Вейвлет-анализ сигналов: от теории к практике

И. А. МАЛАШКЕВИЧ 

 
 
 
 
 

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ СИГНАЛОВ 

 

ОТ ТЕОРИИ К ПРАКТИКЕ 

 
 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

 

Йошкар-Ола 

2016 

УДК 004.9 
ББК  32.81 

М 18 

 

Рецензенты: 

зам. директора по науке Санкт-Петербургского филиала Института земного  

магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В.Пушкова Российской 

академии наук, доктор технических наук, профессор А. Г. Коробейников; 

профессор кафедры ПБКС Санкт-Петербургского университета информационных 

технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор  В. Л. Ткалич; 
профессор кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных 

систем Чувашского государственного университета им. И.Н.Ульянова,  

доктор технических наук, профессор Н. А. Галанина 

 

Печатается по решению 

редакционно-издательского совета ПГТУ 

 
 
 

Малашкевич, И. А. 

М 18     Вейвлет-анализ сигналов: от теории к практике: учебное посо
бие / И. А. Малашкевич. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический университет, 2016. – 276 с. 
ISBN 978-5-8158-1745-6 
 

В последние десятилетия оформилось новое научное направление, связанное 

с новейшей технологией обработки информации – вейвлет-преобразованиями сигналов. Область применения вейвлетных преобразований – анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных во времени или неоднородных в пространстве. 
Вейвлеты широко применяются для сжатия данных, для распознавания образов, 
при обработке и синтезе различных сигналов, например речевых, медицинских, 
для изучения свойств турбулентных полей и во многих других случаях. Они легли 
в основу новых международных стандартов JPEG2000 и MPEG-4. 

Теория и практика вейвлет-преобразования находится на стыке различных 

наук: математики, физики и т.д. В учебном пособии изложение ведется с позиций 
цифровой обработки сигналов. Работа является обобщением научно-технической 
литературы и состоит из восьми глав, приложений, списка литературы и аннотированного списка источников в Интернете.  

Для студентов, аспирантов и научных сотрудников, занимающихся обработ
кой экспериментальных данных. 

 

УДК 004.9 
ББК  32.81 

ISBN 978-5-8158-1745-6 
© Малашкевич И. А., 2016 

 
© Поволжский государственный 

 
технологический университет, 2016 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
 
 

Замечательные свойства вейвлет-преобразования определяют по
стоянный интерес исследователей к его применению в самых разнообразных областях науки и техники, к поиску новых вейвлетов, наиболее 
соответствующих тому или иному классу задач, а также к разработке 
эффективных вычислительных методов расчета вейвлет-преобразования. 

В данном учебном пособии рассматрен вейвлет-анализ одномер
ных и двумерных сигналов как функции времени. Это сделано с целью 
упростить понимание методов вейвлет-анализа и достаточно для 
начального ознакомления с принципами вейвлет-преобразования. Тем 
не менее вейвлет-анализ может использоваться и для исследования 
многомерных данных и сигналов, например потокового видео. Нет 
никаких принципиальных ограничений также и для применения 
вейвлет-анализа к обработке любых многомерных данных. 

Целью написания данного учебного пособия является доступное 

для читателя с вузовской математической подготовкой изложение основ теории вейвлет-преобразования и практического применения 
вейвлет-анализа. Теория и практика вейвлет-преобразования находится на стыке различных наук: математики, физики и т.д. Автором предпринята попытка изложения материала с позиций цифровой обработки 
сигналов. 

Вводная часть учебного пособия посвящена неформальному изло
жению простых инженерных, технических идей, на которых основывается вейвлет-преобразование. В первой части представлены методы 
преобразования сигналов и, в частности, вейвлет-преобразования на 
самом простом для понимания уровне – без сложных математических 
формул. Такое представление идей вейвлет-преобразования может быть 
полезным для технических специалистов и студентов, впервые приступающих к изучению предмета, а также для прикладных специалистов, 
использующих методы вейвлет-анализа сигналов для решения своих 
специфических прикладных задач. 

В последующих частях эти технические идеи получат математиче
ское описание, необходимое для построения эффективных вычислительных алгоритмов и их практической реализации. Изложенный мате

риал полезен для технических специалистов в области вейвлет-анализа 
сигналов, разработчиков прикладных алгоритмов и исследователей, 
предполагающих специализироваться в этой области. 

Каждая часть работы завершается вопросами и упражнениями. Их 

назначение – контроль усвоения изучаемого материала и концентрация 
внимания на основных теоретических положениях вейвлет-анализа сигналов. Часть важных и интересных фактов предложена для самостоятельного доказательства и исследования. Впрочем, ответы на наиболее 
значимые для теории и практики вейвлет-преобразования вопросы, а 
также решения наиболее сложных упражнений можно найти в конце 
работы. 

В приложениях дан перечень математических свойств преобразо
вания Фурье и Z-преобразования, сделана попытка составления справочника вейвлет-функций для непрерывного вейвлет-анализа, также 
приведены тексты программных модулей для вычисления непрерывного 
и дискретного вейвлет-преобразований, в том числе и с использованием 
лифтинговой схемы вычисления, а также листинги MathCAD для синтеза банков неразделимых двумерных вейвлет-фильтров. 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
 
На протяжении всей жизни человек окружен сигналами, которые 

должны быть подвергнуты анализу. Окружающий нас мир наполнен 
сигналами, и в нем нет абсолютно изолированных систем (излучают 
сигналы даже черные дыры). Мозг человека выполняет анализ таких 
сигналов, как звуки, изображения, тактильные ощущения, нервные импульсы от внутренних органов, желез, мускулов и т.д. К сожалению, 
методы анализа, заложенные природой, остаются загадкой. Поэтому для 
анализа сигналов с помощью технических систем человеку приходится 
создавать собственные алгоритмы, возможно, уже реализованные природой. На технические системы возлагается анализ сигналов сейсмической активности, электромагнитных колебаний, данных медицинских 
исследований, финансовых данных, музыки, изображений, видеоданных 
и т.д. Результаты экспериментальных исследований также могут рассматриваться как сигналы, несущие информацию о физических свойствах исследуемых объектов природы. Эти данные нуждаются  
в эффективных алгоритмах кодирования, сжатия, очистки от шума, 
быстрого восстановления, исследования состава и поиска характерных 
черт и т.д.  

Разработаны различные методы анализа сигналов: классическое 

преобразование Фурье, различные линейные время-частотные преобразования, методы, основанные на моделях сигналов, а также нелинейные 
методы анализа. Особое место в ряду этих методов  занимает вейвлетпреобразование, которое является сравнительно новым подходом и 
предоставляет целый ряд эффективных алгоритмов для решения перечисленных задач анализа и преобразования сигналов. 

Некоторые идеи теории вейвлетов появились очень давно. Еще в 

1910 году А. Хаар опубликовал полную ортонормальную систему базисных функций с локальной областью определения (теперь они называются вейвлетами Хаара). Однако термин «вейвлет» появился сравнительно недавно, его ввели А.Гроссман и Ж.Морле в середине 80-х годов. В последние десятилетия наблюдается бурный рост работ, посвященных вейвлет-преобразованию. Чтобы убедиться в этом, достаточно 
указать слово «вейвлет» в качестве критерия поиска на любом поиско

вом сайте Интернет и получить тысячи ссылок на электронные страницы,  посвященные вейвлет-преобразованию. 

Идеи, сходные с вейвлет-анализом, появлялись в разных формах в 

различных областях исследований: субполосное кодирование, успешно 
применяемое при кодировании речи, пирамидальные схемы кодирования изображений, преобразование и функции Габора (вейвлеты Габора). 
С возникновением и развитием обособленной теории вейвлетов произошло взаимное обогащение этих идей, что привело к качественно новым результатам. 

В настоящее время вейвлеты находят широкое применение: в си
стемах распознавания образов, синтезаторах речи, медицине, метеорологии. С их помощью выполняются анализ состояния и прогнозирование ситуации на фондовых рынках. Они применяются для архивации 
больших объемов данных, для сжатия мультимедийных данных, в системах передачи данных, при обучении нейросетей и во многих других 
случаях. 
 
 

1. ОТ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ  
К ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЮ 
 
 
Результаты анализа разнообразных сигналов показывают, что они 

имеют составляющие, связанные с собственными колебаниями (модами) исследуемых систем. Состав этих колебаний с течением времени 
может изменяться. Эти изменения могут происходить медленно или 
быстро. В первом случае сигнал имеет относительно стабильный состав, 
и его можно считать стационарным; во втором – нестационарным. Другие классы сигналов обнаруживают признаки самоподобия. Такие сигналы можно представить как наложение множества сдвинутых разномасштабных копий одной и той же функции. Их называют также фракталами. 

Для исследования стационарных колебательных сигналов применя
ется гармонический анализ, или Фурье-анализ, – инструмент, позволяющий разделять различные моды в наблюдаемых процессах и изучать 
каждую из них отдельно. Математической основой гармонического анализа является преобразование Фурье (ряды Фурье для конечных во времени отрезков сигнала и интегралы Фурье для процессов, не ограниченных во времени, дискретное преобразование Фурье для дискретных 
процессов). Все необходимые свойства и формулы выражаются с помощью одной базисной функции exp(jωt), зависящей от времени t  и 
частоты . Таким образом, преобразование Фурье разлагает произвольный процесс на элементарные гармонические колебания с различными частотами.  

Гармонические колебания широко распространены в природе (ко
лебания маятников, струн и т.д.). Поэтому смысл преобразования Фурье 
интуитивно понятен без строгих математических доказательств. 

Например, сигнал  

( )
cos(2 *10 )
cos(2 *25 )
(2 *50 )
f t
t
t
t







(2 *100 )t


 

содержит колебания с частотами 10, 25, 50 и 100 Гц. На рис.1.1 представлена форма этого сигнала и его спектр Фурье, в котором хорошо 
видны четыре частотных компонента сигнала. 

Разработаны эффективные вычислительные процедуры (БПФ – 

«быстрое» преобразование Фурье) для нахождения Фурье-образа исследуемых функций. С помощью Фурье-анализа получены впечатляющие 
результаты в различных областях науки и техники. 

Важнейшим свойством спектра Фурье является то, что он отражает 

поведение функции f(t) в целом. Спектр Фурье наглядно демонстрирует лишь глобальные свойства сигналов. Однако из него трудно извлечь 
информацию о локальных особенностях – резких скачках, узких пиках, 
и т.п. Действительно, в результате преобразования Фурье полностью 
теряется временная информация. Когда рассматривается только область 

 

 

 

Рис. 1.1. Форма стационарного сигнала, содержащего 4 частотных компонента,  

и его спектр 

 

частот, невозможно определенно сказать, в какой момент времени возникает и существует тот или иной частотный компонент. Это обстоятельство не является существенным, если сигнал является стационарным, т.е. состав его частотных компонентов не изменяется во времени.  

Однако большинство реальных сигналов являются нестационарны
ми – их состав меняется с течением времени, в некоторые моменты времени в сигналах появляются возмущения, меняется характер сигнала, 
возникают и завершаются изменения, отражающие протекание тех или 
иных процессов. Подобную структуру имеют речевые сигналы, видеосигналы, а также множество других сигналов технических систем и 
объектов природы. Аналогичную нестационарность легко обнаружить и 
на статических изображениях, например фотографиях, как неравномерное чередование разноцветных контрастных участков. Часто эти осо
Время, мс

Частота, Гц

бенности сигнала несут основную часть полезной информации, однако 
анализ Фурье неспособен их обнаружить и локализовать. Для подобного 
рода сигналов выводы, сделанные на основе преобразования Фурье, 
могут оказаться ошибочными, либо неполными. Причина этого кроется 
в строении базисных функций exp(jωt). Каждая из них «размазана» по 
всему интервалу времени наблюдения функции, поэтому результаты 
преобразования Фурье зависят от значений функции f(t) на всем интервале наблюдения.   

 

 

 

 

 

Рис. 1.2. Форма нестационарного сигнала его спектр Фурье 

Время, мс

Частота, Гц

На рис. 1.2 представлен сигнал с теми же частотными компонента
ми, что и в предыдущем примере, которые, однако, присутствуют в четырех разных интервалах времени. Интервал от 0 до 300 мс содержит 
синусоиду 100 Гц, 300-600 мс – 50 Гц, 600-800 мс – 25 Гц и интервал 
800-1000 мс – 10 Гц. Такой сигнал уже будет нестационарным, так как 
его состав меняется с течением времени. 

Спектр этого сигнала, вычисленный методами преобразования 

Фурье, также представлен на рис. 1.2. Все четыре частотных компонента по-прежнему хорошо различимы, однако нет никакой информации о 
том, что они существуют в различные моменты времени. 

Одной из фундаментальных проблем анализа сигналов является 

определение состава его спектральных компонентов и интервалов времени, в течение которых эти частоты присутствуют в составе сигнала. 
Наглядным примером такого представления сигнала является нотная 
запись (рис. 1.3). 

 

 

 

Рис. 1.3. Время-частотное представление в музыке 

 
Каждая нота определяет частоту тона и длительность его звучания. 

Классический анализ Фурье дает только частичное решение проблемы 
анализа сигналов, поскольку его результаты не содержат информации о 
распределении частотных компонентов во времени. Поэтому, например, 
музыкальное произведение нельзя записать с помощью спектра Фурье. 

Пытаясь преодолеть недостатки традиционного анализа Фурье, Ден
нис Габор (1946) применил преобразование Фурье для анализа только 
маленькой секции сигнала во времени – эта область времени называется 
окном. Метод Габора, называемый оконным преобразованием Фурье 
(STFT – Short Time Fourier Transform – кратковременное преобразование 
Фурье), преобразует сигнал в двумерную функцию времени и частоты.  

Принцип работы STFT иллюстрирует рис. 1.4: на сигнал наклады
вается окно и для секции сигнала, попавшей внутрь окна, вычисляется 
преобразование Фурье. Результаты откладываются на время-частотной 
плоскости и образуют один вертикальный ряд данных, расположение 
которого по оси времени совпадает с положением окна. Затем окно 
сдвигается и все вычисления повторяются, образуя на время-частотной