Эконометрика: теоретические основы

ЭКОНОМЕТРИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ 
ОСНОВЫ

Москва
ИНФРА-М
2022

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано 
Учебно-методическим объединением по образованию
в области статистики и антикризисного управления
в качестве учебного пособия для магистров и аспирантов
высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
38.03.01 «Экономика» и другим экономическим направлениям

Г.А. СОКОЛОВ

УДК 330.43(075.8)
ББК 65в6я73
 
С59

Соколов Г.А.
Эконометрика: теоретические основы : учебное пособие / 
Г.А. Соколов. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 216 с. + Доп. 
материалы [Электронный ресурс]. — (Высшее образование: 
Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-010851-3 (print)
ISBN 978-5-16-102855-1 (online)
Пособие состоит из четырех взаимосвязанных разделов. Первый 
содержит изложение вероятностно-статистического анализа одно-, 
дву- и многомерных нормальных законов распределения вероятно-
стей. Второй посвящен регрессионному анализу и включает изложе-
ние классической регрессионной модели и ее обобщений на случай 
корреляционных измерений, моделей неполного ранга, векторных 
функций регрессии и т.д. В третьем разделе рассматриваются во-
просы, относящиеся к теории случайных процессов, в частности 
к временным рядам. Значительное внимание уделяется вероятност-
ным и статистическим аспектам стационарных функций. Четвертый 
раздел посвящен байесовскому подходу к решению основных задач 
эконометрики. Первые три раздела снабжены примерами и задачами. 
Для студентов, аспирантов, практиков и научных работников эко-
номико-математических и общеэкономических специальностей.

УДК 330.43(075.8)
ББК 65в6я73

Р е ц е н з е н т ы:
д-р техн. наук, проф. А.М. Жандаров;
д-р техн. наук, проф. Н.Г. Назаров

С59

© Соколов Г.А., 2012
ISBN 978-5-16-010851-3 (print)
ISBN 978-5-16-102855-1 (online)

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

Предисловие

Эконометрика как прикладная экономико-математическая дис-

циплина базируется на трех «китах»:

 
• вероятностно-статистический анализ нормальных законов рас-

пределения вероятностей;

 
• регрессионный анализ;

 
• теория случайных процессов.
По этой причине настоящее учебное пособие состоит из трех ос-
новных разделов и одного дополнительного. Данное издание можно 
рассматривать как дальнейшее развитие ряда учебных пособий, на-
писанных с участием автора, в частности «Введение в регрессионный 
анализ и планирование регрессионных экспериментов в экономике», 
«Теория случайных процессов для экономистов».

Каждый раздел сопровождается своим введением, своими приложениями 
и своим задачником. Читатель может изучать разделы независимо 
друг от друга, обращаясь к другим разделам лишь при соответствующих 
ссылках. Стиль изложения достаточно стандартен: 
сначала рассматриваются теоретико-вероятностные вопросы, а затем 
на их основе предлагается статистический анализ. Принцип изложения — 
разумная математическая строгость обоснования получаемых 
результатов без вредного упрощенчества, но и без не менее 
вредного академизма. При этом предполагается, что читатель знаком 
с математическим анализом и линейной алгеброй в объеме стандартных 
курсов для студентов экономико-математического профиля, 
а также с теорией вероятностей и математической статистикой, например, 
по учебникам [20, 22] из списка литературы к разделу 1.

Первый раздел содержит изложение вероятностно-статистического 
анализа одно-, дву- и многомерных нормальных законов распределения 
вероятностей. В основе теоретико-вероятностного анализа 
лежит аппарат производящих функций, который позволил существенно 
упростить изложение многих вопросов, в частности 
многомерных частных и условных законов распределения, многомерных 
и многопараметрических функций регрессии, множественных 
и частных коэффициентов корреляции и др. Статистический 
анализ включает построение оценок всех основных характеристик 
нормальных законов методом максимального правдоподобия 
с последующим построением доверительных интервалов и областей, 
а также критериев проверки параметрических гипотез.

Второй раздел посвящен регрессионному анализу. Основное внимание 
уделяется одно-, дву- и многопараметрическим классическим 
регрессионным моделям как ортогональным, так и неортого-
нальным. Рассматриваются также некоторые виды нелинейных, 
многомерных моделей с коррелированными измерениями, неполного 
ранга и др. В рамках статистического анализа строятся точечные 
и интервальные оценки параметров и параметрических функций, 
критерии проверки гипотез с обоснованием их конечных и асимптотических 
свойств.

Все экономические процессы производства, снабжения, эксплуатации, 
потребления и т.д. протекают во времени и пространстве и 
носят случайный характер, поэтому естественно в качестве их математических 
моделей использовать случайные функции (процессы). 
Их анализ рассматривается в третьем разделе, состоящем из двух 
глав. Первая посвящена определению и свойствам в основном числовых 
характеристик случайных функций, как нестационарных, так 
и стационарных в широком смысле. Вводится в рассмотрение их 
каноническое разложение, которое позволяет найти каноническое 
разложение ковариационной функции, значительно упрощает 
анализ линейных преобразований и сумм случайных функций. 
Спектральное разложение самой функции, ее дисперсии и ковариационной 
функции рассматривается как одна из форм канонического 
разложения. Оценка числовых характеристик осуществляется методом 
максимального правдоподобия с использованием свойства 
эргодичности. Во второй главе отмечается ряд особенностей временных 
рядов как разновидности стационарных случайных 
функций.

По глубокому убеждению автора, эффективный статистический 

анализ временных рядов возможен лишь при наличии достаточно 
полной априорной информации. Универсальным способом фор-
мального задания последней является априорное распределение 
вероятностей неизвестных параметров. По этой причине в состав 
книги включен дополнительный, четвертый раздел с кратким изло-
жением байесовского подхода к решению таких задач экономет-
рики, как точечная и интервальная оценка, построение критериев 
проверки гипотез для параметров самого нормального закона рас-
пределения, а также параметров регрессионной модели и времен-
ного ряда. 

Первые три раздела снабжены сборниками примеров и задач.
Для формул, задач, рисунков и таблиц основного текста принята 

тройная нумерация (i.j.k), где i — номер раздела, j — номер главы 

(введения), k — порядковый номер, а для формул приложения — ну-
мерация вида iПj.k, где i — номер раздела, j — номер приложения, 
k — порядковый номер формулы.

Автор считает своим долгом выразить благодарность глубокоува-

жаемым рецензентам и коллегам по кафедре высшей математики за 
их критические замечания и благожелательное отношение к книге в 
целом, а своим ученикам и родственникам за помощь в оформлении 
книги и подготовке сборников задач. Особой признательности за-
служивают сотрудники издательства, которым удалось рукопись пре-
вратить в учебное пособие.

сПисоК ПриНЯТЫХ соКрАЩеНиЙ

ВКВФ 
— взаимная ковариационная функция

ВКРФ 
— взаимная корреляционная функция

ВР 
— временной ряд

ВСФ 
— взаимно стационарные функции

ЗР 
— закон распределения

ДИ 
— доверительный интервал

ДО 
— доверительная область

КВФ 
— ковариационная функция

КК 
— коэффициент корреляции

КМ 
— ковариационная матрица

КО 
— корреляционное отношение

КОП 
— критерий отношения правдоподобия

КР 
— коэффициент регрессии

КРФ 
— корреляционная функция

КФ 
— квадратичная форма

ЛМИ 
— линейная модель измерений

МО 
— математическое ожидание

МП-оценка — оценка, полученная методом максимального прав-

доподобия

МСП 
— марковский случайный процесс

МФ 
— матричная форма

НК (МНК)-  
оценка 
— оценка, полученная методом наименьших квадратов

ОД 
— обобщенная дисперсия

ПДС 
— полная достаточная статистика

ПР 
— плотность распределения вероятностей

ПФМ 
— производящая функция моментов

РМ 
— регрессионная модель

РМИ 
— регрессионная модель измерений

СБШ 
— стационарный белый шум

СВ 
— случайная величина (вектор)

СКО 
— среднеквадратическое отклонение

СП 
— случайный процесс

ССП 
— стационарный случайный процесс

ССФ 
— стационарная случайная функция

СФ 
— случайная функция

ФРег 
— функция регрессии

ЭО 
— эллиптическая область

ЭСФ 
— элементарная случайная функция

сПисоК ПриНЯТЫХ оБоЗНАЧеНиЙ

∈
ас

N  
— асимптотическая нормальность

ˆa  
— вектор

A, ˆA  
— матрица

A-1 
— обратная матрица

|A| 
— определитель матрицы

bij 
— коэффициент регрессии

B(v, w) 
— бета-распределение с параметрами (v, w) 

cov (cov)

 
— оператор (асимптотической) ковариации

D D
( )
  
— оператор (асимптотической) дисперсии

fx(t | q) 
— производящая функция моментов 

Fx(x | q) 
— функция распределения вероятностей

Ig 
— g-доверительная область (интервал)

Kt(sij) 
— (t × t)-ковариационная матрица

m 
— математическое ожидание

mh(x) 
— условное математическое ожидание (функция 

регрессии) случайной величины h

M M
(
)
  
— оператор (асимптотического) математического 

ожидания

N N N
N k
(
,
,
)
,

н
1
 
— нормальная (центрированная, нормированная, 

k-мерная) случайная величина, нормальный 
закон распределения

ph (y | x = x) 
— условная плотность распределения случайной 

величины h при фиксированном значении слу-
чайной величины x = x

px(x | q) 
— плотность распределения вероятностей слу-

чайной величины x с параметром q

Ql 
— квадратичная форма относительно l пере-

менных

r (r*) 
— коэффициент корреляции (его оценка)

Rt(rij) 
— (t × t)-корреляционная матрица

S2, S12 
— оценки дисперсии, ковариации

Sи

2, S12и 
— исправленные (несмещенные) оценки

tk,g 
— g-квантиль распределения Стьюдента

ˆtg

2  
— g-квантиль Хотеллинга

Т(k) 
— распределение Стьюдента с k степенями сво-

боды

ˆT 2  
— статистика Хотеллинга

ug 
— g-квантиль нормального распределения

U 
— ортогональная матрица

V 
— опорная случайная величина

Vм, Vч, Vр 
— опорные случайные величины множественного 

коэффициента корреляции, частного коэффи-
циента корреляции и коэффициента регрессии

W0a 
— a-критическая область

x 
— значение случайной величины

G(l, c) 
— гамма-распределение с параметрами (l, c)

L 
— диагональная матрица собственных значений

mk 
— k-й центральный момент

pi 
— i-й собственный вектор

r(h | x) 
— корреляционное отношение случайной вели-

чины h относительно случайной величины x

sij 
— ковариация

s2 
— дисперсия

s2

h(x) 
— условная дисперсия (скедастическая функция) 

случайной величины h

F(x) 
— функция Лапласа

c2(k) 
— хи-квадрат распределение Пирсона с k степе-

нями свободы

c2

k,g 
— g-квантиль распределения Пирсона

yk,l,g 
— g-квантиль распределения Фишера — Снеде-

кора

Y(k, l) 
— распределение Фишера — Снедекора с (k, l) 

степенями свободы

ˆЭl  
— эллипс (эллипсоид) рассеивания с парамет-

ром l

раздел 1

НорМАлЬНЫе ЗАКоНЫ  

рАсПределеНиЯ вероЯТНосТеЙ 

введеНие

К числу фундаментальных руководств по эконометрике следует 

отнести работы [1, 16, 23]. Все они предполагают достаточно глу-
бокое знание читателем всех разновидностей нормального закона 
распределения вероятностей и, прежде всего, статистического ана-
лиза многомерного нормального закона. Однако обоснованно изло-
жить статистический анализ без анализа теоретико-вероятностного 
практически невозможно, как невозможно понять результаты стати-
стического анализа, не опираясь на результаты теоретико-вероят-
ностного анализа.

В настоящем разделе последовательно и взаимосвязанно рассмат-

риваются вопросы как теоретико-вероятностного, так и статистиче-
ского анализа одно-, дву- и многомерного невырожденного нормаль-
ного закона распределения в объеме, доступном студенту экономико-
математического профиля, прослушавшему курс теории вероятностей 
и математической статистики, например, по учебникам [20, 22]. 

Данный раздел включает две главы: первая посвящена теоретико-

вероятностному, вторая — статистическому анализу. Каждая из этих 
глав в свою очередь состоит из параграфов, посвященных одно-, дву- 
и многомерному законам, при этом одномерный закон рассмотрен 
весьма конспективно, так как достаточно полное его изложение име-
ется в учебниках и справочниках [20]–[22]. Такая последовательность 
изложения обусловлена по крайней мере тремя соображениями: во-
первых, желанием четко разделить вопросы, относящиеся к вероят-
ностному анализу, от вопросов, относящихся к статистическому ана-
лизу; во-вторых, необходимостью подготовить читателя к восприятию 
более сложного материала по анализу многомерных законов и, 
в-третьих, возможностью использования данного пособия препода-
вателями при построении курсов различной степени сложности.

Для каждой главы приводятся примеры (с их полным решением) 

и задачи (для самостоятельного решения). В приложения для 
удобства читателя вынесен ряд математических вопросов, относя-
щихся к теории производящих функций, линейной алгебре, теории 
вероятностей и математической статистике.

В пособии широко используется аппарат производящих функций 

моментов. Он позволяет совершенно элементарно установить нор-
мальность подвекторов нормального вектора и условия их независи-
мости, нормальность линейных функций от нормальных векторов и 
взвешенных сумм нормальных векторов, определить числовые ха-
рактеристики — и все это не прибегая к многомерному интегриро-
ванию.

Значительное внимание уделяется ортогональному преобразо-

ванию векторов, определению собственных чисел и векторов кова-
риационных матриц, особенно в дву- и трехмерном случаях, по-
строению условных законов распределения нормальных подвек-
торов, а также их условных математических ожиданий и дисперсий, 
множественных и частных коэффициентов корреляции и т.д. 

В основе статистического анализа нормальных векторов лежит 

определение методом максимального правдоподобия оценок таких 
характеристик, как математические ожидания, дисперсии, парные, 
множественные и частные коэффициенты корреляции, ковариации, 
коэффициенты регрессии, обобщенная дисперсия, ковариационная 
матрица, квадратичная форма с априори известной или неизвестной 
ковариационной матрицей, а также обоснование опорных случайных 
величин и их законов распределения с последующим построением 
доверительных интервалов, областей, критериев проверки парамет-
рических гипотез.