Модели финансового рынка и прогнозирование в финансовой сфере

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - МАГИСТРАТУРА серия основана в 1 996 г.


   А.И. НОВИКОВ


МОДЕЛИ ФИНАНСОВОГО РЫНКА И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ В ФИНАНСОВОЙ СФЕРЕ
        УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

znanium.com

Москва ИНФРА-М 2022

УДК 336(075.8)
ББК 65.23+65.261я73
      Н73

ФЗ № 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

      Рецензенты:
          В.Е. Поляк, генеральный директор корпорации «Диполь», канд. физ.-мат. наук, член-корреспондент Международной академии информатизации;
          М.В. Дуброва, канд. экон. наук, проф., заведующая кафедрой финансов и статистики Российского университета кооперации

      Новиков А.И.
Н73 Модели финансового рынка и прогнозирование в финансовой сфере : учебное пособие / А.И. Новиков. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 256 с. — (Высшее образование: Магистратура). — DOI 10.12737/924.
        ISBN 978-5-16-005370-7 (print)
        ISBN 978-5-16-100161-5 (online)
        Рассматриваются модели финансового рынка и прогнозирование в финансовой сфере.
        Отдельные темы посвящены финансовой математике, теории принятия рисковых решений, методам снижения риска, в том числе хеджированию риска с помощью опционов, а также анализу финансовой устойчивости и риска фирмы на основе эффекта рычага.
        По всем темам приведено большое число примеров с подробным решением.
        Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических вузов.

УДК 336(075.8)
ББК 65.23+65.261я73


ISBN 978-5-16-005370-7 (print)
ISBN 978-5-16-100161-5 (online)



© Новиков А.И., 2014

Подписано в печать 09.04.2020.
Формат 60x88/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton.
Усл. печ. л. 16,0. ПТ10.
ТК 248400-1095733-250813
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
               Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru          http://www.infra-m.ru
Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
               Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ТЕМА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РИСКОВЫХ РЕШЕНИЙ





1.1. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ПОСТАНОВКА ПРИНЯТИЯ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
   В общем случае под, риском в экономике понимают возможность отклонения фактических результатов проводимых финансовохозяйственных операций от ожидаемых (прогнозируемых). При этом под результатом (эффективностью) финансовой операции обычно понимают ее доходность, прибыль, дивиденды и т.п. Чем шире диапазон возможных отклонений, тем выше рискданной операции.
   Риск и доходность, как правило, изменяются в одном направлении: чем выше доходность, тем больше риск.
   Количественная оценка риска финансовой операции возможна только при известной вероятностной характеристике множества исходов операции.
   Случайной называется величина, которая в зависимости от случая может принимать то или иное заранее неизвестное значение из некоторого множества возможных значений.
   Случайная величина будет полностью определена, если указаны не только возможные ее значения, но и соответствующие им вероятности (закон распределения случайной величины). Для дискретной случайной величины % этот закон задается в виде таблицы, в которой перечисляются все ее возможные значения (х₍) и их вероятности (р[), при этом ^рₜ = 1.
   Однако для решения многих практически важных задач часто бывает достаточно знать лишь числовые характеристики случайной величины; важнейшие из них:
♦ математическое ожидание
м=Х х>р>;
♦ дисперсия
о² = D = £(xₜ -М)²Pᵢ;
♦ среднее квадратическое отклонение

        о = Dd.


з

   Математическое ожидание М случайной величины — это среднее ее значение, оно не позволяет достаточно обоснованно принять решение в пользу какого-либо варианта. Для окончательного решения необходимо измерить колеблемость показателей, т.е. степень их отклонения от ожидаемого значения.
   Дисперсия о² и среднее квадратическое отклонение о являются мерами колеблемости {разброса) случайной величины, при этом о выражена в тех же единицах измерения, что и случайная величина.
   Принято считать, что риском операции является число о — среднее квадратическое отклонение случайной величины (например, дохода). Чем больше о, тем рискованнее операция; если о = 0, то риск полностью отсутствует. Например, в условиях стабильной экономики операции с государственными ценными бумагами считаются безрисковыми.
   Еще одним полезным показателем, применяемым при анализе рисков, является коэффициент вариации:

V = --100%.
м


   Коэффициент вариации — относительный показатель, поэтому с его помощью можно сравнивать колеблемость признаков, выраженных в разных единицах измерения. Чем больше коэффициент вариации, тем сильнее колеблемость.


Пример 1.1
   Сравним по риску вложения акции трех типов А, В, С, если каждая из них по-своему откликается на возможные рыночные ситуации, достигая с известными вероятностями определенных значений доходности, заданных в таблице:

 Тип         Ситуация 1                Ситуация 2         
акции Вероятность Доходность, % Вероятность Доходность, %
А        0,50         20,0         0,50         10,0     
В        0,99         15,1         0,01          5,1     
С        0,70         13,0         0,30          7,0     

^ Для акции А находим:

            МА = 20-0,5 + 10-0,5=15%;
            с\ = (20 -15)² • 0,5 + (10 -15)² • 0,5 = 25;

о А = >/25 = 5%;

VA = — -100% = 33,3%.

4

   Для акции В находим:
               МВ=15,1-0,99 + 5,1-0,01=15%;
               о В = (15,1 -15)² • 0,99 + (5,1 -15)² • 0,01 = 0,99;

                     I----       „      0.995    „ ,
               а в = Д99 = 0,995%; VB =       -100% = 6,6%.

   Для акции С находим:
               Мс= 13-0,7 + 7-0,3=11,2%;
               оС = (13 -11,2)² • 0,7 + (7 -11,2)² • 0,3 = 7,56;

                     г—      _ ,        2.75     ,     , ,
               о с = 7756 = 2,75%; Vc = —-100% = 24,6%.
с N                 с 11,2
Так как наименьшее значение коэффициента вариации имеем для акции В, то и вложения в эту акцию наиболее предпочтительны, тем более что и оВ = 0,995% наименьшее.

    Пример 1.2

   Пусть имеются два инвестиционных проекта. Первый с вероятностью 0,6 обеспечивает прибыль 15 млн руб., однако с вероятностью 0,4 можно потерять 5,5 млн руб. Для второго проекта с вероятностью 0,8 можно получить прибыль 10 млн руб. и с вероятностью 0,2 потерять 6 млн руб. Какой проект выбрать?
   ▼ Составляем следующую таблицу распределения:

          Проект 1                      Проект 2            
Вероятность Прибыль, млн руб. Вероятность Прибыль, млн руб.
    0,6            15             0,8            10        
    0,4           -5,5            0,2           ---6       

    Первый проект:
       М₁ = 0,6-15 + 0,4-(-5,5) = 6,8;
       О² = 0,6 • (15 - 6,8)² + 0,4 • (-5,5 - 6,8)² = 100,8; о₁ = 7100,8 = 10,03.


   Второй проект:
      М₂ = 0,8-10 + 0,2-(—6) = 6,8;
      о! = 0,8• (10 - 6,8)² + 0,2 • (-6 - 6,8)² = 40,96; о₂ = 740,96 = 6,4.

   Оба проекта имеют одинаковую среднюю прибыль, равную 6,8 млн руб., однако среднее квадратическое отклонение прибыли для первого проекта равно 10,03 млнруб.,адлявторого — 6,4 млнруб.,поэтомупредпочтителен второй проект.

5

   Приведенные ниже утверждения о риске являются следствиями соответствующих утверждений о дисперсии и среднем квадратическом отклонении из теории вероятностей.
1. При увеличении масштаба операции в к раз, т.е. при увеличении всех значений случайного дохода в к раз, дисперсия операции увеличивается в к² раз, а риск — в |к| раз.
2. При изменении всех доходов на одно и то же постоянное число дисперсия и риск операции не изменяются.
3. Пусть операции Q₁ и Q₂ некоррелированы, тогда дисперсия их суммы равна сумме дисперсий, следовательно, риск суммы операций равен о = -Jo² +о₂ ■ Напомним, что случайные величины X и ^называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю.
4. В общем случае для двух произвольных операций Q₁ и Q₂ риск суммарной операции равен о = 7°i + оЗ + Зо^Ры, где р₁₂ — коэффициент корреляции случайных доходов операций.
Пример 1.3
   Рассмотрим две вероятностные операции, заданные в виде матрицы, где верхняя строка содержит исходы, а нижняя — их вероятности:
(-5   25 А (15 25 А
Q,:I         ; Q₂: I        ■
¹ 10,01 0,99/ ² 10,5 0,5j

   Пусть операции Q₁ и Q₂ некоррелированы. Найдем риск операции: Q = (Q₁ + Q₂)/2 (например, денег не хватит на проведение обеих операций в полном объеме).
   ▼ Найдем сначала математические ожидания, дисперсии и риски первой и второй операций:
      М₁ = 0,01-(-5) + 0,99-25 = 24,7;
      о² = 0,01- (-5 - 24,7)² + 0,99 • (25 - 24,7)² = 8,91; о₁ = 7891 = 2,98;
      М₂ = 20; о² = 25; а₂ = 5.
Первая операция менее рискованная.
   Риск операции Q равен о = л/2,98² + 5² / 2 = 2,91.
   Выбор оптимального решения с помощью доверительных интервалов. Если результаты экономической деятельности (прибыль, доход и т.п.) как случайные величины подчиняются нормальному закону, то с вероятностью 0,997 (практически достоверно) возможные значения случайной величины лежат в пределах М+ 3а, т.е.
М -3а<Х <М+ 3а.

6

    Пример 1.4

   Акционерному обществу предлагают два рискованных проекта:

            Проект 1                          Проект 2              
Вероятность       Наличные        Вероятность       Наличные       
  события   поступления, млн руб.   события   поступления, млн руб.
    0,2              40               0,4               0          
    0,6              50               0,2              50          
    0,2              60               0,4              100         

   Учитывая, что фирма имеет долг в 80 млн руб., какой проект должны выбрать акционеры и почему?


   ▼ Проект 1:
         М₁ = 0,2 • 40 + 0,6 • 50 + 0,2 -60 = 50 млн руб.;

         ^! = ^0,2 • (40 - 50)² + 0,6 • (50 - 50)² + 0,2 • (60 - 50)² = 6,32.

   Проект 2:
         М₂ = 0,4-0 + 0,2 • 50 + 0,4 • 100 = 50 млнруб.;

         а₂ = ^0,4 • (0 - 50)² + 0,2 • (50 - 50)² + 0,4 • (100 - 50)² = 44,72.

   Как видно из вычислений, математические ожидания Мдля обоих проектов оказываются равными, но о₁ < о₂, т.е. проект 2 является более рискованным. Казалось бы, без сомнений нужно выбрать проект 1. Однако не следует упускать из виду представленное в условиях задачи указание, что фирма имеет фиксированные платежи по долгам 80 млн руб., этот факт может изменить решение на противоположное.
   Если предположить доходность Q по проектам 1 и 2 распределенной по нормальному закону, то с вероятностью 0,997 возможные значения выигрышей и платежей окажутся в следующих диапазонах:
   •  проект 1: Q = 50 + 3 • 6,32, или 31,03 < Q < 68,97;
   •  проект 2: Q = 50 + 3 • 44,72, или -84,16 < Q < 184,16.
   При выборе менее рискового проекта 1 акционерное общество может в большей степени преуменьшить свой долг в 80 млн руб., но без дополнительных финансовых источников (условием задачи они не предусмотрены) от долгов оно полностью не освободится.
   Сильно рискуя при принятии проекта 2, акционерное общество (если повезет) может полностью освободиться от долгов, получив при этом еще и немалую прибыль, а при неудаче его ожидает банкротство.
Вывод. Принимая рисковый проект 2, если повезет, можно сразу решить все финансовые проблемы, оставшись еще с прибылью, тогда как, выбрав низкорисковый проект 1, от долгов не уйти ни при каких обстоятельствах.

7

   Некоторые общие измерители риска. В большинстве случаев общие измерители риска — это вероятности нежелательных событий.
   Пусть известна функция распределения F случайного дохода Q, т.е.
F(х ) = Р (Q<x),
где х — некоторое действительное число.
   Зная F(х), можно определить следующие величины:
   1)    вероятностьтого, что доход операции будет меньше заданного дохода s, т.е. риск получения дохода менее заданного:
Р (Q<s ) = F(s);
   2)    вероятность того, что операция окажется неуспешной, т.е. ее доход будет меньше среднего ожидаемого дохода m₍Q:
Р (Q<mQ )=F(mQ);
   3)    вероятность убытков и их средний ожидаемый размер q, т.е. риск убытков и их оценку:
о
Р(Q < 0) = F(0), q = J xdF(х)/F(0);
—ж


   4)    отношение средних ожидаемых убытков q к среднему ожидаемому доходу mQ:
                            о
J xdF(х) q ₌—-_______
то ⁺Г       '
                            J xdF(х)
—ж


   Чем меньше это отношение, тем меньше риск разорения, если ЛПР (лицо, принимающее решение) вложило в операцию все свои средства.
   При анализе операций ЛПР стремится к тому, чтобы доход был как можно больше, а риск — как можно меньше. Такие оптимизационные задачи называют двухкритериальными. При их решении два критерия — доход и риск — часто «свертывают» в один критерий.
   Например, одно и то же значение среднего квадратического отклонения оq, которое измеряет риск операции, воспринимается по-разному в зависимости от величины среднего ожидаемого дохода mQ, поэтому величину оq/mQ иногда называют относительным риском

8

операции (коэффициент вариации). Такую меру риска можно трактовать как свертку двухкритериальной задачи:
                          Wq ^ max, оq ^ min, т.е. максимизировать средний ожидаемый доход при одновременной минимизации риска.
   Риск разорения. Особый вариант риска связан с разорением. Количественной мерой риска разорения является вероятность столь больших потерь, которые ЛПР не может компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разорению.
Пример 1.5
   Пусть случайный доход операции Q имеет следующий ряд распределения:

Q -60 -40 -30 80 
Р 0,1 0,2 0,5 0,2

   Потери в 30 единиц или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, вероятность возникновения риска разорения в результате данной операции равна 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8.
   Степень риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают.
   Определим вероятностную меруразорения, приписывая ей вероятность осуществления подобного события.
Пример 1.6
   Предположим, что на рынке могут возникнуть только два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслучайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующие им значения доходности задаются следующей таблицей:

Акция         Исход 1                   Исход 2           
      Вероятность Доходность, % Вероятность Доходность, %
  А       0,3         6,00          0,7         2,00     
  В       0,2         -1,00         0,8         4,25     

Ожидаемые доходности акций

       МА =6-0,3+2-0,7 = 3,2%, Мв =-1- 0,2 + 4,25 • 0,8 = 3,2% совпадают, а средние квадратические отклонения, т.е. риски, соответственно равны
               о А = 7(6 - 3,2)² • 0,3 + (2 - 3,2)² • 0,7 = 1,83, о в = 7(-1 - 3,2)² • 0,2 + (4,25 - 3,2)² • 0,8 = 1,85.

9

   Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под процент, равный 2,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожидаемой доходности по акциям (3,2%), которые будут приобретены на заемные деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны.
   Однако если инвестор вложил деньги в акции А, то при исходе 2 он проиграет (2 - 2,5) = -0,5%, причем с вероятностью Р₂ = 0,7. Напротив, если он вложит деньги в акции В, то разорение ему грозит с вероятностью Р₁ = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет (-1 - 2,5) = -3,5%.
   Подсчитаем ожидаемые потери (П) при покупке акций А и В соответственно:

ПА = 0,5-0,7 = 0,35, П В = 3,5-0,2 = 0,7.
   Ожидаемые потери ПА < ПВ склоняют инвестора к выбору в пользу акций А, зато риски разорения, оцениваемые через вероятность наступления события, наоборот, при покупке акций А будут больше (0,7 > 0,2).
   Как действовать в подобной ситуации инвестору? Это зависит от его индивидуальных предпочтений, выражаемых в том числе функцией полезности инвестора.
   Показатели риска в виде отношения. Если средства ЛПР равны К, то при превышении убытков У над К возникает риск разорения.
   Для предотвращения этого отношение к ₁ = У/К, называемое коэффициентом риска, ограничивают специальным числом ^₁. Операции, для которых этот коэффициент превышает ^₁, считают особо рискованными. Часто учитывают также вероятность р убытков У и тогда рассматривают коэффициент к₂ =р - У/К, который ограничивают другим числом ^₂ (^₂ < ^₁).
   В финансовом менеджменте чаще применяют обратные отношения К/У и К/(р - У), которые называют коэффициентами покрытия рисков и которые ограничиваются снизу числами 1/^₁ и 1Д₂ соответственно.
   Именно такой смысл имеет так называемый коэффициент Кука, равный отношению

______Собственные средства___
Активы, взвешенные с учетом риска
   Коэффициент Кука используется банками и другими финансовыми компаниями. В роли весов при «взвешивании» выступают вероятности — риски потери соответствующего актива.
   Кредитный риск. Так называется вероятность невозврата в срок взятого кредита.

    Пример 1.7

   Обработка статистических данных показала, что запросы кредитов в банке следующие: 15% — государственные органы; 25% — другие банки;

ю