Специальные главы математики

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации

Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ 
МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом 
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся 
по направлениям бакалавриата
и специалитета ИРИТ-РтФ

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2022

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
          С71
Авторы:
В. И. Белоусова, Г. М. Ермакова, К. С. Поторочина, 
Н. В. Чуксина, И. А. Шестакова

С71

Библиогр.: 5 назв. Рис. 36. Прил. 1.

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

ISBN 978-5-9765-4988-3 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-3083-6 (Изд-во Урал. ун-та)

© Уральский федеральный
     университет, 2020

Рецензенты:
кафедра шахматного искусства и компьютерной математики Уральского 
государственного экономического университета 
(завкафедрой канд. физ.-мат. наук, доц. Ю. Б. Мельников );
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. И. Н. Белоусов 
(Институт математики и механики УрО РАН)

Научный редактор — канд. физ.-мат. наук, доц. С. В. Марвин

     Специальные главы математики : учебное пособие / В. И. Белоусова, 
Г. М. Ермакова, К. С. Поторочина, Н. В. Чуксина, И. А. Шестакова. — 
2-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2022. — 200 с.
— ISBN 978-5-9765-4988-3 (ФЛИНТА) ; ISBN 978-5-7996-3083-6 (Издво Урал. ун-та). — Текст : электронный.

Учебное пособие «Специальные главы математики» содержит такие разделы, 
как числовые ряды, функциональные ряды, степенные ряды в действительной 
и комплексной областях, теория функций комплексной переменной, преобразование Лапласа, тригонометрические ряды Фурье, интеграл и преобразование Фурье. В пособии представлено большое количество задач по разделам курса, в конце каждого из которых предлагаются упражнения для самостоятельного решения. 
Пособие предназначено для бакалавров и специалистов инженерных направлений и специальностей УрФУ.

ПРЕДИСЛОВИЕ

П

еред вами учебное пособие, представляющее собой основу 
содержания лекционных и практических занятий по курсу 
«Специальные главы математики», читаемом на ИРИТ-РтФ 
в УрФУ. Курс включает в себя такие разделы как числовые ряды, функциональные ряды, степенные ряды в действительной и комплексной 
областях, теория функций комплексного переменного, преобразование Лапласа, тригонометрические ряды, интеграл и преобразование 
Фурье. Теоретический материал проиллюстрирован большим количеством примеров. В конце каждой главы предлагаются упражнения для 
самостоятельной работы, ответы к заданиям приведены в приложении. 
Авторы надеются, что самостоятельная работа с учебным пособием «Специальные главы математики» будет залогом успешного освоения студентами профессиональных модулей инженерных и информационных специальностей. Помимо последовательного изложения 
предметного содержания курса «Специальные главы математики», задачами данного пособия являются: развитие математического мышления, воспитание математической культуры, освоение студентами основ математического моделирования.
Для понимания студентами материала, изложенного в пособии, 
требуется математический аппарат, заложенный при изучении курса 
высшей математики в рамках учебных программ УрФУ (основы математического анализа, комплексные числа и т. д.).
В заключение отметим, что авторы предполагают использование 
пособия студентами и преподавателями УрФУ различных факультетов и специальностей.

Глава 1.  
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1.1. Понятие числового ряда

Т

еория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и имеет как теоретические, так и практические приложения. Например, ряды применяются при интегрировании дифференциальных уравнений.
История развития теории рядов восходит ко временам расцвета 
науки в Древней Греции, где вычисление бесконечных сумм, как составная часть метода исчерпывания, использовалось учеными для нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т. д. Ряд как 
самостоятельное понятие появилось в XVII в.: И. Ньютон и Г. Лейбниц широко применяли ряды для решения алгебраических и дифференциальных уравнений. В XVIII–XIX вв. теория рядов развивалась 
в работах Д. Бернулли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа и др. Строгая теория рядов была создана в XIX в. 
и была основана на понятии предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, П. Дирихле, Р. Абеля, К. Вейерштрасса, Б. Римана и др.
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность 

u
u
uk
1
2
,
, ...,
, ...
 
 
 
  и составим из элементов этой последовательности сле
дующее выражение: u
u
u
u
k
k
k

1
2

1

+
+
+
+
=

=

Ґ
е
...
...
.

uk

k =

Ґ
е
1

 принято называть числовым рядом, или просто рядом, а элемен
ты uk — членами данного ряда.
Сумму первых n членов данного ряда называют n-й частичной суммой данного ряда и обозначают символом Sn:

1.1. Понятие числового ряда

 
S
u
u
u
u
u
n
k
n
k
k

n

=
+
+ј+
+ј+
=

=е
1
2

1
,

т. е. первая частичная сумма S1 равна u1, вторая — S
u
u
2
1
2
=
+
, пятая 

S
u
u
u
u
u
5
1
2
3
4
5
=
+
+
+
+
.

Ряд 
uk

k =

Ґ
е
1

 называется сходящимся, если сходится последовательность 

{
}
Sn  частичных сумм этого ряда. При этом предел S последовательности частичных сумм {
}
Sn  называется суммой данного ряда

 
S
S
u
n
n
k
k
=
=

®Ґ
=

Ґ
е
lim
.

1

В случае, если последовательность {
}
Sn  расходится, т. е. она или 
не имеет предела, или ее предел равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
При рассмотрении числовых рядов практически решаются две задачи: исследование ряда на сходимость и нахождение суммы сходящегося ряда.

Учитывая, что любая частичная сумма сходящегося ряда 
uk

k =

Ґ
е
1

 дает 

приближенное значение его суммы, на практике часто заменяют сумму ряда его частичной суммой S
u
u
u
n
n
=
+
+
+
1
2
...
. При этом производят оценку погрешности, происходящей от такой замены, т. е. оценивают разность R
S
S
n
n
=
, называемую остатком ряда. Остаток ряда Rn 
есть сумма ряда u
u
u
n
n
n m
+
+
+
+
+
+
+ј
1
2
...
.

Пример 1.1. Рассмотрим ряд 1 1 1 1
1
1

1

- + - +
=

=

Ґ
е
...
(
)
.
k

k

Решение
Последовательность частичных сумм ряда не имеет предела: S1 = 1, 
S2 = 0, S3 = 1, …, S
S
n
n
2
1
2
1
0
- =
=
,
.

Данный ряд расходится.

Пример 1.2. Исследуем на сходимость ряд, составленный из членов 
геометрической прогрессии:

 
a
aq
aq
aq
aq
a
n
k

k

+
+
+
+
+
=
№

=

Ґ
е

2
1

1

0


, (
).

Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 

При q №1 общий член последовательности частичных сумм этого 
ряда (n-я частичная сумма) будет

 
S
a
q
q
a
q
q
q

n

n
n

=
=
1
1
1
1
.

Далее lim

,

.

n
n
S

a

q
q

q
®Ґ
=
<

Ґ
>

м

нп

оп
1
1

1

при

при

В случае q =1 имеем lim
lim (
)
.
n
n
n
S
a n
®Ґ
®Ґ
=
+
= Ґ
1

Итак, данный ряд сходится при q <1 и расходится при q і1.

Свойства рядов:
1) отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление 
к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость ряда. (Следует из того, что две последовательности, члены которых, начиная с некоторого, отличаются между собой на одно и то же 
число, ведут себя одинаково относительно сходимости, т. е. или обе 
сходятся, или обе расходятся.);

2) если с № 0, то ряд 
сuk

k=

Ґ
е
1

 сходится тогда и только тогда, когда схо
дится ряд 
uk

k=

Ґ
е
1
.

Критерий Коши. Для того чтобы последовательность {S }
n  была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы 

 
" >
$
=
" >
" >
О
<
+
e
e
e
0 N
N
n
N
p
N p
S
S
n p
n
( ):
,
(
)
.


Теорема 1.1 (критерий Коши для ряда). Для того чтобы ряд 
uk

k=

Ґ
е
1

 схо
дился, необходимо и достаточно, чтобы 

 
" >
$
=
" >
" >
О
<

= +

+
е
e
e
e
0

1

 N
N
n
N
p
N p
uk

k n

n p
( ):
,
(
)
.


Доказательство следует из критерия Коши для последовательности, который применен к последовательности частичных сумм ряда 
[2, с. 402].

1.1. Понятие числового ряда

Следствие 1. Если ряд 
uk

k=

Ґ
е
1

 сходится, то последовательность 

R
u
n
k
k n

=

= +

Ґ
е

1

 является бесконечно малой.

Следствие 2 (необходимое условие сходимости ряда). Для сходимо
сти ряда 
uk

k=

Ґ
е
1

 необходимо, чтобы lim
k
k
u
®Ґ
= 0.

Пример 1.3. Рассмотрим ряд 
1
1
1
2

1
3

1
4
1 k
k

= +
+
+
+

=

Ґ
е


Решение

Ряд 
1
1
1
2
1
3
1
4
1 k
k

= +
+
+
+

=

Ґ
е
  называют гармоническим рядом. Очевид
но, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие схо
димости, так как lim

k
k
®Ґ
=
1
0. Однако данный ряд расходится. Восполь
зуемся критерием Коши.

Докажем, что для положительного числа e = 1
2 не существует тако
го номера N, что при n
N
і
 для любого натурального p справедливо 
неравенство

 
1
1
2
1k
k n

n p

= +

+
е
<
=
e
.

В самом деле, если взять p
n
= , то для сколь угодно большого n получим

 
1
1
1
2
1
2
1
1

2

k
k
nn

k n

n p

k n

n

= +

+

= +
е
е
=
і
=  

(учли, что в последней сумме n слагаемых и что наименьшее из этих 

слагаемых равно 1
2).

Итак, неравенство 
1
1
2
1k
k n

n p

= +

+
е
<
=
e
 не выполнено, каким бы большим 

мы ни взяли бы номер N, и в силу критерия Коши, гармонический ряд 
расходится.

Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 

1.2. Ряды с положительными членами

Необходимое и достаточное условие сходимости ряда 
с положительными членами
Рассмотрим ряды, все члены которых не отрицательны. Будем называть такие ряды рядами с положительными членами. Если члены 
ряда будут строго больше нуля, то такие ряды будем называть рядами 
со строго положительными членами.
Отметим основное характеристическое свойство ряда с положительными членами: последовательность частичных сумм такого ряда 
является неубывающей.
Теорема 1.2. Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Необходимость следует из того, что всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Достаточность вытекает из того, 
что последовательность частичных сумм не убывает и для сходимости 
последовательности достаточно, чтобы она была ограничена.

Признаки сравнения
Установим ряд признаков, позволяющих сделать заключение о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда посредством сравнения его с другим рядом, сходимость (расходимость) которого известна.

Теорема 1.3 (признак сравнения) Пусть 
uk

k=

Ґ
е
1

 и 
vk

k=

Ґ
е
1

 — два ряда с по
ложительными членами. Пусть для всех номеров k справедливо неравенство u
v
k
k
Ј
, тогда

1) сходимость ряда 
vk

k=

Ґ
е
1

 влечет за собой сходимость ряда 
uk

k=

Ґ
е
1

;

2) расходимость ряда 
uk

k=

Ґ
е
1

 влечет за собой расходимость ряда 
vk

k=

Ґ
е
1

.

Следствие (признак сравнения в предельной форме). Если 
uk

k=

Ґ
е
1

 — ряд 

с положительными членами, 
vk

k=

Ґ
е
1

 — ряд со строго положительными 

членами и существует конечный предел lim

k

k

k

u
v
L

®Ґ
=
, тогда

1.2. Ряды с положительными членами

1) сходимость ряда 
vk

k=

Ґ
е
1

 влечет за собой сходимость ряда 
uk

k=

Ґ
е
1

;

2) расходимость ряда 
uk

k=

Ґ
е
1

 влечет за собой расходимость ряда 
vk

k=

Ґ
е
1

.

Теорема 1.4 (признак сравнения в виде отношений). Пусть 
uk

k=

Ґ
е
1

 

и 
vk

k=

Ґ
е
1

 — два ряда со строго положительными членами. Пусть для всех 

номеров k справедливо неравенство u

u

v
v

k

k

k

k

+
+
Ј
1
1 . Тогда

1) сходимость ряда 
vk

k=

Ґ
е
1

 влечет за собой сходимость ряда 
uk

k=

Ґ
е
1

;

2) расходимость ряда 
uk

k=

Ґ
е
1

 влечет за собой расходимость ряда 
vk

k=

Ґ
е
1

.

Пример 1.4. Исследуем вопрос о сходимости ряда 
1

5
1
+
=

Ґ
е
bk

k

, где b > 0.

Если b Ј1, то lim
lim

k
k
k
k
u
b
®Ґ
®Ґ
=
+
=
№
1
5
1
5
0. Значит, нарушено необходи
мое условие сходимости ряда и ряд расходится.
Если b >1, то, поскольку для любого номера k справедливо неравен
ство 
1
5
1
+
Ј
b
b
k
k  и ряд 
1

1 bk

k=

Ґ
е
 сходится, по теореме 1.3 исследуемый ряд 

сходится.

Пример 1.5. Рассмотрим вопрос о сходимости для любого a Ј1 следующего ряда:

 
1
1
1
2
1

1 k
k
k

a
a
a

=

Ґ
е
= +
+ј+
+ј .

Этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом. Поскольку при 

a Ј1 для любого номера k справедливо неравенство 1
1
k
k
a і
 и т. к. гар
монический ряд 
1

1 k
k=

Ґ
е
 расходится, то по признаку сравнения (теоре
ма 1.3) ряд 
1

1 k
k

a

=

Ґ
е
 расходится для любого a Ј1.

Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 

Признаки Даламбера и Коши
Признак сравнения рядов может быть использован не только для 
исследования конкретно задаваемых рядов, но и для получения общих признаков сходимости рядов.

Пример 1.6. Исследуем ряд 
1
3
1
3

1 k
k
k
+
=

Ґ
е
 на сходимость с помощью 

второго признака сравнения. В качестве ряда 
vk

k=

Ґ
е
1

 возьмем сходящий
ся ряд 
1

3

1 k
k=

Ґ
е
. Найдем предел отношения k-х членов числовых рядов: 

lim
lim
lim
.
k

k

k
k
k
u
v
k
k

k

k
k
k
®Ґ
®Ґ
®Ґ
=
+
=
+
- =

1
3
1
1
3
1
1
3

3

3

3

Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости чис
лового ряда
1

3

1 k
k=

Ґ
е
 следует сходимость исходного ряда.

Признак Даламбера. Если для ряда 
uk

k=

Ґ
е
1

 с положительными члена
ми существует такое число q <1, что для всех достаточно больших n вы
полняется неравенство u

u
q
n

n

+ Ј
1
, то ряд 
uk

k=

Ґ
е
1

 сходится; если для всех до
статочно больших n  u

u

n

n

+ >
1
1, то ряд 
uk

k=

Ґ
е
1

 расходится.

Следствие. Если существует lim
n

n

n

u
u
®Ґ

+ =
1
r, то при r <1 ряд сходится, 

при r >1 ряд расходится, при r =1 вопрос о сходимости ряда остается 
открытым и требуется дополнительное исследование.

Пример 1.7. Исследовать ряд 
n

n

n
3
1
=

Ґ
е
 на сходимость.

Решение

Чтобы применить признак Даламбера, найдем u
n

n
n
= 3  u
n

n
n
+
+
=
+

1
1
1
3
 и вы
числим lim

n

n

n

u
u
®Ґ

+1.