Численные методы. Достоверное и точное численное решение дифференциальных и алгебраических уравнений в CAE-системах САПР

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ДОСТОВЕРНОЕ И ТОЧНОЕ 
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
И АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 
В CAE-СИСТЕМАХ САПР

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

В.Б. МАНИЧЕВ
В.В. ГЛАЗКОВА
И.А. КУЗЬМИНА

Москва
ИНФРА-М
2022

Рекомендовано Учебно-методическим советом ВО 
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям подготовки 09.03.01 «Информатика 
и вычислительная техника», 09.03.02 «Информационные системы 
и технологии», 09.03.03 «Прикладная информатика», 
09.03.04 «Программная инженерия»

ISBN 978-5-16-010366-2 (print)
ISBN 978-5-16-102333-4 (online)
© Маничев В.Б., Глазкова В.В.,
Кузьмина И.А., 2016

Р е ц е н з е н т ы:
Данчул А.Н., доктор технических наук, профессор Московского городского 
университета управления Правительства Москвы;
Ильин В.Н., доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой 
«Автоматизация проектирования радиоэлектронных средств» Московского 
авиационного института (национального исследовательского университета), 
почетный работник высшего профессионального образования

УДК 512(075.8)
ББК 22.14я73
 
М23

Маничев В.Б.
Численные методы. Достоверное и точное численное решение 
дифференциальных и алгебраических уравнений в CAE-системах 
САПР : учебное пособие / В.Б. Маничев, В.В. Глазкова, И.А. Кузьмина. — 
Москва : ИНФРА-М, 2022. — 152 с. + Доп. материалы [Электронный 
ресурс]. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/13138.

ISBN 978-5-16-010366-2 (print)
ISBN 978-5-16-102333-4 (online)
В учебном пособии рассматриваются классические численные методы 
и алгоритмы для решения систем обыкновенных дифференциальных 
уравнений (ОДУ), нелинейных и линейных алгебраических уравнений 
(НАУ и ЛАУ), а также способы обеспечения достоверности и требуемой 
точности результатов решения. Излагаются идеи, которые до сих пор 
не отражены в учебниках по вычислительной математике, а именно: ре-
шение систем ОДУ без приведения к нормальной форме Коши, разрешен-
ной относительно производных, и отказ от каких-либо численных 
эквивалент ных преобразований исходных уравнений математических 
моделей и исходных данных в связи с тем, что такие преобразования могут 
изменять свойства моделей при вариации коэффициентов в соответству-
ющих уравнениях.
Предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей вузов 
по направлению подготовки «Информатика и вычислительная техника». 
Пособие также будет полезно инженерам и научным работникам по соот-
ветствующим специальностям.
УДК 512(075.8)
ББК 22.14я73

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

М23

Игорю Петровичу НореНкову 
посвящается

Предисловие

Проектирование промышленных изделий, при котором все или 
некоторые проектные решения получают с помощью компьютерных 
средств, называют автоматизированным. Аппаратно-программную 
систему, обеспечивающую автоматизированное проектирование, 
называют системой автоматизированного проектирования (САПР). 
Основной объем информации об изделии продуцируется на этапе 
выполнения проектных работ. Для генерирования этой информации 
используют ряд САПР, которые применительно к машиностроитель-
ной отрасли в зависимости от назначения и решаемых задач подраз-
деляются на четыре подгруппы: CAD-системы (Computer-Aided Design, 
компьютерная поддержка проектирования), САМ-системы (Computer-
Aided Manufacturing, компьютерная поддержка изготовления), САЕ-
системы (Computer-Aided Engineering, компьютерная поддержка инже-
нерных расчетов) и PDM-системы (Product Data Management, управ-
ление данными об изделии). 
Автоматизация конструкторского проектирования промышлен-
ных изделий и объектов с использованием CAD- и САЕ-систем 
включает в себя два аспекта:
1) автоматизация инженерного 3D-конструирования промыш-
ленных изделий и объектов с помощью соответствующих парамет-
рических 3D и 2D CAD-систем;
2) компьютерные инженерные расчеты, математическое модели-
рование, анализ и оптимизация промышленных изделий и объектов 
с помощью CAE-систем.
Проектирование технологических процессов составляет часть 
технологической подготовки производства и выполняется в САМ-
системах. 
Функции координации работы CAD-, CAM- и САЕ-систем, 
управления проектными данными и инженерным документооборо-
том, а также автоматизации совместной работы инженеров-проек-
тировщиков реализуют PDM-системы.
В настоящее время значительно возрастает важность компьютер-
ных инженерных расчетов, численного моделирования, анализа и 
оптимизации промышленных изделий и объектов с помощью CAE-
систем. Математическое моделирование процессов и инженерный 

анализ (Simulation&Analysis — S&A) промышленных систем и объ-
ектов — это основа САЕ-систем. К важнейшей задаче численного 
моделирования динамических систем относится математическое моделирование 
и анализ переходных процессов в технических системах 
(transient analysis) на основе численного решения систем обыкновенных 
дифференциальных уравнений или дифференциально-алгебраических 
уравнений (систем ОДУ-ДАУ). При этом достоверность и 
точность численных решений систем ОДУ-ДАУ являются более важным 
фактором по сравнению с затратами машинного времени и оперативной 
памяти. Например, основной недостаток таких хорошо 
известных программных комплексов для моделирования динамических 
систем, как CAE-системы Simulink и MapleSim (которые представляют 
собой приложения к популярным прикладным пакетам 
математических программ MATLAB и Maple соответственно), заключается 
в получении неверных результатов численного моделирования 
динамических систем при невысоких заданных требованиях к математической 
точности конечных результатов. В свою очередь, невысокие 
требования к математической точности конечных результатов 
при математическом моделировании динамических систем объясняются 
тем, что исходные внутренние параметры динамических систем 
(и, как следствие, соответствующие значения коэффициентов дифференциальных 
уравнений, моделирующих эти динамические системы), 
как правило, сами получены с невысокой математической 
точностью и вдобавок имеют технологический разброс, связанный 
с существованием допусков на эти параметры. 
В настоящем учебном пособии рассматриваются методы, алгоритмы 
и программы, специально разработанные в целях устранения 
указанного недостатка.
В трудах профессора Санкт-Петербургского государственного 
университета (СПбГУ), д.т.н. Ю.П. Петрова показано, что ошибки и 
неточности в компьютерных инженерных вычислениях при математическом 
и компьютерном моделировании сложных и опасных технических 
объектов (в авиакосмической промышленности, ядерной 
энергетике и т.п.) могут являться причиной отказов техники, аварий 
и катастроф. Научное исследование, проведенное профессором Петровым, 
подтвердило тот факт, что традиционные и повсеместно используемые 
методы инженерных компьютерных расчетов не всегда 
и не для всех объектов дают надежные результаты; несоответствие 
результатов расчетов реальному поведению моделируемых объектов 
действительно может стать первопричиной многих аварий и даже 
катастроф. Одной из причин подобных инцидентов и трагических 
происшествий является недостаточно полное исследование проблемы 
зависимости численных решений уравнений от неизбежных на 
практике неточностей при задании их коэффициентов. Для реальных 

объектов эти коэффициенты не могут идеально точно соответствовать 
значениям, заложенным при проектировании и расчете. В любом 
случае отклонения неизбежны, причем значения параметров 
спроектированного изделия в процессе его эксплуатации могут испытывать 
настолько серьезные изменения (вариации), что это обусловит 
существенное изменение расчетного режима работы изделия 
и в итоге может привести к непредвиденным инцидентам и авариям. 
Кроме того, в инженерных расчетах очень широко используются 
эквивалентные (равносильные) преобразования уравнений, которые 
не изменяют их решений, но упрощают процессы исследования 
(примеры таких преобразований: умножение или деление всех членов 
уравнения на число, не равное нулю, замена члена уравнения на 
равный ему, почленное дифференцирование уравнений и т.п.). В ра-
ботах Ю.П. Петрова было показано, что эквивалентные преобразо-
вания, не изменяя самих решений как таковых, могут, однако, изме-
нять некоторые важные свойства решений, в том числе степень их 
зависимости от вариаций коэффициентов и параметров объекта, в 
связи с чем прибегать к эквивалентным преобразованиям необхо-
димо с большой осторожностью.
В гл. 1 настоящего пособия рассматривается место численного 
решения алгебраических и дифференциальных уравнений в CAE-
системах. 
Глава 2 посвящена источникам ошибок в процессе математиче-
ского моделирования. В ней сравниваются диапазоны представления 
чисел и точность вычислений с вещественными (действительными) 
числами с плавающей запятой (точкой), а также вычислений с це-
лыми числами; рассматриваются проблемы компьютерных вычис-
лений, обусловленные использованием стандарта IEEE 754 для пред-
ставления чисел с плавающей запятой.
В гл. 3 рассматриваются численные методы решения систем ОДУ-
ДАУ. Описываются методы и алгоритмы для достоверного и точного 
решения систем ОДУ-ДАУ при невысоких требованиях к математи-
ческой точности конечных результатов, а также программные ком-
плексы для математического моделирования динамических систем.
В гл. 4 приводятся численные методы решения систем НАУ. Ос-
новное внимание уделено методу Ньютона как наиболее подходя-
щему для точного решения систем НАУ.
В гл. 5 обсуждаются численные методы решения систем ЛАУ. Ос-
новное внимание уделено методу Гаусса и методу LU-разложения с 
итерационным уточнением решения и увеличением разрядности 
мантиссы чисел, участвующих в вычислениях, как основным мето-
дам решения систем ЛАУ с необходимой точностью.
Глава 6 посвящена итерационным методам решения систем ЛАУ 
большой и сверхбольшой размерности.

В приложении приводятся описания лабораторных работ по чис-
ленному решению систем ОДУ, НАУ и ЛАУ, исследованию алгорит-
мов сложения векторов, а также моделированию в программном 
комплексе PA10 mini, составленные на основе лабораторных работ, 
которые предлагаются студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана, проходя-
щим обучение по курсу «Основы автоматизированного проектиро-
вания».
Авторы будут признательны читателям за все замечания по содер-
жанию учебного пособия.

введеНие

В настоящее время по основному направлению использования 
систем автоматизированного проектирования разнообразных техни-
ческих объектов и изделий можно выделить две большие группы: 
промышленные и непромышленные САПР.
К промышленным САПР относятся:
1) MCAD (Mechanical CAD) системы. Это полнофункциональ-
ные 3D-параметрические САПР (CAD/CAM/CAE/PDM-системы) 
верхнего уровня (класса High End) и САПР среднего уровня (класса 
Middle Range) для проектирования технических объектов и изделий 
в области машиностроения. Наиболее известными производителями 
соответствующих САПР являются компании: Siemens PLM Software, 
Dassault Systemes, PTC, Autodesk, ТОП СИСТЕМЫ, ADEM, АСКОН; 
2) ECAD (Electronic CAD)/EDA (Electronic Design Automation) 
системы. Это САПР для проектирования изделий в области элект-
роники и электротехники. Наиболее известными производителями 
соответствующих САПР являются компании: Synopsys, Cadence 
Design Systems, Mentor Graphics, National Instruments, Altium;
3) САПР для проектирования в области строительства и архитек-
туры, а также геоинформационные системы (ГИС), с помощью ко-
торых готовятся исходные данные для проектирования строительных 
и архитектурных объектов. Наиболее известными производителями 
соответствующих САПР являются компании: Autodesk, Bentley 
Systems, Nemetschek;
4) САПР для проектирования промышленных предприятий и 
различных объектов инфраструктуры с поддержкой всего их жизнен-
ного цикла (используемые при проектировании, возведении и эксп-
луатации зданий, мостов, транспортных сетей, предприятий водо- 
тепло- и энергоснабжения, очистки воды и т.п.), а также упомянутые 
выше ГИС для подготовки соответствующих исходных данных. Наи-
более известными производителями соответствующих САПР явля-
ются компании: Aveva, Autodesk, Bentley Systems.
К непромышленным САПР относятся:
1) САПР в медицине и биологии, например для проектирования 
протезов, медицинского оборудования, хирургических операций — 
CAS-системы (Computer-Aided Surgery, хирургия с компьютерной 
навигацией), для проектирования в области генной инженерии 
и т.п.;
2) САПР в спорте, например для проектирования спортивного 
инвентаря, спортивных тренажеров и т.п.
CAE-технологии и системы включают в себя математическое 
моделирование, инженерный анализ и оптимизацию проектиру-
емых технических изделий. CAE-технологии становятся все более 

востребованными при создании технических изделий и объектов. 
В настоящее время очевидно, что вне зависимости от применяемых 
подходов к разработке и проектированию изделий математическое 
моделирование процессов и инженерный анализ (Simulation& 
Analysis — S&A) постепенно становятся неотъемлемой частью 
цикла проектирования не только в высокотехнологичных и науко-
емких производствах, но и в отраслях, выпускающих продукцию 
массового спроса. В этой связи сегодняшнему среднестатистичес-
кому инженеру может быть недостаточно встроенных в САПР 
средств инженерного анализа и оптимизации (embedded CAE), а 
разработчики САПР, ранее не уделявшие серьезного внимания 
CAE-технологиям, стремятся значительно расширить функционал 
своих САПР за счет специализированных CAE-систем. 
Непрерывная миниатюризация электроники стимулирует конс-
труктивное объединение механических и электронных компонентов 
в единых узлах и модулях. Развивается мехатроника (Mechatronics: 
Mechanics and Electronics) — новая научно-техническая дисциплина, 
которая изучает построение электромеханических систем нового по-
коления, основанных на применении знаний в области механики, 
электроники, микропроцессорной техники, информатики и компьютерного 
управления движением машин и агрегатов. Примером таких 
систем являются микроэлектромеханические системы, или сокращенно 
МЭМС (Microelectromechanical Systems — MEMS) — микро-
устройства самых разнообразных конструкций и назначения, объединяющие 
в себе микроэлектронные и микромеханические компоненты 
и производимые сходным образом с использованием 
модифицированных групповых технологических методов микроэлектроники. 
МЭМС объединяют два признака: их размер; наличие движущихся 
частей и предназначение для выполнения определенных 
механических действий. 
В связи со сложностью междисциплинарного моделирования 
МЭМС проектирование этих устройств невозможно без использования 
мощных суперкомпьютеров и сложнейших САПР. Разработка 
и развитие электромеханических изделий приводят к необходимости 
интеграции подсистем механического, электротехнического и электронного 
проектирования, а значит — к интеграции соответствующих 
CAE-технологий для математического моделирования и инженерного 
анализа, т.е. интеграции CAE-систем для машиностроения 
(MCAE-систем, Mechanical Computer-Aided Engineering) с EDA-сис-
темами (Electronic Design Automation, автоматизация проектирова-
ния электронных устройств) для проектирования электроники или 
с ECAE-системами (Electrical or Electronic CAE) для проектирования 
электротехнических и электронных устройств. Необходимо отметить 
выдающийся вклад в становление и развитие этого научно-техниче-

ского направления основателя кафедры САПР (РК-6) МГТУ 
им. Н.Э. Баумана профессора, д.т.н. И.П. Норенкова.
CAE-системы в большинстве случаев базируются на численном 
решении различных математических уравнений. 
В сфере математического моделирования, инженерного анализа 
и оптимизации разнообразных технических систем и объектов на 
основе дифференциальных уравнений можно выделить два основных 
направления.
1. Моделирование в пространственно-временной области на ос-
нове дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) 
(Partial Differential Equations — PDE). Примеры используемых про-
граммных комплексов: ANSYS Multiphysics (компания ANSYS), MSC 
Nastran (MSC Software), NX Nastran (Siemens PLM Software), Simulia 
Abaqus (Dassault Systemes), APM FEM (НТЦ АПМ) и др. 
2. Моделирование во временной области на основе как систем 
ОДУ (ordinary Differential Equations — oDE), разрешенных относи-
тельно производных, так и систем ДАУ (Differential Algebraic 
Equations — DAE), не разрешенных относительно производных. 
Примеры используемых программных комплексов: SPICE (Cadance, 
Synopsys, Mentor Graphics), MSC Adams, MSC Easy5 (MSC Software, 
Boeing), MATLAB-Simulink (MathSoft), Maple-MapleSim (Maple), 
Wolfram SystemModeler (Wolfram), MathCAD (PTC), EULER (ЗАО 
«АвтоМеханика»), PRADIS (ООО «Ладуга»), МВТУ и ПА9 (МГТУ 
им. Н.Э. Баумана) и др.
Численное решение дифференциальных уравнений, в свою оче-
редь, сводится к численному решению соответствующих систем НАУ 
и ЛАУ. Большой порядок таких систем и необходимость их много-
кратного решения в процессе проектирования обусловливают 
жесткие требования к эффективности применяемых численных ме-
тодов. Эффективность этих методов решения систем ДУЧП, ОДУ-
ДАУ, НАУ и ЛАУ определяют следующие два аспекта: 
1) достоверность и точность получаемых решений систем уравне-
ний;
2) затраты машинного времени и оперативной памяти на получе-
ние решений.
В связи с фантастическим ростом производительности ЭВМ в 
последнее время на первый план выдвигается проблема получения 
достоверных и точных решений. При этом должна обеспечиваться 
100%-ная гарантия достоверности и требуемой точности выдаваемых 
инженерам-проектировщикам результатов компьютерных расчетов, 
математического и численного моделирования, так как неверные 
проектные решения, принятые в процессе разработки промышленных 
изделий и объектов на основе этих результатов, могут обходиться 
крайне дорого и даже приводить к трагическим последствиям. 

Выше уже говорилось о том, что возможная недостоверность результатов 
вычислений, полученных на основе традиционных методов и 
алгоритмов расчета, а также численных решений, полученных с помощью 
популярных математических пакетов (MATLAB, Maple, 
MathCAD, Mathematica и др.), может стать причиной многих непредвиденных 
инцидентов, аварий и даже катастроф в связи с тем, что 
подобные недостоверные результаты решений не будут соответствовать 
реальному поведению проектируемых технических объектов.
Президент Совета по конкурентоспособности США Дебора Уинс-
Смит (Deborah Wince-Smith) в свое время сделала следующее заявление: «
Технологии, таланты и деньги доступны многим странам. 
Поэтому США стоят перед лицом непредсказуемых зарубежных экономических 
конкурентов. Страна, желающая победить в конкуренции, 
должна победить в вычислениях». Однако, как было указано 
выше, существуют следующие два аспекта вычислений:
1) достоверность и точность («мозги»);
2) производительность («мускулы»).
Вложения в вычисления коммерчески невыгодны, поэтому, как 
правило, на эти цели расходуются исключительно бюджетные средства. 
Например, Соединенные Штаты Америки в период с 2005 по 
2008 г. тратили на поддержку высокопроизводительных вычислений 
от 2 до 6 млрд долл. ежегодно, поэтому по второму аспекту вычислений («
мускулы») США в 2009 г. стали безусловным лидером с суммарной 
производительностью своих суперкомпьютеров в 
16 416 Тфлопс (на втором месте была объединенная Европа — 
7667 Тфлопс, на третьем месте Китай — 2993 Тфлопс). В России этот 
показатель составил 646 Тфлопс, однако в настоящее время в нашей 
стране выделяются немалые средства для исправления ситуации. 
Огромные вложения в целях поддержки и развития высокопроизводительных 
вычислений осуществляют также Япония (например, 
в 2011 г. в этой стране был запущен самый мощный на тот момент 
суперкомпьютер в мире — K-computer с производительностью 
10,51 Пфлопс; 1 Пфлопс = 1000 Тфлопс) и Китай (в 2013 г. был разработан 
новый мощнейший суперкомпьютер — Тяньхэ-2 (Tianhe-2) 
с производительностью 33,86 Пфлопс).
Однако, как указывалось выше, профессор СПбГУ Ю.П. Петров 
в своих научно-исследовательских работах показал, что применительно 
к вычислениям, связанным с проектированием и созданием 
сложных и опасных технических объектов и систем, первый аспект 
(«мозги») гораздо важнее второго («мускулы»). В настоящее время 
по первому аспекту вычислений («мозги») Россия не уступает другим 
странам мира (достаточно привести в пример математическое и программное 
обеспечение для компьютеров и суперкомпьютеров, разработанное 
в ИВМ РАН, ИММ РАН, ИПМ РАН, ИППМ РАН, ВЦ