Основы теории вероятностей

Москва
ИНФРА-М
2022

ОСНОВЫ 
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Г.А. СОКОЛОВ

Рекомендовано УМО по образованию 
в области прикладной информатики, статистики, 
антикризисного управления и математических методов 
в качестве учебника для студентов, 
обучающихся по направлению подготовки бакалавров
38.03.01 «Экономика»

УЧЕБНИК

Второе издание

Соколов Г.А. 
Основы теории вероятностей : учебник / Г.А. Соколов. — 
2-е изд. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 340 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс]. — (Высшее образование: 
Бакалавриат). — DOI 10.12737/6649.

ISBN 978-5-16-006728-5 (print)
ISBN 978-5-16-101335-9 (online)

В учебнике систематически изложены основные разделы теории 
вероятностей: математическая модель случайного явления, случайные 
события и их вероятности, случайные величины и их законы распределения, преобразования случайных величин, числовые характеристики и их свойства, производящие функции моментов, последовательности случайных величин.
Для студентов, аспирантов и научных работников экономических 
и экономико-математических специальностей.

УДК 519.1(075.8)
ББК 22.171я73

УДК  519.1(075.8)
ББК  22.171я73
 
С59

С59

ISBN 978-5-16-006728-5 (print)
ISBN 978-5-16-101335-9 (online)
© Соколов Г.А., 2015

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Р е ц е н з е н т ы:
Н.Г. Назоров, д-р техн. наук, профессор МВТУ им. Н.Э. Баумана;
О.А. Косоруков, д-р техн. наук, профессор Российского экономического 
университета им. Г.В. Плеханова

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

ПРЕДИС ЛОВИЕ

В 2005 г. вышел в свет учебник «Теория вероятностей» [45], написанный преподавателями кафедры высшей математики РЭУ им. Г.В. Плеханова Г.А. Соколовым и Н.А. Чистяковой. Прошло семь лет и по отзывам 
многих бывших студентов, в том числе ставших кандидатами наук, получивших дополнительное образование за рубежом, успешно занимающихся 
теоретической и практической деятельностью, наша книга стала для них 
настольной. О ее популярности можно судить также по настойчивым вопросам студентов: где достать учебник, ибо библиотечных экземпляров 
не хватает, а магазины все распродали несмотря на астрономические 
цены. За прошедшие годы произошли и происходят существенные изменения в задачах и целях подготовки экономистов-математиков в большинстве экономических ВУЗов страны: от подготовки специалистов они 
переходят к подготовке бакалавров. Настоящая книга «Основы теории 
вероятностей» написана по очень своевременной инициативе издательства «ИНФРА-М» на базе учебника «Теория вероятностей» 2005 г. Она 
существенно адаптирована к требованиям бакалавриата, прежде всего, 
она предоставляет студентам более широкие возможности для самостоятельного изучения предмета, использован опыт преподавания последних 
лет, в частности, исключены некоторые разделы и соответствующие им 
примеры и задачи, исправлены замеченные ошибки и опечатки, усовершенствовано изложение ряда вопросов, традиционно трудных для восприятия студентами (аксиматическое построение теории вероятностей, 
преобразование случайных величин, условные математические ожидания, 
последовательности случайных величин), предложены новые доказательства ряда утверждений и найдены более простые вместо старых и т.д. Тем 
не менее учебник по-прежнему остается достаточно серьезным и требует 
хорошего знания, во-первых, курса математического анализа и, во-вторых, трудолюбия и усидчивости. Для лентяев и бездельников этот учебник 
не предназначен.
Автор пользуются возможностью выразить глубокую благодарность 
своему ученику В.Б. Соломоденко, бескорыстную помощь которого  
трудно переоценить, а также постоянному коллеге по «стохастическим 
обсуждениям» Н.А. Чистяковой, которая оказала большую помощь в подготовке электронной версии учебника по теории вероятностей 2005 г., 
сотрудникам кафедры высшей математики, принявшим участие в обсуждении книги; рецензентам книги профессорам О.А. Косорукову (РЭУ  
им. Г.В. Плеханова) и Н.Г. Назарову (МГТУ им. Н.Э. Баумана), взявшим 
на себя нелегкий труд прочтения рукописи учебника и высказавшим ряд 
очень полезных замечаний.

Список принятых сокращений

ВП 
— вероятностное пространство;

ГВП 
— геометрическое вероятностное пространство;

ДВП 
— дискретное вероятностное пространство;

ЗБЧ 
— закон больших чисел;

ЗР 
— закон распределения;

КВП 
— классическое вероятностное пространство;

КК 
— коэффициент корреляции;

КМ 
— ковариационная матрица;

КРМ 
— корреляционная матрица;

КО 
— корреляционное отношение;

МВЗ 
— множество возможных значений;

МО 
— математическое ожидание;

НВП 
— непрерывное вероятностное пространство;

ПРВ 
— плотность распределения вероятностей;

ПФМ 
— производящая функция моментов;

ПЭС 
— пространство элементарных событий;

РВ 
— распределение вероятностей;

СВ 
— случайная величина;

СКО 
— среднее квадратическое отклонение;

СС 
— случайное событие;

СЭ 
— стохастический эксперимент;

ТАН-1 (2) — первая (вторая) теорема об асимптотической  
 
 
нормальности функций от случайных величин;

УД 
— условная дисперсия;

УМО 
— условное математическое ожидание;

ФР 
— функция распределения;

Фрег 
— функция регрессии;

ЦПТ 
— центральная предельная теорема;

ЭС 
— элементраное событие.

Глава 1.  МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 
СЛУЧАЙНОГО ЯВЛЕНИЯ

Теория вероятностей как и всякая математическая дисциплина изучает не сами явления, протекающие в природе и обществе, а их математические модели. Под математической моделью 
(вероятностным пространством — ВП) любого случайного явления 
понимается тройка (W, U, P), 
где  W — пространство элементарных событий — ПЭС;
 
U — алгебра (cигма-алгебра) событий;
 
P — вероятностная мера (вероятность).
Определим эти понятия, следуя аксиоматическому подходу [42], 
предложенному А.Н. Колмогоровым и получившему мировое признание.

§ 1.1. СТОхАСТИЧЕСКИЙ эКСПЕРИМЕНТ.  
эЛЕМЕНТАРНыЕ СОбыТИЯ. 
ПРОСТРАНСТВО эЛЕМЕНТАРНых СОбыТИЙ

Исходными понятиями теории вероятностей являются 
понятия стохастического эксперимента и элементарного события 
(ЭC).
Стохастическими называются эксперименты, результаты которых нельзя предсказать заранее. Рассмотрим три примера стохастических экспериментов:
1) один раз бросают шестигранную игральную кость, на гранях 
которой выбиты цифры от 1 до 6;
2) бросают монету до первого появления герба;
3) задача о встрече. Два лица Л1 и Л2 приходят в интервале времени (0, Т) в условленное место для встречи, причем каждый выбирает момент своего прихода по своему усмотрению
Невозможно предсказать результат любого из этих экспериментов, но не представляет труда описать множество всех возможных 
исходов любого из них. В теории вероятностей эти исходы обычно 
называют элементарными событиями и обозначают через ω. Элементарность таких событий состоит в том, что исследователь рассматривает их как неделимые и взаимно исключающие друг друга исходы стохастического эксперимента. Пространством элементарных событий 
(ПЭС) W называется совокупность всех его элементарных исходов, 
т.е. W = {ω}. Построим W для каждого из описанных экспериментов:
1) W = {ω1, ω2, … ω6}, где ωi — элементарное событие, состоящее 
в выпадении грани с i очками (i = 1, 2, …, 6);

2) W = {ω1, ω2, …, ωi, …}, где ωi = ЦЦ
Ц Г
...

i ‑1
— элементарное 

событие, состоящее в том, что герб (Г) впервые выпадает после выпадения цифры (i 1) раз, i = 1, 2, …;
3) W = {ω = (x, y): 0 < x < T, 0 < y < T}, где ω = (x, y) — элементарное событие, состоящее в том, что лицо Л1 придет на встречу в момент x, а Л2 — в момент y;
Заметим, что в первом эксперименте W конечно, во втором — 
счетно, в третьем — континуально.
Пространство элементарных событий, соответствующих данному эксперименту, строится неоднозначно. Оно зависит от особенностей тех задач, которые исследователь предполагает решать. Так, 
например, если в первом эксперименте исследователя интересует 
только факт выпадения четного или нечетного числа очков, то  
W = {ω1, ω2}, где ω1 = {выпадение четного числа очков}, ω2 = {выпадение нечетного числа очков}.

§ 1.2.  СЛУЧАЙНыЕ СОбыТИЯ. АЛГЕбРА СОбыТИЙ

Любого исследователя, как правило, интересуют не 
столько сами возможные исходы эксперимента, сколько наблюдаемые составные события или просто события. Мы их будем обозначать через A, B, C, …. Приведем примеры событий.
1. В первом эксперименте (см. §1.1) A = {ω2, ω4, ω6} есть событие, состоящее в выпадении четного числа очков. Оно происходит 
всякий раз, когда выпадает грань либо с двумя очками (ω2), либо 
с четырьмя (ω4), либо с шестью (ω6). ЭС ω2, ω4, ω6 называют благоприятствующими событию А.
2. Во втором эксперименте A = {ω2, ω4, …, ω2i, …} есть событие, 
состоящее в выпадении герба при четном бросании монеты. Оно 
происходит всякий раз, когда герб впервые выпадает при втором 
(ω2), четвертом (ω4) и т.д. при 2i-м (ω2i) бросании монеты. Элементарные события ω2i, i = 1, 2, … благоприятствуют A.
3. Предположим в задаче о встрече, что каждое из лиц Л1 и Л2 
ждет другое лицо не более t единиц времени, после чего уходит 
(0 < t < T). Тогда событие, состоящее в том, что встреча произойдет, 
имеет вид A = {ω = (x, y) ∈ W: |x y| ≤ t}, где вновь в фигурных скобках указаны ЭС, благоприятствующие А (смотрите заштрихованную 
область на рис. 1.2.1).
Из рассмотренных примеров следует, что всякое событие можно 
рассматривать как некоторое подмножество ПЭС W (А ∈ W), состоящее из всех тех ω, которые благоприятствуют событию А. Если 
результат эксперимента описывается точкой ω, входящей в А, то 
в данном эксперименте событие А произошло, если же ω ∉ А, то 
событие А в этом эксперименте не произошло.

T − τ

T − τ

τ

τ

T

T
x

y

A

Рис. 1.2.1

Однако не всякое подмножество W в общем случае будем называть 
событием. Это связано с тем, что в теории вероятностей, если мы называем некоторое множество элементарных исходов событием, то 
должны уметь находить его вероятность. Однако, когда ПЭС не является конечным или счетным, существуют так называемые неизмеримые множества, не позволяющие задать вероятность естественным 
непротиворечивым образом. Определение события, учитывающего 
эти тонкости, будет дано позже, хотя надо заметить, что в случае 
конечного или счетного ПЭС можно определить событие как любое подмножество ПЭС.
Для множеств определено отношение порядка (включения), 
и над множествами можно производить определенные операции. Все 
эти операции можно производить и над событиями, а их смысл легко устанавливается путем перевода с языка теории множеств на язык 
событий.
Множество W, рассматриваемое как событие, характеризуется 
тем, что оно обязательно происходит, ибо содержит все ЭС. Множество W называют достоверным событием.
Пустое множество ∅, являющееся по определению подмножеством W, не содержит ни одного ЭС. Если ∅ отождествить с событием, то это событие не может произойти. Его называют невозможным.
Множество А является подмножеством В, если каждый элемент 
из А содержится в В (рис. 1.2.2). На языке событий включение А ⊂ В 
означает, что событие А влечет событие В (если А происходит, то В 
также происходит).
Суммой (объединением) двух множеств А + В (или А ∪ В) называют множество, содержащее все элементы, которые принадлежат по 
крайней мере одному из множеств А и В, и не содержащее никаких 
других элементов (рис. 1.2.3). В переводе на русский язык получим: 
суммой (объединением) двух событий А и В называют событие А + В 
(А ∪ В), происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы 
одно из событий А и В.

A
B

Рис. 1.2.2

A
B

Рис. 1.2.3

Аналогичный смысл имеет сумма любого числа событий.
Отметим очевидные следствия приведенных определений:

А + ∅ = А,     А + W = W,     А + А = А,

А ⊂ А + В,     В ⊂ А + В,     если   А ⊂ С   и  В ⊂ С,   то  А + В ⊂ С.

Произведением (пересечением) двух множеств  А ⋅ B (или А ∩ В) 
называют множество, состоящее из тех и только тех элементов,  
которые принадлежат как А, так и В (рис. 1.2.4). На языке событий 
произведение А ⋅ B  (А ∩ В) происходит тогда и только тогда, когда 
происходит и событие А, и событие В.

A
AB
B

Рис. 1.2.4

Аналогичный смысл имеет произведение любого числа событий.

Отметим очевидные следствия определений:

А ⋅ ∅ = ∅,     А ⋅ W = А,     А ⋅ А = А,

А ⋅ В ⊂ А,   А ⋅ В ⊂ В,   если   C ⊂ А ⋅ В,   то   C ⊂ A   и   C ⊂ B.

Два события А и В называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие, т.е.  А ⋅ В = ∅. В одном эксперименте несовместные события произойти не могут.
Разностью двух множеств А\В называют множество, состоящее 
из элементов, входящих в А, но не входящих в В (рис. 1.2.5). Если 
А и В события, то разность А\В есть событие, происходящее тогда 
и только тогда, когда происходит А, но не происходит В.

B
A\B

Рис. 1.2.5

Очевидно, если  А ⋅ В = ∅,  то  А\В = А  и В\А = В.
Множество A– = W\A называется дополнением к множеству А: 
оно содержит те и только те элементы, которые не содержит А. Если 
А – событие, то A– — событие, происходящее тогда и только тогда, 
когда А не происходит. Событие A– называется противоположным 
событию А (или отрицанием события А).
Очевидно,

А ∪ A– = W,    А ∩ A– = ∅,    А ⋅ (A–
 ⋅ В) = ∅,

W– = ∅,      ∅– = W,      A= = А,     А\В = А ⋅ B–,

А ⊂ B ⇔ B– ⊂ A–,          А = B ⇔ A– ⊂ B–.

Говорят, что множества (события)  А1, …, Аl, Аi ∈ W,   i = 1, …, l, 
образуют разбиение W, или полную группу попарно несовместных собы
тий, если  Аi ⋅ Aj = ∅   ∀i = j   и  
Ai

l

1∪
= Ω.

Подытоживая все сказанное выше, приведем таблицу, содержащую перевод некоторых понятий теории множеств на язык теории 
вероятностей (табл. 1.2.1).

Таблица 1.2.1

Обозначения
Язык теории множеств 
Язык теории вероятностей

ω
Элемент, точка
Элементарное событие, 
исход

W
Множество точек
Пространство элементарных событий;
достоверное событие

∅
Пустое множество
Невозможное событие

A ⊂ W
Подмножество множества W
Событие 

ω ∈ A
 Точка ω принадлежит А
Элементарное событие ω 
благоприятствует А

A ⊂ В
А — подмножество В
А влечет В

А + В
Объединение множеств  
А и В: множество точек, 
входящих в А или в В

Событие, состоящее в том, 
что произошло А или В

А ⋅ В
Пересечение множеств  
А и В: множество точек, 
входящих и в А, и в В

Событие, состоящее в том, 
что произошло и А и В

А\В
Разность множеств А и В: 
множество точек, входящих 
в А, но не входящих в В

Событие, состоящее в том, 
что произошло А, но 
не произошло В

A–
Дополнение множества А: 
множество точек,  
не входящих в А

Противоположное событие 
(отрицание) А — событие, 
состоящее в ненаступле- 
нии А

А1, А2, …, Аl;

Аi ⋅ Aj = ∅;

Ai

l

1∪
= Ω.

Разбиение W
Полная группа событий

Часто оказываются полезными теоретико-множественные законы де Моргана
 
A
B
A B
+
=
⋅ ,  
(1.2.1)

 
A B
A
B
⋅
=
+
 
(1.2.2)
и дистрибутивности
 
(
)
,
A
B
C
A C
B C
+
⋅
=
⋅
+
⋅
 
(1.2.3)

 
A B
C
A
C
B
C
⋅
+
=
+
+
(
)(
),  
(1.2.4)

 
( \ )
\
.
A B
C
A C B C
⋅
=
⋅
⋅
 
(1.2.5)