Нечеткие модели анализа данных и принятия решений

А.Г. Броневич 
А.Е. Лепский
Учебное пособие
Нечеткие модели 
анализа данных 
и принятия решений
Электронное издание
Издательский дом 
Высшей школы экономики 
МОСКВА, 2022

УДК 519.8
ББК 22.18
Б88
Р е ц е н з е н т ы : 
доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный 
сотрудник НИИ робототехники и процессов управления 
Южного федерального университета А. Н. Каркищенко; 
доктор технических наук, профессор Отделения интеллектуальных 
кибернетических систем Обнинского института атомной энергетики 
НИЯУ МИФИ Б. И. Яцало
Б88
Броневич, Андрей Георгиевич.
Нечеткие модели анализа данных и принятия решений : учебное пособие / 
А. Г. Броневич, А. Е. Лепский ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — Эл. изд. — 1 файл pdf : 266 с. — Москва : Изд. дом Высшей школы экономики, 2022. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 
4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.
ISBN 978-5-7598-2407-7
В учебном пособии рассмотрены такие основные разделы теории нечетких множеств, 
как нечеткие отношения, нечеткие числа, нечеткий логический вывод, а также прикладные 
разделы, связанные с применением нечеткой математики в анализе данных (нечеткая регрессия, нечеткая кластеризация, нечеткая классификация) и принятии решений (нечеткая 
оптимизация, многокритериальные методы принятия решений с нечеткими данными, ранжирование нечетких данных, нечеткое моделирование). Каждая глава заканчивается разделом 
задач для самостоятельного решения. Поэтому данное пособие можно использовать не только как учебник, но и как задачник на семинарских занятиях или для самостоятельной 
подготовки. Учебное пособие адресовано студентам, обучающимся по образовательным 
программам, связанным с анализом данных и принятием решений («Прикладная математика и информатика», «Экономика», «Экономика и статистика», «Бизнес-информатика» и др.).
Книга также будет полезна аспирантам и преподавателям образовательных программ, 
как непосредственно связанных с анализом данных, так и использующих анализ данных и 
принятие решений в своих исследованиях, — бизнес-информатикам, экономистам, финансовым аналитикам, политологам и т.д.
УДК 519.8 
ББК 22.18      
Электронное издание на основе печатного издания: Нечеткие модели анализа данных и принятия решений : 
учебное пособие / А. Г. Броневич, А. Е. Лепский ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — 
Москва : Изд. дом Высшей школы экономики, 2022. — 264 с. — ISBN 978-5-7598-2317-9. — Текст : непосредственный.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты 
компенсации.
ISBN 978-5-7598-2407-7
© Броневич А. Г., Лепский А. Е., 2022

Оглавление
Предисловие 
8
Глава 1. Нечеткие множества и операции над ними 15
1.1.	 Понятие нечеткого множества 15
1.2.	 Алгебраические операции над нечеткими множествами 
и их свойства 20
1.3.	 Методы построения функций принадлежности нечетких 
множеств 
22
1.4.	 Задачи 33
Глава 2. Метрики на нечетких множествах и степень нечеткости 37
2.1.	 Метрики на нечетких множествах 37
2.2.	 Степень размытия нечеткого множества 39
2.3.	 Применения степени размытия 45
2.3.1. Применение степени размытия в задачах обработки 
изображений 
45
2.3.2. Применение степени размытия для анализа согласованности 
позиций экспертов в задачах принятия решений 50
2.4.	 Задачи 53
Глава 3. Обобщение операций над нечеткими множествами 56
3.1.	 Понятия треугольной нормы и конормы 56
3.2.	 Треугольные нормы и копулы 60
3.3.	 Нечеткое отрицание 
61
3.4.	 Функциональное описание треугольных норм и инвертора 61
3.5.	 Задачи 63
3

Оглавление
Глава 4. Нечеткие отношения 65
4.1.	 Понятие нечетких отношений и операции над ними 
65
4.2.	 Бинарное нечеткое отношение на декартовом квадрате 69
4.3.	 Специальные виды бинарных нечетких отношений 73
4.3.1. Нечеткие отношения порядка73
4.3.2. Нечеткие отношения подобия и различия 75
4.3.3. Нечеткое отношение сходства 76
4.4.	 Кейс: анализ нечеткого отношения согласованности 
рекомендаций финансовых аналитиков 78
4.5.	 Задачи 80
Глава 5. Принцип обобщения и нечеткие числа 83
5.1.	 Функция принадлежности сложных нечетких множеств 83
5.2.	 Понятие нечетких чисел и операции над ними 87
5.3.	 Нечеткие функции, уравнения, системы 
97
5.4.	 Задачи  104
Глава 6. Числовые характеристики и расстояние между нечеткими числами  107
6.1.	 Числовые характеристики нечетких чисел  107
6.2.	 Метрики на множестве нечетких чисел 
 110
6.2.1. Метрики на основе расстояний между a-срезами нечетких 
чисел 110
6.2.2. Метрики на основе расстояний между функциями, 
описывающими нечеткие числа 112
6.2.3. Расстояния на основе числовых характеристик нечетких 
чисел 113
6.2.4. Нечеткое расстояние между нечеткими числами 114
6.2.5. Расстояние между дискретными нечеткими числами 
на основе решения транспортной задачи 116
6.3.	 Задачи  119
4

Оглавление
Глава 7. Сравнение нечетких чисел 
 121
7.1.	 Сравнение случайных величин  121
7.2.	 Сравнение нечетких чисел с помощью индекса ранжирования  124
7.3.	 Ранжирование нечетких чисел, основанное на сравнении 
с эталоном  127
7.4.	 Ранжирование нечетких чисел, основанное на вычислении 
индекса парного сравнения 
 129
7.5.	 Некоторые кейсы применения нечетких чисел  133
7.5.1. Применения нечетких чисел в сетевом анализе 133
7.5.2. Применения нечетких моделей к прогнозированию 
волатильности 140
7.6.	 Задачи  143
Глава 8. Некоторые обобщения понятия нечеткого множества  145
8.1.	 Интервальнозначные нечеткие множества и нечеткие 
множества 2-го типа 
 145
8.2.	 Интуиционистские нечеткие множества  147
8.3.	 Нечеткие случайные величины  151
8.4.	 Эпистемологическая и онтологическая точки зрения 
на понятие нечеткого множества  153
8.5.	 Задачи  154
Глава 9. Нечеткая оптимизация  157
9.1.	 Неразмытые и нечеткие задачи оптимизации 
 157
9.2.	 Нечеткое линейное программирование 
 162
9.3.	 Задачи  165
Глава 10. Нечеткая регрессия  167
10.1.	 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов  167
5

Оглавление
10.2.	Линейная регрессия с нечеткими параметрами.  
Возможностная модель  170
10.3.	 Линейная регрессия с нечеткими данными.  
Метрическая модель  175
10.4.	Задачи  179
Глава 11. Многокритериальное принятие решений при нечетких данных  181
11.1.	 Общая постановка задачи многокритериального принятия 
решений при нечетких данных  181
11.2.	 Модель взвешенной суммы  183
11.3.	 Модель взвешенного произведения 
 188
11.4.	 Метод TOPSIS  189
11.5.	 Задачи  194
Глава 12. Нечеткая классификация и кластеризация  196
12.1.	 Нечеткая классификация  196
12.1.1. Постановка задачи классификации 196
12.1.2. Нечеткая классификация: нечеткие классы и четкие образы 197
12.1.3. Нечеткая классификация: нечеткие классы и нечеткие образы 203
12.2.	Нечеткая кластеризация 207
12.2.1. Неразмытая кластеризация. Алгоритм k-средних 207
12.2.2. Нечеткая кластеризация. Нечеткий алгоритм c-средних208
12.2.3. Нечеткий алгоритм Густафсона — Кесселя 
211
12.2.4. Возможностный нечеткий алгоритм c-средних 213
12.3.	Задачи  215
Глава 13. Элементы нечеткого логического вывода 
 217
13.1.	 Логические неразмытые и нечеткие высказывания 
 217
13.2.	Нечеткая импликация 
 218
6

Оглавление
13.2.1. Определение нечеткой импликации через нечеткие замещения 
логических связок 
218
13.2.2. Аксиоматическое определение нечеткой импликации 
221
13.3.	Нечеткие и лингвистические переменные  221
13.4.	Нечеткие высказывания 224
13.5.	Нечеткие правила дедуктивного вывода 
225
13.6.	 Нечеткое моделирование 
234
13.7.	 Применения нечетких правил вывода к прогнозированию 
волатильности 242
13.8.	Задачи 245
Список обозначений 248
Литература  251
Предметный указатель 259

Предисловие
Теория нечетких множеств за свою более чем 50-летнюю историю стала важной инструментальной частью прикладных исследований в самых разных научных 
направлениях и приложениях. Такая всевостребованность обусловлена, с одной 
стороны, тем, что сами данные, которыми мы оперируем, по большей части точно 
нам неизвестны, а нечеткость представляет одну из моделей описания таких 
данных. Эта суть так называемого эпистемологического подхода, в котором нечеткость связана со степенью нашего незнания о принадлежности элемента 
множеству. Другой, так называемый онтологический подход рассматривает нечеткость как один из атрибутов нашего мира. Например, такие качественные 
понятия, как «высокий», «богатый» и т.д., не связаны с нашим неполным знанием 
об объекте или явлении, но их удобно моделировать с помощью понятия нечеткого 
множества.
В учебных курсах по теории нечетких множеств условно можно выделить 
базовую часть, которую можно излагать с той или иной степенью подробности 
и доказательности, прикладную часть и (возможно) некоторые обобщения классических нечетких моделей (нечеткие случайные величины, интуиционистские 
нечеткие множества и т.д.). В настоящее время курсы, в которых изучаются основы 
теории нечетких множеств и их применение к решению прикладных задач, включаются в программы учебных дисциплин, как бакалаврского, так и по большей 
части магистерского уровня, совершенно разных направлений подготовки. В российских вузах такие курсы широко представлены в образовательных программах, 
связанных с управлением в технических системах, с автоматизацией промышленных и транспортных систем, с информационными системами и т.д., что отражает традиции советской и российской научных школ по теории нечетких множеств. Соответственно, довольно много и учебных пособий, в которых рассматриваются как элементы нечетких множеств, так и прикладные задачи, связанные 
с указанными направлениями подготовки. Для этих направлений востребованы 
прежде всего такие разделы, как нечеткая логика, нечеткие правила вывода, нечеткие системы, а также конкретные инженерные приложения.
Значительно реже теория нечетких множеств встречается в образовательных 
программах подготовки специалистов по экономике, социологии, политологии 
и т.д., т.е. в традиционно «вышкинских» направлениях подготовки. Причины 
этого связаны, скорее всего, с засильем идеологии в экономической и гуманитарных науках в советское время и в последующем ресурсном и кадровом провале 
8

Предисловие
в российской науке. Только в последние 15–20 лет стали появляться как серьезные 
прикладные исследования, связанные с применением нечетких множеств в экономической и гуманитарных науках, так и соответствующие курсы учебных дисциплин.
На наш взгляд, при анализе экономических, социологических, политологических данных должны быть востребованы модели «не-факторов» (нечеткости, 
неопределенности, неточности и т.д.), поскольку такие данные зачастую несут 
отпечаток нерационального поведения, манипулирования, наличия «черных 
лебедей» и т.д. и в результате уже не обладают «хорошими» статистическими 
свойствами. А для их анализа уже недостаточно использовать только техники, 
основанные на методах математической статистики.
Другой важной тенденцией последних десятилетий, которая не могла не отразиться на развитии теории и прикладных аспектах исследований по нечетким 
множествам, стала тотальная цифровизация всех сфер жизни. Это, в частности, 
привело к возможности и необходимости оперирования огромными массивами 
данных. В связи с этим бурно развивается научное направление «Наука о данных» 
(Data Science). Данные, которыми приходится оперировать, могут быть плохо 
структурированными, неполными, неточными, искаженными и т.д., поэтому 
в последнее время оказались остро востребованными модели обработки и анализа 
таких данных. Эта тенденция привела к развитию в теории нечетких множеств 
направлений, которые ориентированы на данные. Но пока в учебной российской 
литературе (как и в работах российских исследователей) разделы, связанные как 
с применением нечетких методов к обработке и анализу данных, так и с обработкой нечетких данных, отражены, на наш взгляд, недостаточно. В пособии предпринята попытка хотя бы частично восполнить этот недостаток. В частности, 
в нем рассмотрены такие прикладные разделы, связанные с обработкой и анализом нечетких данных, как нечеткая регрессия, нечеткая классификация и кластеризация, нечеткий сетевой анализ и т.д.
Другая прикладная направленность данного пособия связана с применением 
нечетких математических моделей в задачах принятия решений. Этому посвящены 
разделы сравнения и ранжирования нечетких данных, нечеткой оптимизации, 
многокритериального принятия решений с нечеткими данными, нечеткого логического вывода. По мнению авторов, анализ данных и принятие решений являются двуединой составляющей использования информации: анализ данных 
осуществляется для принятия решений, а принятие решений немыслимо без 
анализа данных. Поэтому выбранная прикладная направленность пособия вполне 
обоснованна. Кроме того, инструментарий нечетких множеств дает возможность 
9

Предисловие
использовать элементы принятия решений при анализе данных. Например, с помощью нечеткого логического вывода экспертная информация (принятие решений) может быть использована в задачах прогнозирования данных. Соответствующие кейсы также рассмотрены в данном пособии.
В советской научной литературе были две «настольные» книги для специалистов по нечеткой математике: переводная книга известного специалиста 
по теории нечетких множеств А. Кофмана (A. Kaufmann) [Кофман, 1982], которая 
вышла на русском языке в 1982 году (оригинальное издание 1977 года), и книга 
[Нечеткие множества…, 1986] под редакцией Д.А.  Поспелова, вышедшая 
в 1986 году. Конечно, с тех пор исследования по теории нечетких множеств ушли 
далеко вперед, сместились некоторые акценты, изменился язык изложения материала и т.д. Среди зарубежной учебной литературы по нечеткой математике 
можно порекомендовать прежде всего два издания: книгу [Klir, Yuan, 1995], которая по стилю изложения, соотношению между строгостью и наглядностью, 
широте охвата прикладных разделов является, на наш взгляд, образцом учебного 
пособия, и книгу [Wang et al., 2009], которая в большей степени заинтересует 
математиков и поклонников строгого и доказательного стиля изложения. В качестве дополнительной литературы к отдельным разделам данного пособия можно 
порекомендовать монографии [Lee, 2005] (простой, но широкий по охвату приложений курс), [Liu, Pedrycz, 2009] (сильно математизированный, строгий по изложению курс с минимумом приложений), [Ekel et al., 2010] (принятие решений 
с нечеткими данными), [Siler, Buckley, 2005] (нечеткие экспертные системы 
и нечеткий вывод), [Wolkenhauer, 2001] (нечеткие модели анализа данных).
Данное учебное пособие написано на основе материалов курса «Нечеткость 
и неопределенность в анализе данных и принятии решений», который авторы 
читают магистрам программы «Науки о данных» факультета компьютерных наук 
на протяжении нескольких последних лет. Подытоживая, можно указать следующие отличия этой книги от других ранее публиковавшихся изданий по теме 
нечетких множеств:
•
•
ориентация рассматриваемого теоретического материала как на задачи анализа 
данных, так и на задачи принятия решений;
•
•
адресация пособия широкому кругу «вышкинских» читателей — ​
студентам, 
аспирантам и преподавателям образовательных программ, как непосредственно 
связанных с анализом данных (прежде всего на факультете компьютерных 
наук), так и использующих анализ данных и принятие решений в своих исследованиях, — ​
бизнес-информатикам, экономистам, финансовым аналитикам, политологам и т.д.;
10