Начертательная геометрия: базовый курс

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ

БАЗОВЫЙ КУРС

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва
ИНФРА-М
2022

Н.А. САЛЬКОВ

Допущено 
УМО по образованию в области архитектуры
в качестве учебного пособия для студентов вузов, 
обучающихся по направлению 07.03.01 «Архитектура» 

Сальков Н.А.
Начертательная геометрия: базовый курс : учебное пособие / 
Н.А. Сальков. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 184 с. — (Высшее 
образование: Бакалавриат).
ISBN 978-5-16-005774-3 (print)
ISBN 978-5-16-110144-5 (online)

Настоящее учебное пособие написано для студентов 1-го курса специальности «Архитектор». Пособие полностью отвечает требованиям ФГОС 
3-го поколения, утвержденного Минобрнауки Российской Федерации. Пособие является базовым курсом по начертательной геометрии.
Может быть полезно для студентов других направлений обучения, а также 
преподавателям геометро-графических дисциплин.

 УДК 514(075.8)
ББК 22.151я73

С16

ISBN 978-5-16-005774-3 (print)
ISBN 978-5-16-110144-5 (online)
© Сальков Н.А., 2013

Р е ц е н з е н т ы:
Трушин С.И., д-р техн. наук, профессор МГСУ;
Ржевский В.Н., заслуженный архитектор России;
Вышнепольский В.И., канд. пед. наук, доц., заведующий кафедрой инженерной 
графики МГУТХТ

УДК 514(075.8)
ББК 
22.151я73
 
С16

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 

Со времени появления учебного курса начертательной геометрии в 

России в 1810 году его структура, в общем, не претерпела особенных 
изменений. В основу каждого раздела был положен тот или иной геометрический образ: точка, прямая, плоскость и т.д. Изданные по настоящее время учебники в той или иной мере повторяют предложенную в начале XIX века структуру курса. 

В большинстве учебников даже не упоминаются или упоминаются 

вскользь такие основные понятия, как метрические и позиционные 
задачи, которые, в принципе, и составляют содержание курса. 

Предлагаемая в данной работе структура курса начертательной 

геометрии – научно, методически и системно обоснована, позволяет 
алгоритмизировать процесс преподавания и решения задач. 

Курс читался в Московской академии коммунального хозяйства и 

строительства в течение 20 лет для студентов-строителей, шесть лет 
читается в Московском государственном академическом художественном институте им. В.И. Сурикова для архитекторов. 

Еще одна отличительная особенность курса – это раздел, раскры
вающий начертательную геометрию как основу для геометрии аналитической. 

Настоящее издание содержит материал, в котором рассматривают
ся: 

– прямая задача начертательной геометрии: конструирование, по
лучение и построение чертежей пространственных геометрических 
образов, являющихся геометрическими моделями реальных инженерных прообразов; 

– обратная задача: решение на полученных графических моделях 

различных геометрических задач, связанных с отношениями пространственных геометрических фигур. 

Курс назван базовым, так как только на его основе можно рассмат
ривать впоследствии истинно строительную часть курса: тени в ортогональных проекциях, аксонометрические проекции и построение 
теней в аксонометрических проекциях, перспективу и тени в перспективе, проекции с числовыми отметками. 

Часто задают вопрос: «Зачем нужна начертательная геометрия?» 
По многим причинам, основные из которых следующие: 
1. Только начертательная геометрия разъясняет, как получаются 

тот или иной вид чертежей, с которыми предстоит работать абсолютно всем специалистам технического профиля. 

2. Только начертательная геометрия показывает, как на чертеже 

задавать те или иные геометрические фигуры. 

3. Только начертательная геометрия объясняет, как на чертеже ре
шать те или иные геометрические задачи. 

1.  ОБЩИЕ  ПОЛОЖЕНИЯ 

 

1.1. ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 

 

Начертательная геометрия – это научная дисциплина, разраба
тывающая и исследующая методы отображения пространства одного 
измерения на пространство другого измерения (в учебном плане принято отображение трехмерного пространства на двумерный носитель, 
например, на плоскость) и решающая на полученных моделях геометрические задачи, связанные с пространственными формами и отношениями. 

В данном учебном пособии рассмотрим отображение трехмерного 

пространства на плоскость. 

Из определения начертательной геометрии следует: 
1. Предметом начертательной геометрии (то, что изучает начер
тательная геометрия как наука) являются пространственные формы и 
отношения, взятые в «чистом виде». 

Как ветвь геометрии, начертательная геометрия изучает только 

геометрические формы той или иной инженерной конструкции, абстрагируясь от материала, из которого эта конструкция изготавливается. 
Физические свойства материала не являются предметом исследования 
начертательной геометрии – этим занимаются другие науки, получающие от начертательной геометрии только форму конструкции. 
Таким образом, начертательная геометрия является более общей наукой, впрочем, как и любой другой раздел математики. 

У начертательной геометрии, как и у любой другой науки, имеется 

свой собственный метод исследования. 

2. Методом начертательной геометрии является проекционный 

метод, то есть, чертеж, представленный на уровне графической модели тех или иных пространственных форм и отношений. 

Носителем чертежа в подавляющем большинстве случаев является 

плоскость. 

Что же мы имеем. 
С одной стороны – начертательная геометрия занимается исследо
ванием общих принципов построения чертежей независимо от их 
служебного назначения или технологии изготовления объекта, заданного на чертеже, то есть является теоретической основой построения 
чертежей. С другой стороны – чертеж является пока что единственным способом фиксации и передачи инженерной мысли. Следовательно, знание начертательной геометрии и умение применять ее метод к решению практических задач – необходимое условие подготовки бакалавра, специалиста и магистра в области не только архитектуры, но и всех технических профессий. 

Для студента изучение начертательной геометрии сводится к изу
чению способов геометрического конструирования пространственных 

образов, заданию их на чертежах и приобретению знаний, умений и 
навыков в решении задач, связанных с определением геометрических 
характеристик. 

Знание абстрактных геометрических образов, законов конструиро
вания геометрических фигур, теоретических основ получения чертежа 
необходимы архитектору для решения пространственных объемнопланировочных задач, позволяет исследовать и анализировать продукт деятельности архитектора. 

Вся деятельность архитектора укладывается в две задачи: 
1. Конструирование и задание геометрических фигур на чертеже. 
2. Анализ, исследование геометрических фигур на представленной 

графической модели пространства, решение задач, связанных с определением различных геометрических характеристик. 

Первая задача называется прямой задачей, вторая – обратной за
дачей начертательной геометрии. 
 
 

1.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ 

 

1.2.1.  Геометрические образы 

 

Геометрические образы различают, прежде всего, по метриче
ским характеристикам. Договоримся, что геометрических образов в 
трехмерном пространстве всего три: точка, линия, поверхность (в 
конце ХХ века добавилось еще и геометрическое тело, но мы будем 
изучать только три геометрических образа). А вот геометрических 
фигур, напротив, – великое множество: это и точка, и бесконечное 
разнообразие различных линий, и огромное количество поверхностей, 
и даже геометрические тела.  

Геометрическая фигура – это любое точечное подмножество то
чечного пространства (точка, линия, поверхность, любое их сочетание 
и количество). 

Под геометрическим телом будем понимать множество точек 

части пространства, ограниченного со всех сторон поверхностями, – 
этакое замкнутое в некоем «мешке» сообщество точек. 

Рассмотрим подробнее каждый из геометрических образов. 

 

1.2.2. Точка 

 

Точка – нульмерный геометрический образ. Она не имеет никаких 

измерений (длины, высоты, ширины и т.д.) и не отличается от других 
точек по форме, поскольку никакой формы у нее нет. 

 

1.2.3. Линия. Плоская линия 

 

Линия – одномерный геометрический образ. Она не имеет ширины 

и толщины, у нее есть только одно измерение – длина. Это единственное измерение дало линии возможность приобретать бесчисленное 
множество разнообразных форм. Существуют линии пространственные и плоские. 

Плоская линия – это линия, все точки которой принадлежат одной 

плоскости. 

Самой простой плоской линией является прямая линия (линия пер
вого порядка). Все остальные плоские линии – кривые. 

Линию можно представить как траекторию движущейся точки. Та
кой способ образования, когда некоторый геометрический образ, перемещаясь в пространстве, создает геометрический образ последующей мерности, называется кинематическим. 

Среди плоских кривых линий особо выделяют кривые второго по
рядка. К ним относятся: эллипсы (частный случай – окружность), гиперболы и параболы. Эти кривые называются коническими сечениями 
(в некоторых источниках – кониками), так как могут быть получены 
посредством рассечения конуса второго порядка (например, конуса 
вращения) плоскостью. 

Порядок линии определяется максимально возможным количест
вом точек пересечения ее плоскостью. Прямая линия может иметь с 
любой из плоскостей только одну точку пересечения, поэтому она 
является линией первого порядка. А вот окружность можно рассечь 
плоскостью в двух точках, отсюда окружность – линия второго порядка. 

Более детальное знакомство с кривыми второго порядка предстоит 

в других разделах. 

Рассмотрение кривых 3-го и более высоких порядков не представ
ляется возможным в учебном курсе начертательной геометрии из-за 
их огромного количества. 

 

1.2.4. Особые прямые и особые точки плоских кривых 

 

Особыми прямыми являются касательная и 

нормаль. 

Рассмотрим рис.1.1. Касательная прямая t 

может быть получена следующим образом. 

Прямая линия (А,В), лежит в одной плоско
сти с плоской кривой k и пересекается с ней в 
точках А и В. Такая прямая называется секущей. 

Будем перемещать секущую (А,В) так, что
бы точки А и В стремились к точке Т. Когда 
длина дуги кривой k между точками А и В будет равна нулю, точки А и В сольются с точкой 
Т, а секущая займет положение прямой t. Пря
 

Рис. 1.1 

мая t в данном случае называется касательной прямой к линии k в 
точке Т. 

Перпендикуляр n (см. рис.1.1) к прямой t, проведенный через точ
ку Т, называется нормалью кривой k. 

На плоских кривых могут быть особые точки (рис.1.2). 

 

 

Рис.1.2 

 

1. Точка перегиба (рис.1.2,а, точка А). Если возьмем некоторую 

перемещающуюся по кривой k точку М и поведем через эту точку 
касательную к кривой, то при перемещении точки М по направлению 
стрелки  касательная плавно вращается (в данном случае против часовой стрелки). В точке А вращение касательной изменяется на противоположное, точка М продолжает перемещаться в прежнем направлении. 

2. Точка возврата первого рода (острие) (рис.1.2,б, точка В). В 

этой точке перемещающаяся точка М меняет свое направление на 
противоположное, а касательная t не изменяет направления вращения, 
продолжая вращаться в прежнем направлении. 

3. Точка возврата второго рода (клюв) (рис.1.2,в, точка С). В 

этой точке как перемещающаяся точка М, так и касательная меняют 
направления своего движения. 

4. Точка повторения (рис.1.2,г, точка D) – точка, в которой кривая 

несколько раз касается одной прямой. 

5. Узловая точка (рис.1.2,д, точка Е). В этой точке кривая сама 

себя пересекает. В приведенном примере показана двойная точка. 
Может быть тройная, четырехкратная и т.д. точка, в которой кривая 
сама себя пересекает три, четыре и т.д.  количество раз. В узловой 

точке пересекаются соответственно 2, 3, 4 и т.д. касательных или 
нормалей. 

6. Точка излома (рис.1.2,е, точка F). В такой точке  точка М, пе
ремещаясь, меняет направление движения. Между направлением 
движения до точки F и направлением движения после точки F имеется некоторый угол . То же происходит  и с касательной t: слева от 
точки F касательная имеет положение t1, а сразу после точки F положение t2. Таким образом, плавность вращения касательной t прерывается, а разрыв составляет тот же угол .  

 
 

1.2.5. Пространственная кривая линия 

 

Существуют линии, все точки которых не могут принадлежать од
ной плоскости. Такие линии называются пространственными кривы
ми линиями. Самые распространенные из пространственных кривых линий – винтовые линии. 

На рис.1.3 представлена винтовая линия, рас
положенная на поверхности цилиндра вращения. 
Такую линию можно рассматривать как построенную кинематическим способом: она может 
быть получена в результате перемещения точки А 
по образующей t и одновременного вращения 
образующей t вокруг оси цилиндра (или конуса) 
вращения. 

Винтовые линии имеют широкое применение 

в технике: линии резьбы, пружины, ребра шнека, 
кромки винтовых пандусов и т.д. 

 
 

1.2.6. Поверхность 

 

Поверхность – двумерный геометрический образ. Она имеет два 

измерения и не имеет третьего – толщины. Как объект исследования 
поверхность может быть задана: 

1) поверхностью какой-либо технической формы; 
2) геометрическим местом точек или линий; 
3) уравнением; 
4) результатом перемещения линии (поверхности) в пространстве – 

кинематический способ формирования; 

5) дискретным каркасом. 
Порядок поверхности может быть определен максимальным коли
чеством точек пересечения ее с прямой линией. 

Самой простой поверхностью является плоскость – поверхность 

первого порядка. 

 

 

Рис. 1.3 

а) 
 
 
б) 
 
 
в) 

 

Рис. 1.4 

 

На рис.1.4 показан кинематический способ образования плоскости. 
На рис.1.4,а образование плоскости происходит посредством пе
ремещения (скольжения) прямой l по двум пересекающимся прямым 
а и b. Траектория движения прямой l образует в пространстве плоскость, поэтому l называется образующей. На рис.1.4,б образующая  
прямая l перемещается по параллельным прямым а и b. На рис.1.4,в 
образующая l, вращаясь, вокруг точки А, скользит по прямой d. 

Не только плоскость можно образовать кинематически. Так, ли
нию можно представить как траекторию перемещающейся в пространстве точки (плоская линия может быть представлена как траектория точки, перемещающейся в плоскости). Поверхность можно 
представить как траекторию перемещающейся в пространстве линии. 

Перемещающаяся линия (на рис.1.4 – прямая l) называется обра
зующей поверхности. Линии, по которым скользит образующая, называются направляющими (на рис.1.4 – это прямые а, b и d, а также 
точка А). 

Часть плоскости, ограниченная со всех сторон плоскими линиями, 

называется куском или отсеком плоскости. Совокупность отсеков 
плоскостей, последовательно соединенных между собой по прямым 
линиям – ребрам, – называется гранной поверхностью. 

 

 

 

Рис. 1.5 
 
Рис. 1.6 

 

Если ребра a, b, d (рис.1.5) гранной поверхности пересекаются, она 

называется пирамидальной. Линии q1 и q2 – линии обреза поверх

ности.  

Если ребра a, b, d параллельны между собой (рис.1.6), то гранная 

поверхность называется призматической. 

Если поверхность не является плоскостью или гранной поверхно
стью, то она является кривой поверхностью. 

Криволинейная (кривая) поверхность также может быть образова
на кинематически. При этом в качестве образующих и направляющих 
могут фигурировать как прямые, так и кривые линии. 

Образующая линия в процессе перемещения может менять свои 

размеры и форму. 

Непрерывное множество образующих иногда называют непре
рывным каркасом поверхности. Все разнообразие поверхностей 
определяется разнообразием форм образующей и направляющих (или 
законов перемещения образующей).  

При исследовании поверхности обычно выделяют: 
1. Линейчатые поверхности – поверхности, которые могут быть 

образованы перемещением в пространстве прямой линии. 

2. Поверхности вращения – поверхности, которые могут быть об
разованы вращением некоторой линии вокруг некоторой прямой – оси 
поверхности. 

3. Циклические поверхности – поверхности, которые могут быть 

образованы перемещением в пространстве окружности. 

4. Винтовые поверхности – поверхности, у которых хотя бы одна 

из точек образующих совершает винтовое движение. 

Все эти поверхности мы и будем рассматривать далее. 
 

1.2.7. Классификация поверхностей 

 

Рассмотрим наиболее важные признаки классификации поверхно
стей. Поверхности могут быть классифицированы по следующим 
признакам: 

1. По способу задания: кинематические, каркасные, заданные 

уравнением, заданные геометрическим местом точек, линий или как 
огибающие множество поверхностей, заданные моделью и т.д. 

2. По закону движения образующей: поверхности с поступатель
ным движением образующей, с вращательным движением образующей (поверхности вращения), с винтовым движением образующей 
(винтовые поверхности). 

3. По форме образующей: поверхности с прямолинейной обра
зующей (линейчатые поверхности) и поверхности с криволинейной 
образующей. 

4. По закону изменения формы образующей: с образующей посто
янной формы и с образующей переменной формы. 

5. По признаку развертывания поверхности на плоскость: развер
тывающиеся поверхности и неразвертывающиеся.