Дифракционный анализ деформированных металлов: теория, методика, программное обеспечение

НАУЧНАЯ МЫСЛЬ
СЕРИЯ ОСНОВАНА В 2008 ГОДУ





                Ф.Ф. Сатдарова




            ДИФРАКЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАННЫХ МЕТАЛЛОВ


ТЕОРИЯ, МЕТОДИКА, ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ


Монография

znanium.com

Москва РИОР ИНФРА-М



�ДК 539.26
ББК 22.3:34
С21

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке  
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

        Сатдарова Ф.Ф.
С21        Дифракционный анализ деформированных металлов: Теория, методика, прог        раммное обеспечение : монография / Ф.Ф. Сатдарова. — Москва : РИОР : ИНФРА-М, 2021. — 204 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс]. — (Научная мысль). — DOI: https://doi.org/10.12737/4466
            ISBN 978-5-369-01527-8 (РИОР)
            ISBN 978-5-16-011559-7 (ИНФРА-М, print)
            ISBN 978-5-16-104139-0 (ИНФРА-М, online)

          Дается общий анализ распределения ориентировок кристаллов и плотностей дислокаций в неоднородных поликристаллических системах. Практические примеры содержат впервые полученные сведения о состояниях структуры деформированных металлов. Прояснились сдвиговые фазовые превращения в металлах — макроскопического и микроскопического уровня.
          Быстрому освоению передовых методов дифракционного анализа способствуют самоустанавливающиеся диалоговые программные системы. Программы прошли испытания в учебной и научной работе на кафедре металловедения и физики прочности НИТУ «МИСиС» (Москва).
          Для научных работников, занимающихся проблемами прочности и пластичности, для преподавателей физического металловедения и рентгенографии металлов.



УДК 539.26
ББК 22.3:34

Программный пакет доступен в электронно-библиотечной системе ZNANIUM по адресу http://znanium.com.
Ссылку для доступа вы можете получить при сканировании QR-кода, размещенного на обложке


ISBN 978-5-369-01527-8 (РИОР)
ISBN 978-5-16-011559-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104139-0 (ИНФРА-М, online)


© Сатдарова Ф.Ф.

Публикуется в авторской редакции
Подписано в печать 25.12.2015. Формат 60x90/16. Гарнитура Times. Бумага офсетная Усл. печ. л. 12,75. Уч.-изд. л. 14,67.
Тираж 100 экз. Цена свободная.
ТК 479200 - 926779 - 251215
ООО «Издательский Центр РИОР» 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В.
Тел.: (495) 280-38-67. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: info@riorp.ru http://www.riorpub.com
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1. Тел.: (495) 280-15-96. Факс: (495) 280-36-29.
E-mail: books@infra-m.ru http://www.infra-m.ru



                    Петруненкову Александру Александровичу с большой благодарностью

ПРЕДИСЛОВИЕ
   Разработка оптимальных по точности методов исследования структуры поликристаллических систем начиналась в Московском институте стали и сплавов, а продолжилась (после вынужденного перерыва) как индивидуальная научная деятельность.
   Нетрадиционный анализ дифракционных наблюдений на основе созданных теоретических моделей доставил новое знание о структурах пластической деформации.
   Методики воплощены в наукоемкие программные продукты, являющиеся средством автоматизации исследований деформированных металлов с кристаллами кубической симметрии, составляющих основной класс материалов.
   Рентгеновские измерения опытных образцов выполнены Дмитрием Александровичем Козловым со свойственной ему исключительной добросовестностью.

Ф.Ф. Сатдарова


3



�ВЕДЕНИЕ

   Макроскопические состояния структуры деформированной поли-кристаллической системы определяются степенью упорядоченности ориентировок кристаллов. В каждом макроскопическом состоянии есть некоторое распределение микросостояний характеризуемых параметрами случайной системы дислокаций в неоднородно деформированных кристаллах [51].
   Теоретический анализ кинетики распределения ориентировок кристаллов дал концептуальную модель структурных преобразований поликристаллической системы [55]:
   •  В области некритических деформаций идет эволюция неравновесных флуктуаций ориентировок кристаллов, складывается ближний ориентационный порядок (непрерывное изменение метастабильных состояний).
   •  При критической величине деформаций происходит мгновенный согласованный поворот множества кристаллов, возникает дальний ориентационный порядок, появляется структура с особой симметрией (скачкообразный переход в качественно новое стабильное состояние).
   В момент превращения остро локализуется — в ориентационном пространстве — флуктуация ориентировок кристаллов, в которой быстрее растет скорость пластической деформации, остальные флуктуации «замораживаются». Как доказательства выступают образование полос сдвига с макроскопическим ориентационным порядком и резкое увеличение плотности дислокаций в тесно ориентированных кристаллах [38, 53].
   Самоорганизация сильно неравновесной поликристаллической системы представляется естественным способом образования кристаллографической текстуры. В стремлении к общему устойчивому порядку рождается дислокационная флуктуация, создающая внутри-кристаллический беспорядок. Сложилась целостная картина состояний структуры деформированных металлов.
   Метод достижения цели исследования подчинен единому принципу: высокое качество теоретической модели, наилучший для оценивания модели эксперимент, максимально возможное приближение оценок к физическим параметрам.

4



�АСТЬ I КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ ТЕКСТУРА ДЕФОРМИРОВАННЫХ МЕТАЛЛОВ
   Математическая модель возникновения научного направления предсказывает, что в решение не решаемой проблемы оказывается вовлеченным большое научное сообщество [24]. Подтверждением явилось «восстановление функции распределения ориентировок из полюсных фигур» [89]. Многообразие созданных методов математической обработки традиционных текстурных измерений показывает квалифицированный обзор [42].
   В полюсных фигурах, где ясно выражена симметрия кристаллографической текстуры, плотность вероятностей ориентировок кристаллов (как понимается функция распределения) предстала в «призрачном» виде. Незаметно ее подменяет функция, воспроизводящая наблюдаемые флуктуации ориентировок. Вычислительные методы бессильны извлечь информацию, которой в эксперименте нет.
   Распределению случайных ориентировок в поликристаллическом материале объективно предопределен метод статистического оценивания [44, 50]:
1. Теоретическая формулировка вероятностного распределения в соответствии с физической природой текстуры.
2. Целенаправленный эксперимент, доставляющий информацию о распределении ориентировок кристаллов.
3. Достоверные оценки параметров распределения из экспериментальных данных.
   Текстурная функция, отображающая сущность предмета, имеет истинную теоретическую и практическую полезность для изучения свойств деформированных металлов.

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОРИЕНТИРОВОК КРИСТАЛЛОВ. ТЕКСТУРНАЯ ФУНКЦИЯ
   В теоретической текстурной функции общее математическое представление приведено в соответствие с физическими ограничениями и опытом. Физические ограничения следуют из симметрии объекта. Опыт проявляет самое существенное в объекте.
§ 1.1. Инвариантность текстурной функции к преобразованиям симметрии
   Распределение вероятностей ориентировок кристаллов имеет фурье-представление в пространстве обобщенных сферических функций согласованное с представлением непрерывной группы трехмерных вращений [6].

5



   1.    Пространство представления текстурной функции. Ориентировки кристаллов описываются поворотом базиса кристаллической решетки в системе координат образца (X, Y, Z). Текстурная функция f(g), где g — вектор, определяющий вращения в трехмерном пространстве, считается заданной на группе вращений G. Имеется в виду абстрактная бесконечная группа с непрерывно меняющимися параметрами элементов g, и поэтому группа называется непрерывной.
    Когда матрицы, представляющие вращения, построены в обычном пространстве с базисом из трех единичных векторов (uх, uy, uz), параметрами группы являются проекции оси вращения на оси координат умноженные на угол поворота. При распространении матричного представления группы вращений на пространство функций в качестве параметров выбирают углы Эйлера. В эйлеровых координатах всякое вращение выражается в виде произведения трех простых вращений вокруг осей координатX, Y, Z [25].
    Введены различные обозначения углов Эйлера:

Корн [25] Виленкин [7] Виглин [6] Рой [100]
а         ф = а + п/2  Ф2 = а     у = а    
в         0=в          0= в       0= в     
Y         Ф = у-п/2    Ф1 = 7     Ф = 7    

    Примем обозначения Р. Роя [100], заложившего основы гармонического анализа полюсных фигур. Элементами непрерывной группы вращений будут


      д⁽уАф) = g⁽v,⁰,⁰⁾ g⁽⁰,0,⁰⁾ gi°,⁰,(p)


     (0 < ф < 2п, 0 < 0 < п, 0 < у <2п).


    Группа матриц размера (2/+1)х(2/+1), представляющих вращения с углами Эйлера, составлена из элементов типа Tₘ„(g), где / — максимальное значение индексов m для абстрактных базисных векторов uₘ функционального пространства, n — индексы новых базисных векторов после поворота базиса. Число / может принимать значения (0, ¹/₂, 1,³/₂, 2, ...), но полуцелые представления не периодичны на интервале 2п (двузначны) [83].
    При целых / базисными векторами (2/+1)-мерного представляющего пространства являются ортонормированные сферические функции [25]:


Y/m (0,") =

2 / + 1 (/-| m |)
  4п (/+|m|)

Р/¹ m| (cos 0) e⁻m".

6



  Здесь Plm (cos t) — присоединенные функции Лежандра степени l и порядка m (l = 0, 1,2, ... (m = 0, ±1, ±2, ... ±l) ); t, у — сферические координаты. (Данное обозначение сферических функций принято в теоретической физике, хотя с меняющейся расстановкой индексов.)
   Базисные сферические функции повернутого базиса, имеющие преобразованные координаты, раскладываются по исходным базисным функциям. Коэффициенты разложения есть как раз матричные элементы представления группы вращений:


i

\L

Yi„

              ⁽g⁾ Yim ⁽t,V⁾.


n = — i

   Матричные элементы T^ₙ(g) образуют пространство, в котором они ортогональны как по m, n, так ипо l:


   (2l+1) Tmn (g) Tm'ln' (g) dg = 5ll' 8mm' 8nn'

         G
   (Tₘlₙ (g) — комплексно сопряженный элемент) [83].
   Рассматриваемые как функции непрерывных параметров вращения g(\p,t),(p) матричные элементы T„n(g) есть обобщенные сферические функции¹. Они содержат обобщенные присоединенные функции Лежандра [7]:

   T . (g) = e-ⁱmP ⁿ(cost)e-n'.

   Частными выражениями Plmⁿ (t), где t = cos t, являются

   Plm⁰(t) = \ l-—m- Plm(t),      Pl°ⁿ(t) = \/⁽l —ⁿ⁾! РГ(t).
\ (l + m)!                    у (l + n)!

   Любая функция./]g) на группе G, такая что

         Ifg) 1² dg < +~,

       G
раскладывается в сходящийся в среднем ряд Фурье по функциям T^n(g) [7]:


   ¹ Множество справочных сведений о сферических функциях собрано в

книге Бунге [89].

7



           га l l
    f g's s s Wlmn Tmn(g), l = 0 m= — l n = — l



   Wlmn = (l l+1) , f(g)Tₘl„(g)dg,



G

                     ra           l l
        Ifg) I ² dg     2——~—              । Wlmn । ²     G              l = 0      m = — l n = — l


   Группы симметрии кристаллической решетки и образца, имеющие конечное число элементов, являются подгруппами непрерывной группы вращений. Требование инвариантности текстурной функции f(g) к преобразованиям симметрии накладывает строгие ограничения на ее представление в выбранном базисе из обобщенных сферических функций T^n(g).
   2.    Допустимые гармоники текстурной функции при кубической симметрии кристаллов. По определению Р. Роя [100] углы Д и у — сферические координаты базисного вектора кристаллической решетки в системе координат образца, ф — угол вращения кристалла вокруг собственного базисного вектора. Кристаллографическая ориентировка (hkl)[uvw] описывается углами Эйлера (у,Д,ф):



   cos Д = ₍          — , cos (ф + у) = ,           —
           V h² + k² +1²                \U u² + v² + w²



(h = k=0),

cos ф =

   —h
hl h2 + k2

w hl + 2 + k2 + 12     /7 7
cos у = —              v '             (h,k /0).
           V u 2 + v2 + w   V h 2 + k2


   В группе кубической симметрии, которую относят к точечным группам (все оси и плоскости симметрии содержат неподвижную точку — любой узел решетки), всего 24 элемента. Это четыре поворота вокруг оси (001) на угол п/2 (перестановка индексов h, k и изменение их знака), три поворота вокруг оси (111) на угол 2п/3 (циклическая перестановка индексов (hkl)[uvw]), два поворота вокруг оси (110) на угол п (изменение знака l и w).


8



   Ценную априорную информацию о гармониках./]g) предоставляет разложение представлений непрерывной группы вращений на представления кристаллографической точечной группы [83]. Сведения, полученные методами теории групп при кубической симметрии кристаллов, приведены в табл. 1.1.


Таблица 1.1

Инварианты относительно группы кубической симметрии в представлении вращений трехмерного пространсткг

   Число          Степень            Теоретические сведения о фурье-     
инвариантов     сферических         коэффициентах текстурной функции     
                 гармоник                                                
0           l = 1,2,3,5, 7, 11  Все коэффициенты Wlnm равны нулю.        
1(а)        l = 4,6, 8, 10, 14  Wlnm = 0, если |т| * 2k, |п| /4k(k = 0,  
                                1,2,...);                                
                                Wlwm, где п = ±4, ±8, . (|п| < l), линей                                но связаны с Wi„,0 (|т| = 0,2,4, ..., l).
1(б)        l=9, 13, 15, 17,    W^ = 0, если п = 0 (|т| = 0,2,4,.);      
            19, 23              W^, где п = ±8, ±12, . (|п| < l), ли-    
                                нейно связаны с Wln,4 = Wт 4 (|т| = 0,   
                                2, 4,.).                                 
2(а)        l = 12, 16, 18, 20, Wrn,,где п = ±8, ±12, ... (|п| < l), ли- 
            22, 26              нейно связаны с Wln,0 и Wln,4 = W т 4    
                                (|т| = 0, 2, 4, ... ,l).                 
2(б)        l = 21,25,27, 29,   W^m, где п = ±12, ±16, ... (|п| < l), ли            31, 35              нейно связаны с Wln,4 = Wт 4 и Wlm8 =    
                                = W*lm 8(|т| = 0, 2, 4, ...).            

    Вследствие симметрии кристаллической решетки происходит погасание коэффициентов разложения f(g). Отличны от нуля фурье-коэффициенты Wiₘₙ только четного порядка т и кратного четырем порядка п. При четных тип соотношения между гармониками упрощаются:

    Wlmn Wl тп Wlm п Wl т п ( т т, п     п⁾.

    Связанными становятся фурье-коэффициенты Wₗₙₘ разных порядков п, указанных в табл. 1.1. Уравнения линейных связей между Whm с четной степенью l < 22 (при l = 24 инвариантов уже три) даны в статье Р. Роя[101].
    Все фурье-коэффициенты Wₗₙₘ нечетных степеней l с порядком п = 0 обращаются в нуль. При следующих п они линейно связаны. Например,


9



       W₎ₘ₈ = -0.64168895 W₎ₘ₄



(m = 0,2, ..., 8),

        Wi₃m 8 = 0.29019050 W13 m 4'

        W13m 12 = —0.72981613 W13m 4.


(m = 0,2,..., 12).

   Количественное соотношение независимых сферических гармоник четной и нечетной степени l в фурье-представлении f(g) видно по табл. 1.2.
Таблица 1.2

Число независимых гармоник четной и нечетной степени к фурье-представлении текстурной функции

Тип* Старшая степень гармоник           
     4 6  8  10 12 14 16 18 20  22  24 
(а)  3 8  13 19 33 41 59 79 101 125 164
(б)  0 0  0  5  5  12 20 29 39  61  73 

*(а) — четная степень, (б) — нечетная степень.

    Любой поворот g, смешивая принадлежащие T^ₙ базисные сферические функции Yₗₘ одной и той же степени l — в разложении по исходному базису — смешивает и фурье-коэффициенты Wₗₘₙ с одинаковыми l, n:

            1

     Wlm • n=T Tm‘m’(g)Wlmn. m = — l
    Единственный коэффициент — W₀₀₀ инвариантен относительно всех вращений трехмерного пространства.
    Полная группа ортогональных преобразований в трехмерном пространстве, обозначаемая O₃, кроме вращений включает инверсии, которые изменяют направление осей координат X, Y, Z на обратное. Последующее вращение, например, вокруг оси Z на угол п вернет направление осей X, Y — останется отражение в горизонтальной плоскости. При ромбической симметрии образца есть три плоскости отражения перпендикулярные осям вращения, по которым построена система координат (X, Y, Z).
    Для инвариантности/!g) к отражению в горизонтальной плоскости симметрии образца ряд Фурье должен состоять из симметричных представлений

    / [ TT. (V, Д, ф) + 'ГТ (Ф, п — Д, ф)].


10