Уравнения математической физики. Практикум. Компьютерные технологии решения задач

УРАВНЕНИЯ 
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 
ФИЗИКИ. ПРАКТИКУМ 

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ  
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Москва 
РИОР 
ИНФРА-М

УЧЕБНОЕ  ПОСОБИЕ

К.В. ТИТОВ

УДК 004.4(075.8)
ББК 32.97я73

Т45

Автор: 

Титов К.В. — канд. техн. наук, почетный работник высшего профессионального образования, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор свыше 65 научных работ по прикладной 
математике, в том числе методических пособий и трех книг по использованию компьютерных технологий в образовании

Рецензенты: 

Гриценко С.А. — д-р физ.-мат. наук, профессор МГУ им. М.В. Ломоносова;
Пархоменко В.П. — канд. физ.-мат. наук, доцент, ведущий научный сотрудник вычислительного центра ФИЦ ИУ РАН

 
Титов К.В.

Т45 
 
Уравнения математической физики. Практикум. Компьютерные 

технологии решения задач : учебное пособие / К.В. Титов.— Москва : 
РИОР : ИНФРА-М, 2022. — 261 с. — (Высшее образование). — DOI: 
https://doi.org/10.29039/01812-5

ISBN 978-5-369-01812-5 (РИОР)
ISBN 978-5-16-015312-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-107773-3 (ИНФРА-М, online)

Эта книга является продолжением серии публикаций автора в области 

цифровых технологий в образовании высшей школы. Курс «Уравнения математической физики» автор ведет более 15 лет в формате лабораторных работ, 
подробно разбирая методы решения типовых задач, используя компьютерные 
технологии изучения предмета и электронный ресурс. 

Учебное пособие предназначено студентам вузов, обучающимся по физико
математическим специальностям и направлениям подготовки (бакалавриат, 
специалитет, магистратура). Также может быть полезно аспирантам, преподавателям и специалистам, интересующимся компьютерными технологиями 
в образовании.

УДК 004.4(075.8)

ББК 32.97я73

© Титов К.В.

ISBN 978-5-369-01812-5 (РИОР)
ISBN 978-5-16-015312-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-107773-3 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

ВВЕДЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Часть I. 
РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДОВ  
В СИСТЕМАХ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ. . . . . . . . . . . . . . . . 10
1. 
Пример разложения функции в ряд Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
 
1.1. Ряды Фурье для функций sin (v ·u) и cos (v ·u) . . . . . . . . . . . . . . . . 12
 
1.2. Суммы Фейера. Эффект Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. 
Ряд Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье. . . . . . . . . . . . . . . 21
3. 
Преобразование Фурье  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. 
Косинус- и синус-преобразования Фурье экспоненты . . . . . . . . . . . 28
5. 
Аппроксимация ряда Фурье множеством прямоугольных  
импульсов.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6. 
Ряд Фурье и связь его коэффициентов с рядом Лорана. . . . . . . . . . . 49
 
6.1.  Разложение функции в ряд Лорана в кольце  
с использованием коэффициентов ряда Фурье. . . . . . . . . . . . . . 53
 
6.2.  Разложение функции в ряд Лорана в кольце  
с использованием коэффициентов ряда Фурье. . . . . . . . . . . . . . 57
7. 
Ядро Дирихле. Интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8. 
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ).  
Быстрое преобразование Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9. 
Работа логики быстрого преобразования Фурье,  
записанная в Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10. 
Разложение функции sеc(z) и z*csc(z) в ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . 85

Часть II. 
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. . . . . . . . . . . . . . . 92

1. 
Приведение к каноническому виду линейных уравнений  
с частными производными. Задача Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
 
1.1.    Решение уравнения с частными производными  
гиперболического типа. Первая каноническая форма . . . . . . . . .92
 
1.1.1.  Решение уравнения с частными производными  
гиперболического типа. Вторая каноническая форма  . . . 103
 
1.1.2.  Приведение к каноническому виду уравнения  
с частными производными гиперболического типа 
с помощью ШПО Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
 
1.2.    Решение уравнения с частными производными  
параболического типа   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
 
1.3.    Решение уравнения с частными производными  
эллиптического типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
 
1.3.1.  Приведение к каноническому виду с помощью  
ШПО Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2. Решение волнового уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
 
2.1.    Решение однородного уравнения гиперболического типа. . . . . 146
 
2.1.1. Процедура дифференцирования в Maple. . . . . . . . . . . . . . . 151
 
2.2.    Решения в СКМ Maple уравнения гиперболического типа  
со cтационарными неоднородностями  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
 
2.3.    Решение неоднородного уравнения гиперболического  
типа с нулевыми граничными условиями   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
 
2.4.    Решение неоднородного волнового уравнения  
с общими краевыми условиями   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
 
2.4.1. Пример решения волнового уравнения в среде Maple . . . 178
 
2.4.2.  Пример волнового уравнения, имеющего решение  
с переменной структурой  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
 
2.5.    Решение волнового уравнения операторным методом. . . . . . . . 203

3. Решение уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
 
3.1.    Решение неоднородного уравнения теплопроводности  
с общими краевыми условиями в среде Maple. . . . . . . . . . . . . . . . 205
 
3.2.    Разностные методы решения уравнения  
теплопроводности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
 
3.2.1. Метод сеток явной схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
 
3.2.2.  Алгоритм решения уравнения теплопроводности  
методом сеток явной схемы. Коэффициент Куранта.  . . . 214
 
3.2.3. Метод сеток неявной схемы (метод прогонки).. . . . . . . . . . 220
 
3.2.4.  Алгоритм неявной схемы метода сеток в среде Mathcad  
(метод прогонки)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
 
3.3.    Операторный метод решения уравнения  
теплопроводности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

4. 
Структурирование и численное моделирование решения  
задач математической физики, имеющих особые точки.. . . . . . 227
 
4.1.    Решение гиперболического уравнения,  
имеющего особые точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
 
4.2.    Алгоритм решения волнового уравнения  
и его численное моделирование в особых точках  . . . . . . . . . . . . . 234

 
4.3.    Оценка расхождения между аналитическим и приближенным 
решениями волнового уравнения в особых точках  . . . . . . . . . . . 239
 
4.4.    Решение гиперболического уравнения в особых точках, 
определяемое через интегральный синус. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
 
4.5.    Графическое представление решения в особых точках . . . . . . . 253

5. Справочная информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
 
5.1.   Некоторые наиболее употребительные интегралы . . . . . . . . . . . 256
 
5.2.    Разложения в ряд Фурье по системе ортогональных  
функций  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259

ПРЕДИСЛОВИЕ

Более 15 лет автор использует компьютерные технологии в учебном 
процессе, проводя семинарские занятия и читая лекции в МГТУ 
им. Н.Э. Баумана студентам, а также преподавателям на факультете 
повышения квалификации. Этому направлению посвящены многочисленные публикации, методические пособия и выпущенные в последнее время две книги [1] и [6]. Кроме этого на персональной странице www.bmstu.ru/ps/~kvtitov, образовательный ресурс которой постоянно пополняется и совершенствуется, представлены все 
необходимые материалы и элементы внедрения компьютерных технологий в учебный процесс в интерактивном режиме. 
Надо сказать, что перечисленные выше пособия и соответствующие 
им компьютерные технологии выстраивались под такие системы компьютерной математики (СКМ), как Mathcad, Maple, Wolfram Mathematica 
и Matlab. Предлагаемая читателю книга является продолжением предыдущих двух книг [1], [6] в части использования компьютерных технологий в образовании.
Большинство решений задач сопровождаются графической иллюстрацией, в том числе трехмерной, имеющей возможность анимирования, что наилучшим образом раскрывает методы и принципы того, как 
работает математический аппарат.
Предполагается, что читатель этой книги знаком с указанными здесь 
СКМ хотя бы в общих чертах. Если знание интерфейса СКМ недостаточно, то рекомендуется обратиться к соответствующей литературе 
и пополнить эти знания. Однако в любом случае изложение приводимых в книге задач настолько подробно, насколько это необходимо для 
их решения в СКМ, и под силу любому неискушенному в этих вопросах пользователю. Книга ориентирована на студентов, преподавателей 
и всех, кому интересны цифровые технологии в образовании.
Автор выражает благодарность рецензентам, взявшим на себя труд 
прочитать и сделать ряд конструктивных замечаний, а также читателям, 
которые посчитают возможным отправить свои замечания и предложения по адресу: kvtito@mail.ru. 

ВВЕДЕНИЕ

Компьютерные, а теперь уже цифровые образовательные технологии 
в фундаментальном образовании и, в особенности в таком его важнейшем разделе, как математика, немыслимы без систем компьютерной 
математики.
В настоящее время практически вся математика представлена в электронном виде в таких математических системах, как MathCAD, Maple, 
Mathematica, MATLAB и др. Эти системы имеют достаточно простой 
пользовательский интерфейс и внутренний язык математического моделирования, что делает их привлекательными и незаменимыми в решении математических задач. Они позволяют вести не только численные высокоточные расчеты, но и символьные преобразования, которые 
особенно важны в аналитических расчетах. Важно отметить, что они 
несут образовательное значение, позволяют на практике лучше раскрыть и понять методы решения задач. 
Многолетний опыт автора по использованию СКМ в учебном процессе позволяет сделать следующие выводы.
Встраивание СКМ в лекционные и семинарские занятия повышает 
уровень усвоения знаний у студентов. В создаваемой таким образом информационной среде, к которой студент уже адаптирован со школьной 
скамьи при работе на компьютере, с элементами творческой и игровой 
ситуации, процесс обучения идет гораздо быстрее и эффективнее. У студента создается некое ощущение того, что он находится в виртуальной 
научной лаборатории и проводит исследования, что очень важно для самоутверждения и в конечном счете — для повышения КПД обучаемого.
Другим очень важным при обучении стимулом является понимание 
того, что владение компьютером есть стратегически важный момент 
в дальнейшем карьерном росте. Поэтому студент охотно принимает все 
предложения преподавателя по использованию современных вычислительных систем, ориентированных на численные методы расчетов и математическое моделирование с возможностью проведения многих операций символьной математики, для выполнения типового расчета, 
анализа полученных результатов и непосредственной их визуализации 
на экране дисплея. Так как «рутинная» работа на компьютере выполняется практически мгновенно, у студента появляется дополнительный 
ресурс времени на осмысление и более глубокое понимание полученных 
результатов расчета.

Важным моментом является математическая формулировка задачи 
и ее понимание. Синтаксис и семантика записываемых студентом математических «фраз» в среде СКМ не допускает неоднозначного толкования условий задачи. Поэтому без глубокого понимания математической модели, ее смысла и содержания (математических формулировок), а именно к этому обязывает программирование в системах 
компьютерной алгебры, студент не сможет правильно и однозначно 
сформулировать и решить поставленную перед ним задачу. Таким образом, возникает обратная связь в процессе обучения студента, заставляющая его проникнуть как можно глубже в суть математической модели и практически лучше понять работу математического аппарата.
Создаваемые методические пособия [3], [4], [5], [6], [25] и выстраиваемая таким образом методика обучения обязывают студентов пользоваться не только печатными изданиями, но и их электронными версиями, имеющими гиперссылки, «живую» трехмерную графику, где все 
примеры «работают» (их можно просматривать с различными исходными данными, задаваемыми самими студентами). Кроме этого студенты могут представить динамику полученных решений в виде анимационных клипов. СКМ интегрированы между собой и с Internet, что 
позволяет преподавателю создавать свои образовательные сайты, а студенту – размещать выполненные типовые расчеты для их защиты в режиме форума или любом другом формате общения с преподавателем.
Размещаемые преподавателем на образовательных сайтах электронные версии пособий, что очень важно, формируют у студентов основные навыки дистанционного обучения. Безусловно, все это делает студента более разносторонним и повышает уровень его образования.
В книге нет теорем и их доказательств, а есть задачи из курса 
«Уравнения математической физики» и их программное решение в среде СКМ. Правда, есть изложение рядов Фурье, необходимое для лучшего понимания курса. Оно представлено в первой части пособия. 
Причем решения задач, как правило, представляются графически 
и в виде анимационных клипов, если это необходимо. Пользовательский 
интерфейс СКМ имеет простой и понятный для математика синтаксис 
и семантику, практически совпадающие с написанием тех формул, которые преподаватель пишет на доске мелом. Ход рассуждений и их 
последовательность при решении задачи также просто записываются 
в виде программы в среде СКМ. Таким образом, СКМ, обладая такими 
неоспоримыми достоинствами, как интегрирование с Internet и простой 
язык формульных математических записей, становятся эффективными 
инструментами в компьютерных образовательных технологиях.

СКМ представляет пользователю как минимум две возможности: 
воспользоваться штатным программным обеспечением (ШПО, которое 
«зашито» в компьютере и труднодоступно пользователю) для решения 
задачи или самому записать (смоделировать) алгоритм решения. 
Конечно, во втором случае эффект обучения намного выше, чем в первом. Поэтому в книге все задачи имеют свои так называемые обучающие 
алгоритмы решения задач, которые можно отнести к процессу моделирования решения (ПМР). И лишь в справочном режиме, там, где это 
необходимо, используется ШПО для получения справки или сравнения 
и подтверждения результатов ПМР. Надо отметить, что алгоритмы решения задач могут быть модифицированы пользователем по его усмотрению с привнесением творческих элементов. Наличие ШПО делает 
СКМ мощнейшей справочной системой, которая позволяет получить 
практически мгновенно ответ по решению многочисленных задач — 
либо численный, либо символьный. Это освобождает пользователя от 
необходимости искать эти решения в справочниках по математике. 
Именно данная особенность СКМ так привлекательна и востребована 
студентами, игнорировать ее просто невозможно.
Компьютерные технологии решения задач математической физики 
в СКМ являются важной компонентой в образовании, нацеленной на 
более глубокое и эффективное изучение предмета на современном уровне.
Структурирование книги практически совпадает с последовательностью изложения классического курса «Уравнения математической 
физики». Книга содержит задачи и уравнения математической физики; 
ряды и их приложения, в том числе ряды Фурье. Условия некоторых 
задач и примеров взяты из сборника задач [20]. 
Решение каждой задачи построено как обучающая программа в той 
алгоритмической последовательности, которая в полной мере отвечает 
(следует) методам решения подобных задач. После чего, как правило, 
следует обобщение решаемого класса задач и записывается программный 
модуль под решение уже любой задачи из этого класса, что дает возможность читателю освободиться от рутинных вычислений и сосредоточиться на анализе получаемых решений. Читатель (пользователь, обучаемый 
студент и т.д.) в этом случае выступает в новом и очень важном качестве 
исследователя. Причем такие программные модули решают задачи с достаточно высоким коэффициентом сложности, расширяющим класс 
задач в интерактивном режиме с графической иллюстрацией и анимацией решения. Такой подход связан с созданием электронных ресурсов 
www.bmstu.ru/ps/~kvtitov в образовании, их методическим насыщением 
и встраиванием СКМ в образовательные технологии вуза.

Материал учебного пособия был апробирован в учебном процессе 
в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Главные отличия данной книги от традиционных, например таких учебных изданий, как [20], заключаются в следующем:
1)  решение всех задач можно вести в интерактивном режиме 
с графической иллюстрацией 2D и 3D, создавая при необходимости видеоклипы получаемых решений;
2)  имеется возможность в реальном времени вести анализ получаемых решений;
3)  предусмотрено создание пользовательских программных модулей решения задач подобного класса и его расширения;
4)  возможно нахождение аналитических решений сложных математических и физических задач;
5)  предусмотрена возможность работы в информационно-справочном режиме; и т.д.
Так же как и о предыдущих книгах автора, кратко о содержании 
книги можно было бы сказать так: это знакомая и незнакомая математика. Знакомая по классическим учебникам и незнакомая в том изложении, которое дается в книге.

Часть I. 
РЯДЫ ФУРЬЕ.  
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДОВ В СИСТЕМАХ 
КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

1. Пример разложения функции в ряд Фурье

Если периодическая функция f(x) с периодом 2Pi кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [–l, l], то ряд Фурье, построенный 
для этой функции, сходится во всех точках [15]. Сумма полученного 
ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда равняется среднему 
арифметическому пределов функции f(x) справа и слева. Таким образом, класс функций, представимых рядами Фурье, достаточно широк. Ряды Фурье находят применение в различных областях математики, физики и ее приложениях к конкретным задачам, а также задачам механики и др. 
Запишем ряд Фурье в общем виде с тем, чтобы потом можно было 
находить этот ряд для любой конкретно задаваемой функции. Итак, 
пусть на отрезке [–L, L] задана функция f(x), которую представим рядом 
S(x). Запишем коэффициенты ряда: 

: 5
,
: 1..
FRAME
N
n
N
=
+
=
.

Здесь N — число членов ряда. 

 

( )
0
1
:

L

L
a
f x dx
L
−
=
⋅ ∫
; 
( )
1
:
cos

L

n
L

n x
a
f x
dx
L
L
−

π⋅ ⋅
⎛
⎞
=
⋅
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
;

 

( )
1
:
sin

L

n
L

n x
b
f x
dx
L
L
−

π⋅ ⋅
⎛
⎞
=
⋅
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
.  
(1.1)

Вычислим некоторые из этих коэффициентов ряда: 

0
0
a = ; 
(
)
0 0 0 0 0 0
T
a
=
; 
(
)
0 0.25
0.27 0.198
0.153 0.124 .
T
b =
−
−
 

Приведем выражение суммы ряда Фурье: 

( )
0

1
:
cos
sin
2

N

n
n
n

a
n x
n x
S x
a
b
L
L
=

⎛
⎞
π⋅ ⋅
π⋅ ⋅
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
⋅
+
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
.  
(1.2)