Начертательная геометрия

-¬¡ ©¡¡
«¬ª°¡--¤ª©œ§¸©ª¡
ª¬œ£ªžœ©¤¡
-ÁÌÄÛ
ÊÍÉʾ¼É¼
¾

¿ÊÀÏ
Н.А. САЛЬКОВ
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНИК
Рекомендовано 
Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебника 
для учебных заведений, реализующих программу 
среднего профессионального образования 
по специальности 07.02.01 «Архитектура» 
(протокол № 3 от 09.03.2022)
Москва
ИНФРА-М
2022

УДК 514.18(075.32)
ББК 22.151.3я723
 
С16
Р е ц е н з е н т ы:
Вышнепольский В.И., кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой инженерной графики Московского технологического университета МИРЭА — Российского технологического университета; 
Орлов Е.В., кандидат технических наук, профессор кафедры архитектуры Московского государственного академического художественного института имени В.И. Сурикова
Сальков Н.А.
С16  
Начертательная геометрия : учебник / Н.А. Сальков. — Москва : 
ИНФРА-М, 2022. — 332 с. — (Среднее профессиональное образование). — DOI 10.12737/1874094.
ISBN 978-5-16-017771-7 (print)
ISBN 978-5-16-110673-0 (online)
Учебник содержит полный курс по начертательной геометрии для архитекторов. Он охватывает теоретические вопросы ортогональных проекций, 
аксонометрии, перспективы и теорию теней в этих разделах.
Полностью отвечает требованиям Федерального государственного 
образовательного стандарта среднего профессионального образования, 
утвержденного приказом Минобрнауки России от 28 июля 2014 г. № 850.
Адресован студентам учреждений среднего профессионального образования, обучающимся по специальности 07.02.01 «Архитектура». Может 
быть полезен студентам других направлений обучения, а также преподавателям геометро-графических дисциплин.
УДК 514.18(075.32)
ББК 22.151.3я723
ISBN 978-5-16-017771-7 (print)
ISBN 978-5-16-110673-0 (online)
© Сальков Н.А., 2022

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Все, что нас окружает и отличается от воздуха, имеет свои геометрические формы. Свою форму имеет любой предмет: бутылка, стол, 
компьютер. Нередко приобретается вещь, приглянувшаяся только по 
форме. Человек всегда оценивает окружающее первоначально только 
внешне, т.е. по форме. Недаром в русском языке имеется пословица: 
«Встречают по одежке».  
Есть такое понятие - формообразование, которое тесно связано с 
дизайном. Дизайн - понятие, совершенно недавно по историческим 
меркам введенное в употребление. Сейчас оно в моде: дизайн мебели, 
дизайн квартиры, дизайн автомобиля, архитектурный дизайн, ландшафтный дизайн, промышленный дизайн и т.д. Но дизайн - это в 
первую очередь пропорциональность форм, геометрия и только во 
вторую - целесообразность, функциональность. Дизайн тесно связан с 
понятиями красоты и эстетики, т.е. с геометрией как таковой. Потому 
что красота - это сочетание пропорциональных форм, а пропорциональность - сочетание соразмерных частей целого. 
Геометрия, в том числе начертательная геометрия, учит разбираться и в том, и в другом. 
Начертательная геометрия лежит в основе геометрического конструирования вообще и поверхностей в частности. Она не только 
представляет «Ортогональные проекции», она также разрабатывает 
такие разделы, как «Аксонометрические проекции», «Перспектива», 
«Геометрия многомерного пространства», «Проекции с числовыми 
отметками» и многое другое. Более того, начертательная геометрия 
является базой для компьютерной графики, поскольку те картинки, 
которые оператор получает на экране дисплея, являются ничем иным, 
как визуализированной аксонометрической проекцией электронной 
модели геометрической фигуры. Без начертательной геометрии (изображения геометрической фигуры хотя бы в виде аксонометрической 
проекции) просто невозможно разработать аналитическую модель, 
призвать на помощь уравнения. 
Только потому, что начертательная геометрия является теорией 
изображений, она применяется при визуализации всего на свете. 
Поэтому необходимо знать хотя бы начала начертательной геометрии. Ну а для архитекторов теория изображений является простонапросто хлебом насущным. 
В предложенном учебнике даны самые распространенные в архитектуре поверхности: линейчатые, с плоскостью параллелизма, вращения, циклические. 
Федеральный государственный стандарт среднего профессионального 
образования (СПО) по направлению подготовки 07.02.01 «Архитектура» требует, чтобы выпускник умел применять методы начертательной геометрии в профессиональной деятельности. 
3 

Данный учебник является полным курсом для студентов СɉО по 
направлению «Архитектура». 
Структура курса научно, методически и системно обоснована, 
позволяет алгоритмизировать процесс преподавания, содержит материал, являющийся основой для профессиональной подготовки архитектора: 
- ортогональные проекции; 
- аксонометрические проекции; 
- перспективные проекции; 
- теория теней. 
Изучение начертательной геометрии (индекс ОП.02) способствует развитию общих компетенций (ОК) и таких профессиональных 
компетенций как: 
- ПК 1.1. Разрабатывать проектную документацию объектов различного назначения. 
- ПК 1.3. Осуществлять изображение архитектурного замысла, выполняя архитектурные чертежи и макеты. 
- ПК 2.2. Осуществлять корректировку проектной документации 
по замечаниям смежных и контролирующих организаций и заказчика. 
 
В соответствии с Приказом Министерства образования и науки 
Российской Федерации от 28 июля 2014 г. № 850 выпускник должен: 
знать: 
- законы, методы и приемы проецирования, выполнения перспективных проекций, построения теней на ортогональных, аксонометрических и перспективных проекциях; 
уметь: 
- выполнять с построением теней ортогональные, аксонометрические и перспективные проекции. 
4 

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 
 
I.  Геометрические элементы и величины 
 
1. Точки пространства обозначаются прописными буквами латинского алфавита: 
     A, B, C, D ... или цифрами: 1,  2,  3 ...  
2. Начало системы координат - буква О. 
3. Центр окружности - С. 
4. Линии обозначаются строчными буквами латинского алфавита: 
    a, b, c, d ... 
 h      - только горизонталь; 
 f       - только фронталь; 
 l, t    - только прямая линия; 
 k      - только кривая; 
 c, m - только окружность; 
 i, j    - только оси; 
 n      - нормаль; 
 x, y, z - только оси координат. 
5. Поверхности обозначаются прописными буквами греческого 
алфавита: Г, Ȉ, ȍ, ǻ, ȁ, Ĭ, Ф ... 
П1, П2, П3   - только плоскости проекций. 
6. Проекции точек и линий обозначаются: 
- на пл. П1  - А1, В1,..., a1, b1, ...; 
- на пл. П2  - А2, В2,..., a2, b2, ...; 
- на пл. П3  - А3, В3,..., a3, b3, ...; 
- на пл. П
  - А
, В
,..., a
, b
, ...; 
- на пл. П'  - А', В',..., a', b', ... 
7. Углы обозначаются строчными буквами греческого алфавита:  
Į, ȕ, Ȗ, ...  
8. Несколько горизонталей могут отличаться друг от друга 
надстрочными индексами: 
h1, h2, h3, ... 
Точно так же могут отличаться друг от друга другие геометрические фигуры, например, поверхности: 
Ф1, Ф2, Ф3, ... 
9. Прямая, проходящая через точки А и В: (А, В) или a(A, B). 
 
10. Отрезок, ограниченный точками А и В: [A, B] или a[A, B].  
5 

11. Луч, начинающийся в точке А и проходящий через точку В: 
[A, B). 
 
12. Плоскость, проходящая через три точки А, В, С: Ȉ(А, В, С). 
  Плоскость, проходящая через точку А и прямую а: Ȉ(А, а). 
 Плоскость, проходящая через две параллельные прямые:  
Ȉ(аŒ b). 
 Плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые:  
Ȉ(аŀb). 
 
13. Угол с вершиной в точке С:  ‘АСВ.  
14. Угол между прямыми а и b:        (a, b).  
 
15. Дуга кривой, ограниченная точками А и В:  [A, B].  
16. Двугранный угол между плоскостями Ȉ и Г: (Ȉ, Г).  
17. Знак~...~ (модуль) применяется для обозначения метрических 
величин: 
~А, В~ - длина отрезка [A, B]; 
~A, b~ - расстояние от точки А до прямой b; 
~Г, ǻ~ - величина угла между плоскостями Г и ǻ. 
 
 
II.  Зависимости 
 
1. Параллельность:    Œ. 
2. Перпендикулярность:  A. 
3. Проецирующие геометрические фигуры: ũ. 
4. Принадлежность: . Скобка открывается в сторону большего 
множества. 
5. Знак бесконечности:  ’. 
6. Тождественное совпадение:  {. 
7. Касание:   ‰. 
8. Вращение:    
 или &. 
9.   И:  š. 
10. ИЛИ:   ›. 
11. Результат построения:  Ÿ. 
12. Пересечение одного множества с другим:   ŀ. 
13. Соединение:   ‰. 
 
6 

1.  ОБЩИЕ  ПОЛОЖЕНИЯ 
 
1.1. ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 
 
Начертательная геометрия - это научная дисциплина, разрабатывающая и исследующая методы отображения пространства одного 
измерения на пространство другого измерения (в учебном плане принято отображение трехмерного пространства на плоскость) и решающая на полученных моделях геометрические задачи, связанные с пространственными формами и отношениями. 
Предметом начертательной геометрии (то, что изучает начертательная геометрия как наука) являются пространственные формы и 
отношения, то есть, геометрические фигуры и их расположение. 
Как ветвь геометрии, начертательная геометрия изучает только 
геометрические формы той или иной инженерной конструкции, абстрагируясь от материала, из которого эта конструкция изготавливается. Физические свойства материала не являются предметом исследования начертательной геометрии - этим занимаются другие науки, 
получающие от начертательной геометрии только форму конструкции. Таким образом, начертательная геометрия является более общей 
наукой, впрочем, как и любой другой раздел математики. 
У начертательной геометрии, как и у любой другой науки, имеется 
свой собственный метод исследования. 
Методом начертательной геометрии является проекционный метод, в результате применения которого получается чертеж. 
Что же мы имеем. 
С одной стороны - начертательная геометрия занимается исследованием общих принципов построения чертежей независимо от их 
служебного назначения или технологии изготовления объекта, заданного на чертеже, то есть является теоретической основой построения 
чертежей. С другой стороны - чертеж является пока что единственным способом фиксации и передачи архитектурной мысли. Следовательно, знание начертательной геометрии и умение применять ее метод к решению практических задач - необходимое условие подготовки архитектура. 
Для студента изучение начертательной геометрии сводится к изучению способов геометрического конструирования пространственных 
образов, заданию их на чертежах и приобретению знаний, умений и 
навыков в решении задач, связанных с определением геометрических 
характеристик. 
Знание абстрактных геометрических образов, законов конструирования геометрических фигур, теоретических основ получения чертежа 
необходимы архитектору для решения пространственных объемнопланировочных задач, позволяет исследовать и анализировать продукт деятельности архитектора. 
7 

Вся деятельность архитектора укладывается в две задачи: 
1. Конструирование и задание геометрических фигур на чертеже. 
2. Анализ, исследование геометрических фигур на представленной 
графической модели, решение задач, связанных с определением различных геометрических характеристик. 
Первая задача называется прямой задачей, вторая - обратной задачей начертательной геометрии. 
 
 
1.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ 
 
1.2.1.  Геометрические образы 
 
Геометрические образы различают, прежде всего, по метрическим 
характеристикам. Договоримся, что геометрических образов в трехмерном пространстве всего три: точка, линия, поверхность. А вот геометрических фигур великое множество: это и точка, и бесконечное 
разнообразие различных линий, и огромное количество поверхностей, 
и даже геометрические тела, то есть совокупность точек пространства, 
ограниченное со всех сторон поверхностями.  
Геометрическая фигура - это любое точечное подмножество точечного пространства (точка, линия, поверхность, любое их сочетание 
и количество). 
Рассмотрим подробнее каждый из геометрических образов. 
 
1.2.2. Точка 
 
Точка - нульмерный геометрический образ. Она не имеет никаких 
измерений (длины, высоты, ширины) и не отличается от других точек 
по форме, поскольку никакой формы у нее нет. 
 
1.2.3. Линия. Плоская линия 
 
Линия - одномерный геометрический образ. Она не имеет ширины 
и толщины, у нее есть только одно измерение - длина. Это единственное измерение дало линии возможность приобретать бесчисленное 
множество разнообразных форм. Существуют линии плоские и пространственные. 
Плоская линия - это линия, все точки которой принадлежат одной 
плоскости. 
Самой простой плоской линией является прямая линия. Все 
остальные плоские линии - кривые. 
Линию можно представить как траекторию движущейся точки. Такой способ образования, когда некоторый геометрический образ, перемещаясь в пространстве, создает геометрический образ последующей мерности, называется кинематическим. 
8 

 
Рис. 1.1 
Среди плоских кривых линий особо выделяют кривые второго порядка. К ним относятся: эллипсы (частный случай - окружность), гиперболы и параболы. Эти кривые называются коническими сечениями, так как могут быть получены посредством рассечения конуса 
вращения плоскостью. 
Порядок линии определяется максимально возможным количеством точек пересечения ее плоскостью. Прямая линия может иметь с 
любой из плоскостей только одну точку пересечения, поэтому она является линией первого порядка. А вот окружность можно рассечь 
плоскостью в двух точках, отсюда окружность - линия второго порядка. 
 
 
1.2.4. Пространственная кривая линия 
 
Существуют линии, все точки которых не 
принадлежат одной плоскости. Такие линии 
называются пространственными кривыми линиями. Самые распространенные из пространственных кривых линий - винтовые линии. 
На рис. 1.1 показана винтовая линия, расположенная на поверхности цилиндра вращения. 
Такую линию можно рассматривать как построенную кинематическим способом: она может быть получена в результате перемещения 
точки А по образующей t и одновременного 
вращения образующей t вокруг оси цилиндра 
(или конуса) вращения. 
Винтовые линии имеют широкое применение в технике: линии резьбы, пружины, ребра 
шнека, кромки винтовых пандусов и т.д. 
 
 
1.2.5. Поверхность 
 
Поверхность - двумерный геометрический образ. Она имеет два 
измерения и не имеет третьего - толщины. Как объект исследования 
поверхность может быть задана: 
1) поверхностью какой-либо технической формы; 
2) геометрическим местом точек или линий; 
3) уравнением; 
4) результатом перемещения линии (поверхности) в пространстве - 
кинематический способ формирования; 
5) дискретным каркасом. 
Порядок поверхности может быть определен максимальным количеством точек пересечения ее с прямой линией. 
9 

Самой простой поверхностью является плоскость - поверхность 
первого порядка. 
 
а) 
 
 
б) 
 
 
в) 
Рис. 1.2 
 
На рис.1.2 показаны кинематические способы образования плоскости. 
На рис. 1.2,а образование плоскости происходит посредством перемещения (скольжения) прямой l по двум пересекающимся прямым 
а и b. Траектория движения прямой l образует в пространстве плоскость, поэтому l называется образующей. На рис. 1.2,б образующая  
прямая l перемещается по параллельным прямым а и b. На рис.1.2,в 
образующая l, вращаясь, вокруг точки А, скользит по прямой d. 
Не только плоскость можно образовать кинематически. Так, линию можно представить как траекторию перемещающейся в пространстве точки (плоская линия может быть представлена как траектория точки, перемещающейся в плоскости). Поверхность можно 
представить как след перемещающейся в пространстве линии. 
Перемещающаяся линия (на рис. 1.2 - прямая l) называется образующей. Линии, по которым скользит образующая, называются 
направляющими (на рис.1.2 - это прямые а, b и d, а также точка А). 
Часть плоскости, ограниченная со всех сторон плоскими линиями, 
называется куском или отсеком плоскости. Совокупность отсеков 
плоскостей, последовательно соединенных между собой по прямым 
линиям - ребрам, - называется многогранной поверхностью. 
 
 
 
Рис. 1.3  
 
Рис. 1.4 
10