреждение высшего образования 

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

Инженерно-технологическая академия 

 
 
 
 

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ  

ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ  
В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 

 
 
 

Учебное пособие  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ростов-на-Дону  Таганрог 

Издательство Южного федерального университета 

2021 

 

УДК 621.37(075.8)+004.056.94(075.8)  
 
 
 
 

ББК 32.3я73+32.973я73 
         К317 

 

Печатается по решению кафедры радиотехнических и  

телекоммуникационных систем Институра радиотехнических систем  

и управления Южного федерального университета  

(протокол № 12 от 10 февраля 2021 г.) 

 

Рецензенты: 

кандидат технических наук, доцент Южного федерального университета 

А. М. Пилипенко 

кандидат технических наук, доцент Южного федерального университета 

Н. Н. Кисель 

 

          Клименко, П. П.  
К317       Прикладные методы цифровой обработки сигналов в радиотехни
ческих системах : учебное пособие / П. П. Клименко, В. Т. Корниенко, А. М. Макаров, Ю. А. Геложе, А. В. Максимов ; Южный федеральный университет.  Ростов-на-Дону ; Таганрног : Издательство 
Южного федерального университета, 2021.  130 с. 

 

ISBN 978-5-9275-3802-7 

Рассмотрены вопросы построения моделей Matlab систем спектрального 

анализа в пространстве частот Фурье и Меллина, а также модели прикладных систем обработки сигналов при различных видах скремблирования и шифрования с 
использованием технологии Matlab. Приведены примеры создания рассмотренных алгоритмов в приложениях систем передачи информации. 

Предназначено для студентов радиотехнических специальностей для изуче
ния разделов дисциплин «Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры».  

УДК 621.37(075.8)+004.056.94(075.8) 

ББК 32.3я73+32.973я73 

ISBN 978-5-9275-3802-7 

© Южный федеральный университет, 2021 
© Клименко П. П., Корниенко В. Т., Макаров А. М.,  
    Геложе Ю. А., Максимов А. В., 2021 
© Оформление. Макет. Издательство  
    Южного федерального университета, 2021 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................... 5 
1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ в MATLAB ............................ 8 

1.1. Периодические сигналы и тригонометрические ряды Фурье ............. 8 
1.2. Теорема Парсеваля .............................................................................. 18 
1.3. Спектральный анализ на основе интегрального преобразования 
Фурье ........................................................................................................... 19 

1.3.1. Основные свойства интегрального преобразования Фурье ..... 21 

1.4. Непрерывно-дискретное преобразование Фурье ............................... 28 

1.4.1. Спектры дискретизированных сигналов ................................... 29 

1.5. Дискретное преобразование Фурье .................................................... 31 
1.6. Построение спектра в Matlab .............................................................. 31 
1.7. Влияние конечной длительности реализации на спектр сигнала ..... 40 
1.8. Оконный спектральный анализ .......................................................... 43 

1.8.1. Характеристики оконных функций ........................................... 43 
1.8.2. Некоторые распространенные оконные функции .................... 44 
1.8.3. Синтез окон в MatLab ................................................................. 46 

1.9. Оконное преобразование Фурье и спектрограмма ............................ 52 

2. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ЦИФРОВОГО СПЕКТРАЛЬНОГО 
АНАЛИЗА В ПРОСТРАНСТВЕ ЧАСТОТ МЕЛЛИНА .............................. 60 

2.1. Введение в теорию и приложения обработки сигналов с  
использованием преобразования Меллина ............................................... 60 
2.2. Интегральные преобразования и теория обработки сигналов .......... 61 

2.2.1. Элементы математических основ  интегрального  
преобразования Меллина ................................................................... 61 
2.2.2. Свойство масштабной инвариантности модуля  
преобразования Меллина ................................................................... 62 
2.2.3. Энергетические характеристики сигнала в базисе ПМ .......... 64 
2.2.4. Представление произвольного сигнала в виде суммы  
элементарных колебаний  в базисе ПМ ............................................ 66 

2.3. Спектры Меллина и их основные свойства ....................................... 68 
2.4. Спектры Меллина простейших сигналов ........................................... 70 
2.5. Аналог теоремы Винера – Хинчина  для анализа случайных  
стационарных  процессов  и  их анализ в пространстве ПМ ................... 72 
 

Оглавление 

4 

2.6. Основы теории цифровых моделей, порождаемых параметрически 
периодическими тригонометрически-логарифмическими функциями 
ядер интегрального преобразования Меллина .......................................... 76 
2.7. Свойство параметрически-периодических  функций ........................ 81 
2.8. Выбор компьютерного «нуля» и «бесконечности» цифровой  
модели ......................................................................................................... 82 
2.9. Особенности площади периодически-параметрических  
колебаний тригонометрически-логарифмических функций .................... 83 
2.10. Основы теории цифровых моделей, порождаемых  
параметрически периодическими тригонометрически- 
логарифмическими функциями ядер интегрального преобразования 
Меллина ....................................................................................................... 86 

3. МОДЕЛИ ПРИКЛАДНЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ  
В MATLAB ..................................................................................................... 94 

3.1. Частотные скремблеры речевых сигналов ......................................... 94 
3.2. Цифровой скремблер  потоковый криптографический  
шифратор ................................................................................................... 102 
3.3. Криптографический шифратор DES ................................................. 110 
3.4. Стеганографическая система передачи информации ...................... 122 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................ 128 
 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Методы цифровой обработки сигналов реализованы в различных ра
диотехнических системах: связи, радионавигации, радиолокации, обработки изображений, медицинской диагностики и пр. 

Наряду с такими базовыми  принципами, использующимися в цифро
вой обработке сигналов, как методы формирования дискретных и цифровых сигналов, алгоритмы цифровой фильтрации, способы учета влияния 
эффектов изменения частоты дискретизации и разрядности представления 
цифровых данных в процессе обработки сигналов, методы цифровой обработки сигналов в спектральной области, актуальными направлениями являются: учет особенностей спектров сигналов при их разрешении, обработке в другом, отличном от Фурье, базисе, оптимизация алгоритмов помехоустойчивого кодирования и декодирования сигналов, учета особенностей 
передачи цифровых сигналов в защищенных каналах связи. При этом важным аспектом является как получение базовой теоретической подготовки 
для изучения принципов функционирования и методов проектирования 
цифровых устройств инфотелекоммуникационных систем, также и практической реализации алгоритмов цифровой обработки сигналов. С этой целью на начальном этапе практического закрепления теоретических основ 
цифровой обработки сигналов  часто используют профессиональные программные средства, такие как MATLAB, LabVIEW, SYSTEMVIEW и др. 

Многие задачи цифровой обработки сигналов связаны со спектраль
ными характеристиками и методами их эффективного вычисления. Спектральные характеристики являются наиболее информативными, поскольку 
спектр – это единственная характеристика, которая полностью описывает 
анализируемый сигнал. Именно поэтому спектральные методы – наиболее 
мощный инструмент анализа. В отличие от вероятностных методов, описывающих свойства случайных процессов во временной области, спектральный анализ позволяет охарактеризовать частотный состав сигнала. Преобразование Фурье является математической основой данного анализа, так 
как играет важную роль не только при расчете спектров, но выступает как 
необходимый промежуточный этап при вычислении преобразовании Гильберта, при проведении цифровой фильтрации, при определении ковариационных функций и т.д.  

Введение 

6 

Основными методами спектрального анализа являются такие методы, 

как фильтровые, бесфильтровые, основанные на дискретном преобразовании Фурье, параметрические, скользящего и скачущего анализа [15]. 

К основным параметрам анализаторов спектра относятся: число ка
налов анализа; время наблюдения и соответствующее ему число отсчетов; 
полоса анализа, не превышающая для дискретных сигналов основной полосы спектра; разрешение по частоте, обратно-пропорциональное времени 
анализа и соответствующее разности частот двух соседних разрешаемых 
частотных составляющих сигнала. 

Для улучшения спектрального разрешения и подавления боковых ле
пестков в вычисляемом спектре сигнала неоспорима важность использования весовой обработки с применением оконного анализа [6].  

Для извлечения информации о параметрах сигнала при изменении 

спектра во времени эффективным к использованию является вычисление 
спектрограмм сигналов.  

С целью устранения влияния мешающих факторов при распростра
нении сигналов, например при масштабных преобразованиях, вызванных 
эффектом Доплера, для спектральной обработки сигналов используют преобразование Меллина [7, 8]. 

Для обеспечения защищенности передачи цифровых сигналов ис
пользуются разновидности алгоритмов скремблирования и криптографического шифрования [913]. 

В связи с перечисленными прикладными аспектами цифровой обра
ботки сигнлов в данном учебном пособии рассматриваются: в первом разделе –оконный спектральный анализ на основе преобразования Фурье, во 
втором разделе – спектральный анализ в пространстве частот Меллина и в 
третьем разделе – применение спектральной обработки в частотных скремблерах речевых сигналов средств радиосвязи, реализация цифрового 
скремблирования, блочного шифрования и стеганографического канала 
связи для обеспечения защищенной передачи сигналов в радиотехнических 
системах. 

Структура учебного пособия предполагает для закрепления теорети
ческих знаний по разделам цифровой обработки сигналов выполнение 
практических примеров в среде Matlab. Для ознакомления с реализацией 
приведенных примеров требуются основные навыки работы с этим средством проектирования, а также знание основ цифровой схемотехники. 

Введение 

7 

Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов радио
технических специальностей вузов и требует знания основ дисциплин 
«Дискретная 
математика», 
«Прикладная 
информатика», 
«Цифровые 

устройства», а также предназначено для изкучения дисциплин «Основы 
цифровой обработки сигналов» и формирует базу для изучения разделов в 
специальных дисциплинах, таких как «Широкополосные системы радиосвязи», «Методы и технические средства защиты информации». 
 

1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ в MATLAB 

1.1. Периодические сигналы и тригонометрические ряды Фурье 

Многие методы анализа сигналов построены на замене исходного 

сигнала суммой других сигналов, математическая обработка которых более 
проста или представление которых более полно раскрывает какой-либо 
информационный аспект исходного сигнала. Среди многообразия детерминированных сигналов выделяют  периодические сигналы и непериодические сигналы. 

В соответствии с теоремой Фурье, любой сложный сигнал x(t), явля
ющийся T – периодическим  x(t) = x(t+nT), где n – любое целое число,  во 
временной области можно представить суммой синусоидальных и косинусных сигналов с частотами, кратными основной частоте исходного сигнала  ω0 = 2π/T, если он удовлетворяет условиям Дирихле: функция x(t) непрерывна (или имеет конечное число точек разрыва первого рода на периоде); не существует разрывов второго рода; число экстремумов конечно. 

Ряд Фурье можно записать разными способами, одним из которых 

является  Тригонометрическая форма ряда Фурье, представляющая собой 
разложение сигнала по базису синусов и косинусов кратной частоты: 

 

x(t) = a0/2 + ∑
𝑎
∞
𝑛=1
n cos(nω0t) + ∑
𝑏
∞
𝑛=1
n sin(nω0t)  = 

= a0/2 + ∑
𝑎
∞
𝑛=1
n cos((n2𝜋/Т)t) + ∑
𝑏
∞
𝑛=1
n sin((n2𝜋/Т)t), 

 

где  n − целое число; 
 
ω0 = 2π/T − основная частота (циклическая частота первой гармони
ки),  определяемая периодом T исходной  функции сигнала.   

В приведенном выражении слагаемое a0/2 для k = 0 вынесено из под 

знака суммы, а коэфициенты ряда Фурье a0, an, и bn зависят от формы сигнала x(t) и могут быть рассчитаны по формулам с использованием свойства 
ортогональности гармонического базиса: 

 

a0 = 

1

𝑇 ∫ x

𝑇
0
(t)dt, 

 

an = 

2

𝑇 ∫ x

𝑇
0
(t) cos(nω0t)dt = 

2

𝑇 ∫ x

𝑇
0
(t) cos((n2𝜋/Т)t)dt, 

 

bn = 

2

𝑇 ∫ x

𝑇
0
(t) sin(nω0t)dt = 

2

𝑇 ∫ x

𝑇
0
(t) sin((n2𝜋/Т)t)dt, 

1.1. Периодические сигналы и тригонометрические ряды Фурье 

9 

где  а0 – постоянная составляющая;  

x(t) – сигнал во временной области; 
n – номер гармоники колебания; 
T = 2π/ω0 – период. 
Интервал интегрирования по времени равен периоду T, но для ис
ключения неопределенности в радиоэлектронике используют интервал – 
𝑇 

2 < t < 

𝑇

2. Отсюда общепринятые выражения для коэффициентов Фурье: 

 

a0 = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇/2
–𝑇/2 (t)dt, 

 

an = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇/2
–𝑇/2 (t) cos(nω0t)dt = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇/2
–𝑇/2 (t) cos((n2𝜋/Т)t)dt, 

 

bn = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇/2
–𝑇/2 (t) sin(nω0t)dt =  

2

𝑇 ∫
x

𝑇/2
–𝑇/2 (t) sin((n2𝜋/Т)t)dt. 

 

Если функция, раскладываемая в ряд Фурье, обладает свойством чет
ности или нечетности, то в вышеприведенных формулах один из интегралов будет равен нулю. Четные функции раскладываются по косинусам, нечетные функции – по синусам. Таким образом, периодическую функцию 
можно интегрировать по любому отрезку с длиной, равной ее периоду, не 
заботясь о расположении отрезка на числовой оси. 

Если функция, которую раскладывают в ряд Фурье, имеет разрывы 

первого рода, то в точках разрыва ряд сходится к полусумме значений 
функции слева и справа от точки разрыва. Если оставить в сумме конечное 
число слагаемых, т. е. выполнять приближение функции тригонометрическим полиномом, то в окрестности точки разрыва будут наблюдаться осциляции. Этот эффект называется эффектом Гиббса – особенностью поведения частичных сумм SN(t) ряда Фурье в окрестности точки разрыва функции x(t). 

Для прямоугольного импульса длительностью Tи, повторяющегося с 

периодом T: 

x(t) = {1,   0 <  𝑡 < 𝑇и

0, 𝑇и <  𝑡 < 𝑇,. 

 

коэффициенты разложения имеют следующий вид: 

 

a0 = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇и
0
(t)dt =  

2𝑇и

𝑇  ; 

1. Спектральный анализ сигналов в Matlab 

10 

an = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇и
0
(t) cos(nω0t)dt =  

2

𝑇 ∫
1

𝑇и
0
cos((n2𝜋/Т)t)dt = 

1

𝜋𝑛 sin((n2𝜋ТИ/Т); 

 

bn = 

2

𝑇 ∫
x

𝑇и
0
(t) sin(nω0t)dt =  

2

𝑇 ∫
1

𝑇и
0
sin((n2𝜋/Т)t)dt  = 

= 

1

𝜋𝑛 [1  cos((n2𝜋ТИ/Т)]. 

 

Листинг программы, приведенной ниже, позволяет построить четыре 

графика, как показано на рис.1.1: в одной системе координат исходный импульс и два восстановленных: первый – по 3 гармоникам, второй – по 7, а 
на графике справа – импульс, восстановленный по 50-ти гармоникам. 

Листинг программы на языке Matlab для демонстрации 

 эффекта Гиббса 

Clear, clc, close all 
T = 10; % период повторения импульсов 
tau  = 5; % длительность импульса 
N1 = 3; % количество оставленных гармоник 
N2 = 7; % другое количество оставленных гармоник 
N3 = 50; 
t = 0: T/2 %max([N1 N2 N3]):T; %  вектор с моментами времени 
x = t < tau; % прямоугольный импульс длительностью tau 
k = 1:N1; 
k2 = 1:N2; 
k3 = 1:N3; 
% коэффициенты разложения 
a0 = 2*tau/T; 
% для первого случая N1 коэффициентов  
a1 = sin(2*pi*k1*tau/T)/pi./k1;  
b1 = (1-cos(2*pi*k1*tau/T)/pi./k1; 
% для второго случая N2 коэффициентов  
a2 = sin(2*pi*k2*tau/T)/pi./k2;  
b2 = (1-cos(2*pi*k2*tau/T)/pi./k2; 
% для третьего случая N3 коэффициентов  
a3 = sin(2*pi*k3*tau/T)/pi./k3;  
b3 = (1-cos(2*pi*k3*tau/T)/pi./k3; 
% сумма для первого случая