Алгебраические методы анализа риска в развивающихся экономиках

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего образования 

 
«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Т. А. Уразаева 
 
 
 
Алгебраические методы 
анализа риска в развивающихся 
экономиках 
 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Йошкар-Ола 
 
2017 

УДК 512.573::519.876.5::336.774 
ББК 65.012.1 
У 68 
 
Рецензенты: 
 
заведующий кафедрой статистических методов 
НИУ «Высшая школа экономики», 
д-р экон. наук, профессор В. С. Мхитарян; 
 
заведующий кафедрой прикладной информатики и 
информационной безопасности 
ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г.В. Плеханова», 
д-р экон. наук, профессор Ю. Ф. Тельнов; 
 
профессор кафедры управления малым и средним бизнесом 
ФГБОУ ВО «Марийский государственный университет», 
д-р экон. наук, профессор А. А. Смирнов. 
 
 
Уразаева, Т. А. 
 
У 68  
Алгебраические методы анализа риска в развивающихся экономиках: 
монография / Т. А. Уразаева. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный 
технологический университет, 2017. – 276 с. 
ISBN 978-5-8158-1768-5 
 
Предложен вариант общей теории риска, в основу которой положены идеи современной алгебры. С позиций теории систем исследован генезис понятия риск, сконструирована реляционная система, минимально необходимая для его возникновения. Для 
систем с дискретным множеством состояний разработана алгебраическая модель исчисления риска. Предложены эффективные алгоритмы вычислений над множествами рисков и их частей. Рассмотрены приложения разработанных теории и алгоритмов в области анализа кредитного риска, отличающиеся принципиально более высокой точностью 
по отношению к подходам, основанным на методе Монте-Карло. Исследованы особенности применения теории к анализу риска, принимаемого кредитными учреждениями со 
стороны групп связанных заемщиков.  
Для научных работников и специалистов в области прикладной математики, анализа и управления риском, банковских риск-менеджеров, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей и направлений подготовки. 
 
 
УДК 512.573::519.876.5::336.774 
ББК 65.012.1 
 
 
ISBN 978-5-8158-1768-5 
© Уразаева Т. А., 2017 
 
 
© Поволжский государственный 
 
 
технологический университет, 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
6 

 
Список основных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
8 

 
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

 
1. КОНЦЕПЦИЯ РИСКА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

 
 
1.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

 
 
1.2. Генезис риска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

 
 
1.3. Примеры рисков на структурах вложенных полурешеток . . . . . . . . 25 

 
 
Выводы по главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

 
2. АЛГЕБРА РИСКОВ 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

 
 
2.1. Предварительные замечания 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

 
 
2.2. Алгебра рисков как алгебра мультимножеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

 
 
2.3. Конгруэнции и неразличимость рисков  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

 
 
2.4. Конгруэнции и наименьший (простейший) вычет  . . . . . . . . . . . . . . . 60 

 
 
2.5. Конгруэнции и значимость частей риска  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

 
 
2.6. Наименьший значимый вычет  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

 
 
Выводы по главе 2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

 
3. ПАКЕТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ «МультиМИР» . . . . . . . . . . . . . . 80 

 
 
3.1. Предварительные замечания 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

 
  3.2. Назначение ППП «МультиМИР» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

 
 
3.3. Платформа разработки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

 
 
3.4. Структуры данных 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

 
 
3.5. Структура программного обеспечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

 
 
 
3.5.1. Основные компоненты программного обеспечения 
. . . . . . . 82 

 
 
 
3.5.2. Описание модуля примитивов сортировки . . . . . . . . . . . . . . . 83 

 
 
 
3.5.3. Описание модуля примитивов по работе с риском 
. . . . . . . . 86 

 
 
 
3.5.4. Описание модуля основных контрольных примеров . . . . . . . 89 

 
 
 
3.5.5. Модуль описания риска отдельных финансовых 
 
 
 
инструментов 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

 
 
 
3.5.6. Описание модуля примитивов анализа риска портфелей 
 
 
 
заданной структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

 
 
 
3.5.7. Описание модуля контрольных примеров для анализа риска 
 
 
 
портфелей заданной структуры 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

 
 
 
3.5.8. Описание модуля визуализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

 

3.5.9. Описание модуля контрольных примеров для подсистемы 
 
 
 
визуализации 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 

 
 
3.6. Ограничения ППП «МультиМИР» 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 

 
 
Выводы по главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 
 
4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАКЕТА ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ «Мульти- 
 
МИР» В ПРАКТИКЕ АНАЛИЗА КРЕДИТНОГО РИСКА 
. . . . . . . . . . . 99 

 
 
4.1. Предварительные замечания 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

 
  4.2. Модель типового кредитного договора 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 

 
 
4.3. Классический параметрический метод оценки риска портфеля 
 
 
активов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 

 
 
4.4. Количественная оценка кредитного риска большого ссудного 
 
 
портфеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

 
 
4.5. Масштабный эффект в кредитном портфеле фиксированной 
 
 
структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

 
 
4.6. Особенности оценки кредитного риска с учетом групп 
 
 
связанных заемщиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 

 
 
 
4.6.1. Экономическое содержание понятия связанности 
 
 
 
заемщиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 

 
 
 
4.6.2. Математическое содержание понятия связанности 
 
 
 
заемщиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 

 
 
 
4.6.3. Мультипликативная нотация в условиях связанности 
 
 
 
заемщиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 

 
 
Выводы по главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 
 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 
 
Приложение 1. Конструирование контрпримеров для простейших 
 
мер риска 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

 
Приложение 2. Исходные коды процедур и функций работы 
 
с полиномами одной переменной 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 

 
Приложение 3. Исходный код примитивов линейной алгебры 
. . . . . . . . . 170 

 
Приложение 4. Мера возмущенной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 

 
Приложение 5. Материалы проекта «Калькулятор функции Ψ » . . . . . . . . 187 

 
Приложение 6. Отображения, операции, алгебры, отношения 
 
и реляционные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

 
Приложение 7. Основные понятия теории мультимножеств 
. . . . . . . . . . . 213 

 

Приложение 8. Исходный код примитивов сортировки 
. . . . . . . . . . . . . . . 220 

 
Приложение 9. Исходный код примитивов по работе с риском . . . . . . . . . 223 

 
Приложение 10. Исходный код основных контрольных примеров . . . . . . 231 

 
Приложение 11. Исходный код процедур описания риска отдельных 
 
финансовых инструментов 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 

 
Приложение 12. Исходный код примитивов анализа риска портфелей 
 
заданной структуры 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 

 
Приложение 13. Исходный код контрольного примера для модуля 
 
анализа риска портфелей заданной структуры . . . . . . . . . 246 

 
Приложение 14. Исходный код примитивов визуализации . . . . . . . . . . . . 250 

 
Приложение 15. Исходный код контрольных примеров 
 
для подсистемы визуализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 

 
Приложение 16. Графическая часть результата выполнения 
 
процедуры example_1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 

 
Приложение 17. Исходный код примитивов визуализации групп 
 
функций распределения дискретных случайных 
 
величин, заданных точечными вероятностями . . . . . . . . 261 
 
ПРЕДМЕТНО-АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
 
Предлагаемая Вашему вниманию книга является существенно переработанной и дополненной версией монографии автора «Алгебра рисков: теория и 
алгоритмы», выпущенной в 2013 г. В этом издании не только устранены выявленные опечатки и неточности, но и представлены новые результаты, полученные автором в течение последних лет. 
 
Первая глава монографии содержательно претерпела минимальные изменения. Но поскольку она включает в себя наиболее абстрактные построения, 
сложные для восприятия, то естественным ходом было включение в главу ряда 
примеров из области теории принятия решений в области политики и экономики. Подробный разбор примеров привел к росту объема главы более чем в два 
раза, что, однако, по мнению автора, должно способствовать более глубокому 
восприятию идей общей реляционной теории риска и подходов к анализу риска 
в условиях нечисловой природы значимых характеристик систем.  
 
Вторая глава книги посвящена собственно построению алгебраической 
теории риска дискретных коммутативных1 систем. В дополнение к ранее опубликованным результатам эта глава содержит новые материалы по теории конгруэнции, связанной со значимостью частей риска. Доказана коммутативность 
этой конгруэнции с ранее исследованной конгруэнцией неразличимости. На основе этого результата было введено понятие наименьшего значимого вычета, 
имеющего большое значение для дальнейшего повышения эффективности алгоритмов прямого численного анализа рисков. Доказаны необходимые для вычислений свойства этого вычета. 
 
Наиболее существенной ревизии была подвергнута четвертая глава. Вопервых, пересмотрен характер асимптотического поведения меры риска «Value 
at Risk» в однородном портфеле срочных финансовых инструментов при росте 
количества этих инструментов. Замечена согласованность указанной асимптотики с классическим параметрическим методом оценки меры риска «Value at 
Risk». Также предложена новая более адекватная регрессионная модель для 
восстановления данной асимптотики по результатам, доступным для прямого 
вычисления. Перечисленные изменения в методике оценки меры риска «Value 
at Risk» для однородных портфелей срочных финансовых инструментов, а также 
для 
портфелей, 
состоящих 
из 
однородных 
субпортфелей 
таких 
инструментов, позволили дополнительно повысить точность вычислений. 
 
Во-вторых, учитывая фундаментальный характер выявленного асимптотического поведения меры риска «Value at Risk», было обнаружено и обосновано наличие масштабного эффекта для однородных портфелей кредитных обязательств при минимальном требовании неотрицательности средней доходности 
портфеля. Интересно, что существование данного масштабного эффекта можно 

                                                 
1  Коммутативных относительно композиции преобразований состояния системы 

рассматривать как одну из фундаментальных причин существования банковского бизнеса с момента его возникновения и по настоящее время. 
 
И, наконец, были значительно переработаны разделы четвертой главы, 
посвященные исследованию влияния связанности ссудозаемщиков на вычислительные процедуры оценки риска. Фактически эта проблема заново исследована с «нуля». Предложена новая классификация связанности. Даны варианты 
экономической интерпретации всех математически обоснованных вариантов 
связанности. Разработан универсальный математический инструментарий для 
работы со всеми видами связанности и их комбинациями. 
 
Важно отметить, что при изложении материала в работе использован такой набор математических понятий и подходов, который минимально обеспечивает достаточную строгость построений. Для понимания содержания книги 
достаточно знания основ наивной теории множеств и начал анализа. Все более 
сложные или редко встречающиеся математические понятия и обозначения 
описаны в приложениях 6 и 7. Знакомство с материалом из этих двух приложений необходимо для понимания концепций, развиваемых в первой и второй 
главах, а также в ряде разделов четвертой главы. Для понимания практических 
результатов работы достаточно наличия общей математической культуры. В 
библиографическом списке представлены все основные источники, необходимые заинтересованному читателю в случае возникновения потребности в углубленном изучении того или иного раздела монографии. 
 

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 
 
 
 

 

, ,
a b … 
элементы 
 

 

,
,
A B … 
множества 
 

 

∅  
пустое множество (множество, не содержащее ни одного элемента) 
 

 

,
,…
A B
 
мультимножества 
 

 

∅
∅
∅
∅  
пустое мультимножество (мультимножество, не содержащее ни одного элемента) 
 

 

,
,…
A B
 
множества мультимножеств 
 

 

, ,
a b … 
векторы, компоненты которых – мультимножества 
 

 

,
,
A B … 
матрицы, элементы которых – мультимножества 
 

 

N  
множество натуральных чисел 
 

 

0
+
Z
 
множество неотрицательных целых чисел  
 

 

R  
множество действительных чисел 
 

 

0
+
R
 
множество неотрицательных действительных чисел 
 

 

true 
терм «истина» 
 

 

false  
терм «ложь» 
 

 

∀  
квантор общности: «для всех … », «для каждого … », 
«для любого … » 
 

 

∃  
квантор существования: «существует … », 
«найдется … » 
 

 

!
∃  
квантор существования и единственности: 
«существует и при том только единственное … », 
«найдется единственное … » 
 

 

⇒  
знак импликации: « … влечет … », «если …, то … » 
 

 

⇐  
знак импликации: « … следует из … »,  
« …, так как … » 
 

 

⇔  
знак равносильности: « …, если и только если … », 
« …, тогда и только тогда, когда … » 
 

 

Defi  
содержание (смысл) знака «i» - «по определению» 
 
 

 

∈ 
знак принадлежности: « … является элементом … » 
 

 

∉ 
знак отсутствия принадлежности: « … не является 
элементом … » 
 

 

⊆ 
знак включения: « … является подмножеством … », 

(
)

Def

A
B
x
A
x
B
⊆
⇔
∈
⇒
∈
 

 

 

⊇ 
знак включения: « … содержит … в качестве подмножества», « … является надмножеством … », 

(
)

Def

B
A
x
A
x
B
⊇
⇔
∈
⇒
∈
 

 

 

⊆/  
знак отсутствия включения: « … не является подмножеством … », 

(
)[
]

Def

A
B
x x
A x
B
⊆/
⇔ ∃
∈
∉
 

 

 

⊂ 
знак строгого включения: « … строго (собственно) 
содержится в … », « … является собственным подмножеством … », 
,
Def

A
B
A
B B
A
⊂
⇔
⊆
⊆/
 

 

 

⊃ 
знак строгого включения: « … содержит … в качестве 
собственного подмножества», 
,
Def

B
A
A
B B
A
⊃
⇔
⊆
⊆/
 

 

 

:
f
A
B
→
 
отображение f  из множества A в множество B  
 

 

:
f a
b
֏
 
соответствие: элемент b является образом элемента a  
под воздействием отображения f  
 

 

( )
f a  
образ элемента a  под действием f  
 

 

id  
тождественное отображение множества на себя, 
id : A
A
→
, id :a
a
֏
 
 

 

prA  
проекция на первый сомножитель прямого произведения множеств, pr :
A A
B
A
×
→
, pr :( , )
A
x y
x
֏
 

 

 

prB  
проекция на второй сомножитель прямого произведения множеств, pr :
B A
B
B
×
→
, pr :( , )
B
x y
y
֏
 

 

 

( )
Dom f  
область определения (область) отображения f  
 

 

( )
Cod f
 
область значений (кообласть) отображения f  
 

 

(
)
Map
,
A B  
множество всех отображений из множества A в множество B  
 

 

g
f

композиция отображений g  и f , 
(
)( )
( )
(
)
g
f
a
g f a
=

 

 

[ ]( )
f x y  
образ элемента y  под действием отображения [ ]
f x , 
где [ ]
f x  – функция двух переменных при фиксированном первом аргументе и рассматриваемая в данном контексте как функция одной переменной 
 

 

(
)
1
2
Rel
,
,
,
n
A
A
A
…
 

 

 
множество всех отношений на семействе множеств 

iA , 
1, 2,
,
i
n
=
…
 

 

 

( )
Reln A  
множество всех n -арных отношений на A 
 

 

{
}
, ,
a b …  
множество, состоящее из элементов , ,
a b … 
 

 

( )
{
}
:
x
x
π
 
множество таких элементов x , для которых справедливо условие ( )
x
π
, где ( )
x
π
 – обязательно коллективизирующее условие [16]