Вейвлет-анализ сигналов: от теории к практике

И. А. МАЛАШКЕВИЧ 

 
 
 
 
 

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ СИГНАЛОВ 

 

ОТ ТЕОРИИ К ПРАКТИКЕ 

 
 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

 

Йошкар-Ола 

2016 

УДК 004.9 
ББК  32.81 

М 18 

 

Рецензенты: 

зам. директора по науке Санкт-Петербургского филиала Института земного  

магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В.Пушкова Российской 

академии наук, доктор технических наук, профессор А. Г. Коробейников; 

профессор кафедры ПБКС Санкт-Петербургского университета информационных 

технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор  В. Л. Ткалич; 
профессор кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных 

систем Чувашского государственного университета им. И.Н.Ульянова,  

доктор технических наук, профессор Н. А. Галанина 

 

Печатается по решению 

редакционно-издательского совета ПГТУ 

 
 
 

Малашкевич, И. А. 

М 18     Вейвлет-анализ сигналов: от теории к практике: учебное посо-

бие / И. А. Малашкевич. – Йошкар-Ола: Поволжский государ-
ственный технологический университет, 2016. – 276 с. 
ISBN 978-5-8158-1745-6 
 

В последние десятилетия оформилось новое научное направление, связанное 

с новейшей технологией обработки информации – вейвлет-преобразованиями сиг-
налов. Область применения вейвлетных преобразований – анализ и обработка сиг-
налов и функций, нестационарных во времени или неоднородных в пространстве. 
Вейвлеты широко применяются для сжатия данных, для распознавания образов, 
при обработке и синтезе различных сигналов, например речевых, медицинских, 
для изучения свойств турбулентных полей и во многих других случаях. Они легли 
в основу новых международных стандартов JPEG2000 и MPEG-4. 

Теория и практика вейвлет-преобразования находится на стыке различных 

наук: математики, физики и т.д. В учебном пособии изложение ведется с позиций 
цифровой обработки сигналов. Работа является обобщением научно-технической 
литературы и состоит из восьми глав, приложений, списка литературы и аннотиро-
ванного списка источников в Интернете.  

Для студентов, аспирантов и научных сотрудников, занимающихся обработ-

кой экспериментальных данных. 

 

УДК 004.9 
ББК  32.81 

ISBN 978-5-8158-1745-6 
© Малашкевич И. А., 2016 

 
© Поволжский государственный 

 
технологический университет, 2016 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
 
 

Замечательные свойства вейвлет-преобразования определяют по-

стоянный интерес исследователей к его применению в самых разнооб-
разных областях науки и техники, к поиску новых вейвлетов, наиболее 
соответствующих тому или иному классу задач, а также к разработке 
эффективных вычислительных методов расчета вейвлет-преобра-
зования. 

В данном учебном пособии рассматрен вейвлет-анализ одномер-

ных и двумерных сигналов как функции времени. Это сделано с целью 
упростить понимание методов вейвлет-анализа и достаточно для 
начального ознакомления с принципами вейвлет-преобразования. Тем 
не менее вейвлет-анализ может использоваться и для исследования 
многомерных данных и сигналов, например потокового видео. Нет 
никаких принципиальных ограничений также и для применения 
вейвлет-анализа к обработке любых многомерных данных. 

Целью написания данного учебного пособия является доступное 

для читателя с вузовской математической подготовкой изложение ос-
нов теории вейвлет-преобразования и практического применения 
вейвлет-анализа. Теория и практика вейвлет-преобразования находит-
ся на стыке различных наук: математики, физики и т.д. Автором предпринята 
попытка изложения материала с позиций цифровой обработки 
сигналов. 

Вводная часть учебного пособия посвящена неформальному изложению 
простых инженерных, технических идей, на которых основывается 
вейвлет-преобразование. В первой части представлены методы 
преобразования сигналов и, в частности, вейвлет-преобразования на 
самом простом для понимания уровне – без сложных математических 
формул. Такое представление идей вейвлет-преобразования может быть 
полезным для технических специалистов и студентов, впервые приступающих 
к изучению предмета, а также для прикладных специалистов, 
использующих методы вейвлет-анализа сигналов для решения своих 
специфических прикладных задач. 

В последующих частях эти технические идеи получат математическое 
описание, необходимое для построения эффективных вычислительных 
алгоритмов и их практической реализации. Изложенный мате-

риал полезен для технических специалистов в области вейвлет-анализа 
сигналов, разработчиков прикладных алгоритмов и исследователей, 
предполагающих специализироваться в этой области. 

Каждая часть работы завершается вопросами и упражнениями. Их 

назначение – контроль усвоения изучаемого материала и концентрация 
внимания на основных теоретических положениях вейвлет-анализа сигналов. 
Часть важных и интересных фактов предложена для самостоятельного 
доказательства и исследования. Впрочем, ответы на наиболее 
значимые для теории и практики вейвлет-преобразования вопросы, а 
также решения наиболее сложных упражнений можно найти в конце 
работы. 

В приложениях дан перечень математических свойств преобразования 
Фурье и Z-преобразования, сделана попытка составления справочника 
вейвлет-функций для непрерывного вейвлет-анализа, также 
приведены тексты программных модулей для вычисления непрерывного 
и дискретного вейвлет-преобразований, в том числе и с использованием 
лифтинговой схемы вычисления, а также листинги MathCAD для синтеза 
банков неразделимых двумерных вейвлет-фильтров. 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
 
На протяжении всей жизни человек окружен сигналами, которые 

должны быть подвергнуты анализу. Окружающий нас мир наполнен 
сигналами, и в нем нет абсолютно изолированных систем (излучают 
сигналы даже черные дыры). Мозг человека выполняет анализ таких 
сигналов, как звуки, изображения, тактильные ощущения, нервные импульсы 
от внутренних органов, желез, мускулов и т.д. К сожалению, 
методы анализа, заложенные природой, остаются загадкой. Поэтому для 
анализа сигналов с помощью технических систем человеку приходится 
создавать собственные алгоритмы, возможно, уже реализованные природой. 
На технические системы возлагается анализ сигналов сейсмической 
активности, электромагнитных колебаний, данных медицинских 
исследований, финансовых данных, музыки, изображений, видеоданных 
и т.д. Результаты экспериментальных исследований также могут рассматриваться 
как сигналы, несущие информацию о физических свойствах 
исследуемых объектов природы. Эти данные нуждаются  
в эффективных алгоритмах кодирования, сжатия, очистки от шума, 
быстрого восстановления, исследования состава и поиска характерных 
черт и т.д.  

Разработаны различные методы анализа сигналов: классическое 

преобразование Фурье, различные линейные время-частотные преобразования, 
методы, основанные на моделях сигналов, а также нелинейные 
методы анализа. Особое место в ряду этих методов  занимает вейвлет-
преобразование, которое является сравнительно новым подходом и 
предоставляет целый ряд эффективных алгоритмов для решения пере-
численных задач анализа и преобразования сигналов. 

Некоторые идеи теории вейвлетов появились очень давно. Еще в 

1910 году А. Хаар опубликовал полную ортонормальную систему ба-
зисных функций с локальной областью определения (теперь они назы-
ваются вейвлетами Хаара). Однако термин «вейвлет» появился сравни-
тельно недавно, его ввели А.Гроссман и Ж.Морле в середине 80-х го-
дов. В последние десятилетия наблюдается бурный рост работ, посвя-
щенных вейвлет-преобразованию. Чтобы убедиться в этом, достаточно 
указать слово «вейвлет» в качестве критерия поиска на любом поиско-

вом сайте Интернет и получить тысячи ссылок на электронные страни-
цы,  посвященные вейвлет-преобразованию. 

Идеи, сходные с вейвлет-анализом, появлялись в разных формах в 

различных областях исследований: субполосное кодирование, успешно 
применяемое при кодировании речи, пирамидальные схемы кодирова-
ния изображений, преобразование и функции Габора (вейвлеты Габора). 
С возникновением и развитием обособленной теории вейвлетов про-
изошло взаимное обогащение этих идей, что привело к качественно но-
вым результатам. 

В настоящее время вейвлеты находят широкое применение: в си-

стемах распознавания образов, синтезаторах речи, медицине, метеоро-
логии. С их помощью выполняются анализ состояния и прогнозирова-
ние ситуации на фондовых рынках. Они применяются для архивации 
больших объемов данных, для сжатия мультимедийных данных, в си-
стемах передачи данных, при обучении нейросетей и во многих других 
случаях. 
 
 

1. ОТ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ  
К ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЮ 
 
 
Результаты анализа разнообразных сигналов показывают, что они 

имеют составляющие, связанные с собственными колебаниями (мода-
ми) исследуемых систем. Состав этих колебаний с течением времени 
может изменяться. Эти изменения могут происходить медленно или 
быстро. В первом случае сигнал имеет относительно стабильный состав, 
и его можно считать стационарным; во втором – нестационарным. Дру-
гие классы сигналов обнаруживают признаки самоподобия. Такие сигналы 
можно представить как наложение множества сдвинутых разномасштабных 
копий одной и той же функции. Их называют также фрак-
талами. 

Для исследования стационарных колебательных сигналов применяется 
гармонический анализ, или Фурье-анализ, – инструмент, позволяющий 
разделять различные моды в наблюдаемых процессах и изучать 
каждую из них отдельно. Математической основой гармонического анализа 
является преобразование Фурье (ряды Фурье для конечных во времени 
отрезков сигнала и интегралы Фурье для процессов, не ограниченных 
во времени, дискретное преобразование Фурье для дискретных 
процессов). Все необходимые свойства и формулы выражаются с помощью 
одной базисной функции exp(jωt), зависящей от времени t  и 
частоты . Таким образом, преобразование Фурье разлагает произвольный 
процесс на элементарные гармонические колебания с различными 
частотами.  

Гармонические колебания широко распространены в природе (колебания 
маятников, струн и т.д.). Поэтому смысл преобразования Фурье 
интуитивно понятен без строгих математических доказательств. 

Например, сигнал  

( )
cos(2 *10 )
cos(2 *25 )
(2 *50 )
f t
t
t
t







(2 *100 )t


 

содержит колебания с частотами 10, 25, 50 и 100 Гц. На рис.1.1 пред-
ставлена форма этого сигнала и его спектр Фурье, в котором хорошо 
видны четыре частотных компонента сигнала. 

Разработаны эффективные вычислительные процедуры (БПФ – 

«быстрое» преобразование Фурье) для нахождения Фурье-образа иссле-
дуемых функций. С помощью Фурье-анализа получены впечатляющие 
результаты в различных областях науки и техники. 

Важнейшим свойством спектра Фурье является то, что он отражает 

поведение функции f(t) в целом. Спектр Фурье наглядно демонстриру-
ет лишь глобальные свойства сигналов. Однако из него трудно извлечь 
информацию о локальных особенностях – резких скачках, узких пиках, 
и т.п. Действительно, в результате преобразования Фурье полностью 
теряется временная информация. Когда рассматривается только область 

 

 

 

Рис. 1.1. Форма стационарного сигнала, содержащего 4 частотных компонента,  

и его спектр 

 

частот, невозможно определенно сказать, в какой момент времени воз-
никает и существует тот или иной частотный компонент. Это обстоя-
тельство не является существенным, если сигнал является стационар-
ным, т.е. состав его частотных компонентов не изменяется во времени.  

Однако большинство реальных сигналов являются нестационарны-

ми – их состав меняется с течением времени, в некоторые моменты вре-
мени в сигналах появляются возмущения, меняется характер сигнала, 
возникают и завершаются изменения, отражающие протекание тех или 
иных процессов. Подобную структуру имеют речевые сигналы, видео-
сигналы, а также множество других сигналов технических систем и 
объектов природы. Аналогичную нестационарность легко обнаружить и 
на статических изображениях, например фотографиях, как неравномер-
ное чередование разноцветных контрастных участков. Часто эти осо-

Время, мс

Частота, Гц

бенности сигнала несут основную часть полезной информации, однако 
анализ Фурье неспособен их обнаружить и локализовать. Для подобного 
рода сигналов выводы, сделанные на основе преобразования Фурье, 
могут оказаться ошибочными, либо неполными. Причина этого кроется 
в строении базисных функций exp(jωt). Каждая из них «размазана» по 
всему интервалу времени наблюдения функции, поэтому результаты 
преобразования Фурье зависят от значений функции f(t) на всем ин-
тервале наблюдения.   

 

 

 

 

 

Рис. 1.2. Форма нестационарного сигнала его спектр Фурье 

Время, мс

Частота, Гц

На рис. 1.2 представлен сигнал с теми же частотными компонента-

ми, что и в предыдущем примере, которые, однако, присутствуют в че-
тырех разных интервалах времени. Интервал от 0 до 300 мс содержит 
синусоиду 100 Гц, 300-600 мс – 50 Гц, 600-800 мс – 25 Гц и интервал 
800-1000 мс – 10 Гц. Такой сигнал уже будет нестационарным, так как 
его состав меняется с течением времени. 

Спектр этого сигнала, вычисленный методами преобразования 

Фурье, также представлен на рис. 1.2. Все четыре частотных компонен-
та по-прежнему хорошо различимы, однако нет никакой информации о 
том, что они существуют в различные моменты времени. 

Одной из фундаментальных проблем анализа сигналов является 

определение состава его спектральных компонентов и интервалов вре-
мени, в течение которых эти частоты присутствуют в составе сигнала. 
Наглядным примером такого представления сигнала является нотная 
запись (рис. 1.3). 

 

 

 

Рис. 1.3. Время-частотное представление в музыке 

 
Каждая нота определяет частоту тона и длительность его звучания. 

Классический анализ Фурье дает только частичное решение проблемы 
анализа сигналов, поскольку его результаты не содержат информации о 
распределении частотных компонентов во времени. Поэтому, например, 
музыкальное произведение нельзя записать с помощью спектра Фурье. 

Пытаясь преодолеть недостатки традиционного анализа Фурье, Деннис 
Габор (1946) применил преобразование Фурье для анализа только 
маленькой секции сигнала во времени – эта область времени называется 
окном. Метод Габора, называемый оконным преобразованием Фурье 
(STFT – Short Time Fourier Transform – кратковременное преобразование 
Фурье), преобразует сигнал в двумерную функцию времени и частоты.  

Принцип работы STFT иллюстрирует рис. 1.4: на сигнал накладывается 
окно и для секции сигнала, попавшей внутрь окна, вычисляется 
преобразование Фурье. Результаты откладываются на время-частотной 
плоскости и образуют один вертикальный ряд данных, расположение 
которого по оси времени совпадает с положением окна. Затем окно 
сдвигается и все вычисления повторяются, образуя на время-частотной