Математика в примерах и задачах для подготовки к ЕГЭ и поступлению в ВУЗ

Л.Т. ЯЧМЕНЁВ





                МАТЕМАТИКА
                В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ




        ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ И ПОСТУПЛЕНИЮ В ВУЗ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Второе издание, дополненное



Электронноznanium.com

Москва ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК ИНФРА-М 2022

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
Я95

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке  
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

         Рецензенты:
         В.А. Колемаев, д-р экон. наук;
         В.И. Ракитин, канд. физ.-мат. наук




        Ячменёв Л.Т.
Я95 Математика в примерах и задачах для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вуз : учеб. пособие / Л.Т. Ячменёв. — 2-е изд., доп. — Москва : Вузовский учебник : ИНФРА-М, 2022. — 336 с.


         ISBN 978-5-9558-0401-9 (Вузовский учебник)
         ISBN 978-5-16-010693-9 (ИНФРА-М, print)
         ISBN 978-5-16-102600-7 (ИНФРА-М, online)


         Приводятся краткие сведения из теории и дается решение задач различной трудности, рекомендуются задачи для самостоятельного решения.
         Пособие предназначено для тех, кто заканчивает школу и решил поступить в вуз, а также может быть полезно учителям и слушателям подготовительных курсов.

                                                  УДК 51(075.8)
                                                  ББК 22.1я73



ISBN 978-5-9558-0401-9 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-010693-9 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102600-7 (ИНФРА-М, online)


© Вузовский учебник, 2015

Подписано в печать 10.07.2015. Формат 60x90/16. Печать цифровая. Бумага офсетная Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 21,0. Уч.-изд. л. 16,82. ПТ10.
ТК 488650-500649-100715
ООО «Издательский дом «Вузовский учебник»
127247, Москва, ул. С. Ковалевской, д. 1, стр. 52 www.vuzbook.ru
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
             E-mail: books@infra-m.ru         http://www.infra-m.ru
Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
             Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

  ПРЕДИСЛОВИЕ



   Поступившие в вуз вчерашние школьники, которые имеют твердые систематические знания по математике, как правило, с интересом занимаются на математике в вузе и получают хорошие знания по этой и смежным учебным дисциплинам.
   Данное пособие предназначено для того, чтобы школьник, решивший поступить в вуз, мог в систематической форме обновить и углубить свои знания по математике.
   Материал школьной математики изложен в главах I-VII. Каждая глава содержит сведения по теории, подробный разбор задач различной трудности, задачи для самостоятельного решения. Задачи с решениями даны в порядке возрастания их трудности, с тем чтобы при разборе несложных задач вспомнить и твердо усвоить теоретические положения и затем разбирать более трудные задачи. После каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения.
   Рекомендуется работать с материалом пособия в предложенной последовательности глав. Ясно, что, например, изучение уравнений и неравенств прежде изучения тождественных преобразований не будет достаточно эффективным.
   Глава VIII содержит 28 вариантов контрольных заданий по учебному материалу, изложенному в главах I-VII. Первые восемь вариантов даны с решением, для остальных даны ответы. Выполнение контрольных заданий позволит не по кусочкам, а в полном объеме овладеть учебным материалом глав I-VII и, кроме того, подготовит к изучению главы IX, в которой изложены методы решения задач с параметрами - задач повышенной трудности.
    . - -
   Автор надеется, что тот, кто захочет обновить и углубить свои знания по школьной математике, с тем чтобы не только успешно сдать единый государственный экзамен, но и успешно заниматься по математике в вузе, найдет в данном пособии необходимый учебный материал.

3

Глава I



            Тождественные преобразования



§1

   Два математических выражения называются тождественными, если они имеют одну и ту же числовую величину при любых допустимых числовых значениях входящих в них букв.
   Например два выражения М\ = logfₗ L + logfₗ N и
   ⁼ logo LN — являются тождественными, так как имеют одну и ту же числовую величину при любых числовых значениях Z, N и а, удовлетворяющих условиям: £ > 0 и 7V> 0; 0>ОиЛ£ 1.
   Два математических выражения, соединенных знаком “равно” (=), называют равенством. Если обе части равенства есть тождественные выражения, то такое равенство называется тождеством.
   Замена математического выражения другим, тождественным ему выражением, называется тождественным преобразованием данного выражения

Тождественные преобразования рациональных выражений

   Рациональным выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных при помощи действий сложения, вычитания, умножения и деления.
   Если рациональное выражение не содержит действия деления на выражения, содержащие переменные, то оно называется целым рациональным выражением или многочленом.
   Если рациональное выражение содержит действие деления на выражения, содержащие переменные, то оно называется дробным.
Разложение многочленов на множители________________________
   Под разложением многочлена на множители понимается представление его в виде произведения многочленов. При этом используются способ вынесения множителей за скобку, способ группировки, формулы сокращенного умножения.
   Формулы сокращенного умножения:
               (а + ЬУ = а² + 2ab + b²,               (1)
               (а — b)² = а² — 2аЬ + Ь²,              (2)
               а² - Ь² = (а - Ь) (а + Ь),             (3)

4

                (a 4- />)³ = a³ 4- 3a²b +3ab² 4- ZP,     (4)
                (a — b)³ = a³ — 3a²b +3ab² — b³,         (5)
                a³ 4- b³ = (a 4- b)(a² — ab + b²).       (6)
                a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²).         (7)
   Эти формулы широко используются в различных преобразованиях и вычислениях.
   Разложить на множители:
   1) ах² 4- Ьх² — Ьх ~ ах + ^4- 1х
   Решение
   Сгруппируем одинаково подчеркнутые члены и вынесем за скобку общий множитель в каждой группе:
(ах² 4- Ьх²) — (Ьх +ах) + (а + Ь) = х² (а + Ь) — х (а + Ь) + (а 4- Ь).
   Такая группировка имеет смысл, так как мы получили общий множитель (а 4- Ь) в каждом слагаемом. Вынесем его за скобки:
      х² (а 4- Ь) — х (а 4- Ь) 4- (а 4- Ь) = (а 4- Ь) (х² — х 4-1).
   2) х² — х — 12.
   Решение
   Воспользуемся известным тождеством ОХ²+Ьх+с— а(х~Х\ )(х~Х'2), где Х\ и %2 — корни квадратного трехчлена ах² 4- Ьх 4- с.
   Данный трехчлен имеет корни Xi ⁼ 4, Х2 ⁼ “ 3. Поэтому х² - X- 12 = (х- 4) (х + 3).
   3) х² 4- lOxj; - 70у - 49.
   Решение
   Сгруппируем слагаемые по два:
         х² 4- 10хт — 70у — 49 = (х² — 49) 4- (Юху — 70у).
   В первой скобке — разность квадратов, поэтому воспользуемся формулой (3), а из второй скобки вынесем общий множитель:
     (х² - 49) + (Юху - 70у) = (х - 7) (х + 7) + Юу (х -7 ).
   Теперь вынесем за скобку общий для двух слагаемых множитель (х - 7):
       (х - 7) (х + 7) + Юу (х - 7 ) = (х - 7)(х + Юу + 7).
   4)  2о²6 + 4аЬ^ ~ а^с + ас² — 4b^c_ + 2bcf_ — Aabc. Решение
   Сгруппируем одинаково подчеркнутые слагаемые, а затем в

5

каждой группе вынесем за скобку общий множитель:
       (2a²b + 2bc² — 4abc) + (4аЬ² — 4Ь²с) — (а²с — ас²) =
        = 2Ь {а² — 2ас + с²) 4- 4Z*² (а — с) — ас (а — с) =
= 2Ь (а — с)² + 4b² (а — с) — ас (а — с).
   Проведенная группировка оправданна, так как в каждом слагаемом мы получили общий множитель (а — с). Вынесем его за скобку и разложим на множители многочлен, полученный во второй скобке:
   2b(a—c)² + 4b²(a—c) —ac(a—c)=(a—c)(2ab ~ 2Ьс^+ 4И² —ас) = = (a- c)[2b (а + 2b) - с (2Ь + л)] = (а ~ с)(а + 2Ь)(2Ь - с).
Тождественные преобразования дробных рациональных выражений
   Любое дробное рациональное выражение можно упростить, т. е представить в виде тождественной ему несократимой алгебраической дроби*, (дроби, у которой в числителе и знаменателе записаны некоторые многочлены, не имеющие общих делителей). Это достигается при помощи сложения, вычитания, умножения, деления и сокращения алгебраических дробей.
   5) Упростить выражение
Г2а + 10 130 -а 30 За³ + 8а²-За
За - 1   1 - За a J 1 - - а²
4
   Решение
   а) Выполним действия в скобках:
   2а+ 10 130-а 30 о
    За - 1   1 - За а
   _ 2а² + 10а - 130а + а² - 30 + 90а - 9а² + За а(3а - 1)
   ₌ -6а² -27а-30 ₌ ~з(2а² + 9а + ю) ₌ _₃(о ₊       + 5)
а(3а - 1)         а(3а - 1)          а(3а - 1)
   Квадратный трехчлен 2а^ +9а +10 разложим на множители:
        2а² + 9а + 10 = 2(а + 2)^а + = (а + 2)(2а + 5).



  При всех системах значений переменных, допустимых для данного и дль преобразованного выражений, их значения одинаковы.

6

   Корни трехчлена Oj— ~2, <22—5/2 нашли, решив уравнение 2а² +9а +10 =0.
                       За³ + 8а² - За
   б) Преобразуем дробь -—■—•-—-------, разложив на множители
1-1»²
                              4 числитель и знаменатель:
      За³ + 8а² - За ⁴fl(³fl² + ⁸fl ~ ³) 4а(а + 3)(3а -1)
        1*2         ”     4-а²        " (2 + а)(2-а) '
             4
   Трехчлен Зя²+8я — 3 имеет корни а\ = —3, #2 ⁼ 1/3, поэтому За² + 8а - 3 = 3(а + 3)^а -        = (а + 3)(3а - 1).
   в) Окончательно получим
-3(а + 2Х2а + 5) 4а(а + ЗХЗа -1) _ 12(2а + 5Ха + 3) а(3а -1)            (2 + аХ2 - а)         а - 2
   Данное дробное рациональное выражение тождественно полученной несократимой дроби для всех а, кррме а — 1/3, а =0, а = 2, а = —2. При указанных значениях а данное выражение не определено.


§2

Тождественные преобразования выражений, содержащих степени и корни


Возведение в степень
   Пусть П — натуральное число. П-й степенью числа а называется произведение п сомножителей, каждый из которых есть число а, т. е. ап = ах а х...а, при п > 1 и а\—а при /1=1.
        п раз
   Свойства степеней:
                        а^а” = ат⁺п,                        (8)
                        ат
                        — =ат-п,                            (9)
                        а"
                        (ат)л = атп,                        (10)
                        (ab)ⁿ = апЬп,                       (11)

7

Г _ °"
I ~V'

a ~b

(12)

  Следует помнить правило знаков:
(-1)2/> = ₁; (-1)2л+1 =

  6)  Выполнить действия:

                   а) 0,5х" • у¹'п ■ 0,6 х³ • у²⁺п;
6)1 —<7х⁺| • b . - - а • У’;
2           3



   Решение.
   а) На основании свойства (8)
   0,5хл - у[~п • 0,6 х³ * у²⁺п = 0,5 • 0,6 • хп⁺³ • y¹-«⁺²⁺« = = 0,3 х"⁺³ • у³;
   6) 11 . ах⁺¹ . b - -а ■ Ьх-' = - • - • «х⁺|⁺| • />|⁺х-' =
          2             3           2   3
        = ах⁺² • Ьх;
   в)    Используя свойства (10) и (12), а также правило знаков, получим
( 5апЬт\ _ 5³а³л • Ь³т
                   ₖ Зср ) З³ • с³р ’
   7) Представить в виде степени с одним основанием:.


а) 7х"² • 49;

      Cl Vх 1
  б⁾ k ■ST; в) 3^-27.
      \ э J о 1

Решение

8

  8)  Разложить на множители:
  а)  а⁴т - Ь²п~ б) а³п + Ь³т- в) хл⁺² + х"⁺|.
  Решение
   а)    На основании свойства (10) рассмотрим а^т как (я²/л)², а №п как (б'¹)². Затем воспользуемся формулой (3)
        С^т _ fin ₌ (fₗ2/n)2 _ (£")2 = (fim _     ₊ fiy

   Рассмотрим а³п как (д'¹)³, а Ь^т как (Z^)³. Далее воспользуемся формулой (6)
а3п + firn = (апу + (£/и)3 = (ап + fii} (fin _ ₐnfrn ₊ fin};

  в)  Вынесем за скобку общий множитель
                   д/Н-2 + угН = yi+1 (х₊

  9)  Вычислить:
14³ • 18⁴ • 16²
49² • 27³ • 64³ ’
  Решение
   Представим каждую степень в числителе и знаменателе в виде степеней простых чисел, а затем сократим дробь:
  14³ ■ 18⁴ • 16² _ 2³ • 7³ • 2⁴ • З⁸ • 2⁸ _      1    _ 1
  49² ■ 27³ • 64³ ~ Т • З⁹ • 2¹⁸           " 7 • 3 • 2³ " 168 '
  10)  Сократить дробь:
        Л⁺¹ _ хп-\         fₗ2«₊3 _ а2п
         х - 1   ’ б) о"⁺² + ал⁺| + а"
  Решение

а)



б)

х"⁺| - х”-' _ х"’'(х² - 1) _ хл⁻¹ (х - 1)(х + 1)
Х-1          X-1            х-1
= хл-'(х +1);

        Q2”+3_fₗ2„  _  q²”(q³ -1)  _

ал⁺²+ал⁺|+сл йл(я²+а + 1)

а²л(с - 1)(а² + а +1) ап{а² + а + 1)

= ал(о-1).

9

Преобразование иррациональных выражений
   Число X, П-я степень которого равна а , называется корнем П-й степени из числа а . Обозначение:
х = у[а.
   Если в данном выражении некоторая переменная находится под знаком корня, то это выражение называется иррациональным относительно этой переменной.
   Корень называется арифметическим, если он извлекается из неотрицательного числа а и сам является числом неотрицательным.
   Тождественные преобразования арифметических корней выполняются на основании следующих правил:
              tfab = tfa • y[b, с > 0, h > 0*> ;       (13)
              £ =                а > 0, 6>0;           (14)
              \Ь ч[ь
              (Ч[а/= №,          о>0;                 (15)
а > 0;                 (16)
              $/а=пу[а,          а>0;                 (17)
= аЯГЬ,     a>0,b>0.              (18)
   Корень четной степени из отрицательного числа не существует. Например, не имеют смысла символы -\/—9, у/—64.
   Действие извлечения корня нечетной степени однозначно выполнимо при любом а , положительном и отрицательном.
   При этом ²ку[-а = -²ку[а, к g Z   Существуют два корня четной степени из положительного числа, одинаковых по абсолютной величине, но разных по знаку. Например, у/16 равен 2 и “2.
   Чтобы устранить двузначность, условились под корнем четной степени из положительного числа подразумевать арифметический корень.
   Таким образом: если а > 0, то согласно определению корня
      = а; это основное тождество остается в силе и для отрица
   Символы “ >, < ” означают нестрогое равенство.

10