Полумарковские модели профилактики ненадежной одноканальной системы обслуживания с потерями

А.И. ПЕСЧАНСКИЙ
ПОЛУМАРКОВСКИЕ 
МОДЕЛИ ПРОФИЛАКТИКИ 
НЕНАДЕЖНОЙ ОДНОКАНАЛЬНОЙ 
СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ 
С ПОТЕРЯМИ
МОНОГРАФИЯ
Москва
ИНФРА-М
2022

УДК 519.711.3(075.4)
ББК 22.18
 
П28
Р е ц е н з е н т ы:
Смирнов С.В., доктор технических наук, главный научный сотрудник лаборатории анализа и моделирования сложных систем Института проблем управления сложными системами Российской академии наук – Самарского федерального исследовательского центра Российской академии наук;
Осипенко Г.С., доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Севастопольского филиала Московского государственного 
университета имени М.В. Ломоносова
Песчанский А.И.
П28  
Полумарковские модели профилактики ненадежной одноканальной системы обслуживания с потерями : монография / А.И. Песчанский. — Москва : 
ИНФРА-М, 2022. — 267 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/1870597.
ISBN 978-5-16-017734-2 (print)
ISBN 978-5-16-110399-9 (online)
В монографии исследуются различные стратегии технического обслуживания 
одноканальной системы с потерями и ненадежным восстанавливаемым обслуживающим прибором в предположении общего вида случайных величин, описывающих 
протекающие в системе случайные процессы. Аппаратом построения моделей функционирования системы являются полумарковские процессы с измеримым фазовым 
пространством состояний и алгоритмы фазового укрупнения. В явном виде определяются стационарные вероятностные и экономические показатели системы и решаются 
задачи оптимальной периодичности проведения технического обслуживания прибора.
Для научных работников, инженеров и специалистов в области метаматематической теории надежности, системного анализа. Может быть полезной для аспирантов 
и студентов соответствующих специальностей технических вузов и университетов.
УДК 519.711.3(075.4)
ББК 22.18
ISBN 978-5-16-017734-2 (print)
ISBN 978-5-16-110399-9 (online)
© Песчанский А.И., 2022

 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………………………………………..5 
ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 
ПОЛУМАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ ………………..7 
1.1. Типовые распределения определяющих параметров систем 
 массового обслуживания …………………………………………………………….7 
1.2. Основные понятия теории надежности…………………………………………….17 
1.3. Стратегии технического обслуживания ненадежного прибора ………………….19 
1.4. Задание процесса марковского восстановления в измеримом фазовом 
 пространстве состояний ……………………………………………………………..24 
1.5. Схема построения полумарковской модели системы обслуживания 
и определения ее характеристик …………………………………………………26 
1.6. Стационарное фазовое укрупнение системы ……………………………………...29 
1.7. Сведения из теории восстановления ……………………………………………….31 
1.8. Сведения из теории интегральных уравнений …………………………………….43 
ГЛАВА 2. ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ  
С ОТКАЗАМИ ПРИБОРА …………………………………………………………….47 
2.1. Надежная система обслуживания …………………………………………...................47 
2.1.1. Полумарковская модель системы ………………………………………………..47 
2.1.2. Стационарное распределение вложенной цепи Маркова……………………….50 
2.1.3. Стационарные характеристики системы ………………………………………...52 
2.1.4. Частные случаи параметров системы ……………………………………………57 
2.2. Система с отказом прибора в зависимости от времени 
обслуживания требования …………………………………………………………….62 
2.2.1. Полумарковская модель системы ………………………………………………...62 
2.2.2. Стационарное распределение вложенной цепи Маркова ………………………65 
2.2.3. Стационарные характеристики системы ………………………………………...66 
2.3. Система с отказом прибора в зависимости от наработки 
после восстановления ………………………………………………………………….72 
2.3.1. Полумарковская модель системы ………………………………………………..72 
2.3.2. Стационарные характеристики системы ………………………………………...77 
2.3.3. Стационарное фазовое укрупнение системы ……………………………………82 
2.3.4. Вывод основных формул …………………………………………………………86 
ГЛАВА 3. СТРАТЕГИИ ПРОФИЛАКТИКИ НЕНАДЕЖНОЙ  
СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ ……………………………………………………..97 
3.1. Стратегия технического обслуживания прибора в зависимости 
от времени обслуживания требования ………………………………………………97 
3.1.1. Полумарковская модель системы ………………………………………………..97 
3.1.2. Стационарные характеристики системы ……………………………………….102 
3.1.3. Определение оптимального значения предельно допустимого  
 времени обслуживания требования …………………………………………….107 
 
 
3

 
 
3.2. Стратегия технического обслуживания прибора по наработке ………………….117 
3.2.1. Полумарковская модель системы ………………………………………………117 
3.2.2. Стационарные характеристики системы ……………………………………….124 
3.2.3. Оптимизация периодичности проведения технического 
 обслуживания прибора …………………………………………………………..131 
3.2.4. Вывод основных формул…………………………………………………………141 
3.3. Стратегия технического обслуживания прибора по наработке 
при условии скрытых отказов ………………………………………………………148 
3.3.1. Полумарковская модель системы ………………………………………………148 
3.3.2. Среднее число требований, поступающих в систему за период 
регенерации ……………………………………………………………………….152 
3.3.3. Стационарные характеристики системы ……………………………………….154 
3.3.4. Оптимизация периодичности проведения технического 
 обслуживания прибора …………………………………………………………..161 
3.4. Стратегия отложенного технического обслуживания прибора 
по наработке ……………………………………………………………………………164 
3.4.1. Полумарковская модель системы ………………………………………………164 
3.4.2. Стационарные характеристики системы ……………………………………….171 
3.4.3. Оптимизация периодичности проведения технического 
обслуживания прибора …………………………………………………………..178 
3.4.4. Вывод основных формул ………………………………………………………..181 
3.5. Стратегия технического обслуживания прибора по суммарной 
наработке ………………………………………………………………………………192 
3.5.1. Полумарковская модель системы ………………………………………………192 
3.5.2. Стационарные характеристики системы ……………………………………….198 
3.5.3. Оптимизация периодичности проведения технического 
обслуживания прибора …………………………………………………………..204 
3.5.4. Вывод основных формул ………………………………………………………..215 
3.6. Стратегия технического обслуживания прибора с различными 
типами восстановления ………………………………………………………………227 
3.6.1. Полумарковская модель системы ………………………………………………227 
3.6.2. Стационарные характеристики системы ……………………………………….233 
3.6.3. Оптимизация периодичности проведения технического 
 обслуживания прибора ………………………………………………………….239 
3.6.4. Вывод основных формул ……………………………………………………….246 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………..264 
 
 
4

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
Интерес к системам с отказами каналов обслуживания обусловлен практической 
важностью описания функционирования технических и информационных систем. Первые 
исследования в этом направлении проводились в середине прошлого столетия. Наиболее 
полные результаты были получены для систем, в которых протекающие процессы 
описываются случайными величинами, распределенными по экспоненциальному закону. В 
этом случае эффективным аппаратом исследования оказались марковские процессы. 
Благодаря этому для ряда моделей массового обслуживания с отказами приборов удалось 
получить в явном виде результаты для расчета характеристик исследуемых систем. 
Если эволюция ненадежной системы обслуживания описывается случайными 
величинами общего вида, то протекающие в системе процессы, вообще говоря, не являются 
марковскими. В этом случае для их описания можно использовать, в частности, 
полумарковские процессы с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний, 
которые впервые были введены П. Леви [46], В. Смитом [51] и Л. Такачем [52]. Дальнейшее 
развитие теория этих процессов и их применение при анализе надежности сложных систем 
получила в трудах Р. Пайка [50], Е. Цинлара [38], В.С. Королюка, А.Ф. Турбина [21], 
Н. Лимниоса [47], Ф. Грабского [40] и др. 
Наряду с необходимостью определения в явном виде стационарных вероятностных, 
надежностных, экономических показателей ненадежной системы обслуживания важно уметь 
оценивать меру воздействия на них различных методов повышения эффективности 
функционирования 
систем. 
Одним 
из 
таких 
методов 
является 
проведение 
предупредительного технического обслуживания приборов. Определению оптимальной 
периодичности проведения профилактического восстановления в одноканальной системе 
обслуживания с потерями в зависимости от выбранной стратегии технического 
обслуживания прибора и посвящена эта книга. 
Остановимся на кратком содержании по главам. Первая из них носит вспомогательный 
характер. В ней описаны исследуемые в дальнейшем стратегии технического обслуживания 
ненадежного прибора, приводятся необходимые сведения из теории полумарковских 
процессов с измеримым фазовым пространством состояний, теории восстановления и теории 
интегральных уравнений. 
Во второй главе строятся полумарковские модели функционирования и определяются 
стационарные характеристики надежной однолинейной системы обслуживания с потерями и 
системы, в которой во время обслуживания требования могут происходить отказы прибора. 
 
5

 
В третьей главе исследуются полумарковские модели функционирования ненадежной 
системы обслуживания с учетом различных стратегий технического обслуживания прибора. 
Одна из стратегий предполагает проведение технического обслуживания прибора в тот 
момент, когда время обслуживания требования превышает наперед заданный уровень. При 
других стратегиях техническое обслуживание прибора начинается либо сразу в момент, 
когда наработка прибора достигает заранее заданного уровня, либо проведение технического 
обслуживания откладывается до завершения обслуживания требования, находящегося на 
приборе. Еще одна стратегия предполагает, что отказ прибора обнаруживается не мгновенно, 
а в момент поступления очередного после отказа требования в систему. Кроме этого 
исследованы две стратегии, когда техническое обслуживание прибора начинается в момент 
достижения суммарной наработки заданного значения. Причем в случае одной из стратегий в 
промежутке 
между 
техническим 
обслуживанием 
прибора 
происходит 
полное 
восстановление прибора после его отказов, а при другой ² только минимальное 
восстановление. 
Для всех перечисленных стратегий технического обслуживания прибора определяются 
финальные вероятности и средние стационарные времена пребывания системы в различных 
физических состояниях, находятся стационарные экономические показатели эффективности 
системы, решаются задачи определения оптимальных сроков для проведения технического 
обслуживания прибора. 
Для лучшего восприятия излагаемого материала в некоторых разделах доказательства 
утверждений и выводы расчетных формул вынесены в конец разделов. 
Основные результаты, изложенные в книге, опубликованы в работах [16], [24]-[29], 
[49]. 
 
6

ГЛАВА 1 
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ПОЛУМАРКОВСКИХ 
МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ 
 
Данная глава носит справочный характер. Выбор материала для нее обусловлен 
математическим аппаратом, который будет использован при построении моделей 
технического обслуживания систем. В ней приводятся используемые в теории массового 
обслуживания типовые законы распределения случайных величин, излагаются сведения из 
теории надежности и описываются стратегии обслуживания ненадежного прибора, которые 
подлежат исследованию. В сжатом виде излагаются сведения из теории полумарковских 
процессов с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний; приводятся общие 
схемы построения полумарковских моделей и нахождения стационарных характеристик 
систем, стационарный алгоритм фазового укрупнения; краткие сведения из теории 
восстановления и теории интегральных уравнений. Пояснения даны только для тех 
результатов, которые будут непосредственно использованы при нахождении характеристик 
систем обслуживания. 
 
1.1. Типовые распределения определяющих параметров систем массового 
обслуживания 
Моделирование стохастических систем предполагает применение как дискретных, так и 
непрерывных законов распределения случайных величин. Поскольку одним из случайных 
факторов, определяющих эволюцию систем массового обслуживания, является время, то 
наибольший интерес представляют законы распределения непрерывных случайных величин, 
которые определены в области положительных значений. Ниже приводятся широко 
используемых в моделях массового обслуживания типовые законы распределения случайных 
величин, их характеристики и аппроксимации (см., например, [1], [4], [6]).  
Экспоненциальное распределение. Функция распределения 
 
0
,
0
,
1
)
(
!
K
t

 
)
K

t
e
t
t
;                                          (1.1.1) 
 
плотность распределения 
;
)
(
t
e
t
K

K
 
M
 
математическое ожидание 
K
 
J
1
E
; 
дисперсия 
;
1
2
K
 
J
D
 
 
7

интенсивность 
K
 
OM )
(t
, 
коэффициент вариации 
1
 
J
V
 (определяется как отношение среднеквадратического 
отклонения к математическому ожиданию: 
J
J
 
J
E
D
V
, при условии, что 
0
!
J
E
). 
Гиперэкспоненциальное распределение представляет собой аддитивную смесь разных 
экспоненциальных распределений. Функция распределения 
 
n
t
K

;         (1.1.2) 
)
,
1
,
(
,
,
,
0
;
1
...
;
0
,
1
)
(
1
n
j
i
j
i
q
q
t
e
q
t
j
i
i
n
i
i
 
z
K
z
K
!
K
 


t

 
)
¦
i
1
 
n
t
плотность распределения 
;
)
(
i
e
q
t
 
K

K
 
M
i
i
i
1
¦
 
n
; 
i
q
E
математическое ожидание 
¦
1
 K
 
J
i
i
2
n
n
·
§
i
дисперсия 
i
q
q
D
; 
 
J
¦
¦
K

K
1
1
 
 
i
i
i
i
2
2
¸
¸
¹
¨
¨
©
1

n
n
t
t
K

K

интенсивность 
)
(
i
i
e
q
e
q
t
; 
i
i
i
§
K
 
O
¦
¦
1
1
i
i
 
 
M
¸
¹
·
¨
©
2
1

n
n
n
§
·
§
·
i
i
i
q
q
q
V
. 
коэффициент вариации 
1
2
T
 
J
K

K
1
1
1
 
 
 
¦
¦
¦
i
i
i
i
i
i
¨
¨
©
K
¸
¸
¹
¨
¨
©
2
t
¸
¸
¹
Гиперэкспоненциальное распределение специального вида имеет функцию распределения, 
зависящую только от двух параметров [17], [33], [41]:  
1
0
,
0
,
)
1
(
1
)
(


!
K



 
)
K

K

p
e
p
e
p
t
t
p
t
;                           (1.1.3) 
 
плотность распределения  


t
p
t
e
p
e
p
t
K

K

K

K

 
M
2
1
; 
математическое ожидание 

 K

 
J
p
E
2
; 
2
3
2
2
2
p
p
p
D
; 
дисперсия 


2




 
J
p
K
2
2
2
2
3
коэффициент вариации 
1
p
p
p
V
. 




 
J
!
p
p
)
2
(

 
8

Распределение Эрланга порядка k  описывает распределение  случайной величины, 
которая представляет собой сумму k  независимых случайных величин, распределенному по 
одному и тому же экспоненциальному закону с параметром K. Функция распределения  
 
i
k
1

t
e
t
t
;                              (1.1.4) 
!
K
t
K

 
)
¦


0
,
0
,

1
)
(
K

t
i
i
0
 
k
1

t
t
t
K

K
K
 
M
 
плотность распределения 


;
)
1
(
)
(
e
k

математическое ожидание 
K
 
J
k
E
; 
дисперсия 
;
2
K
 
J
k
D
 
i
k
1
1


·
k
1

интенсивность 


t
k
t
t
; 
§
K

K
K
 
O
¦

)
1
(
)
(
)
(
i
i
0
 
M
¸
¸
¹
¨
¨
©
коэффициент вариации 
1
1
d
 
J
k
V
. 
Гипоэкспоненциальное 
распределение 
описывает 
распределение 
суммы 
k  
независимых экспоненциальных распределений, вообще говоря, с разными параметрами 
k
i
i
,
1
,  
K
. Преобразование Лапласа 
)
(
a s
M
 плотности распределения 
)
(t
M
 имеет вид 
k
i
)
(
a
, 
K
 
M
–
s
s
1
 
K

i
i
f
)
(
)
(
a
dt
e
t
s
t
s
; 

M
 
M
где 
³
0
k
E
1 ; 
математическое ожидание 
¦
1
 K
 
J
i
i
k
1 ; 
D
2
дисперсия 
¦
1
 K
 
J
i
i
1

k
k
§
·
коэффициент вариации 
)
1
;
/
1
(
1
1
2
k
V
K
K
 
J
1
1
 
 
¦
¦
. 
i
i
i
i
¨
¨
©

¸
¸
¹
Гипоэкспоненциальное распределение специального вида [1], [34] ² многофазное 
распределение с двумя разными параметрами экспоненциальных распределений в фазах: 
1

k
 фаза с параметром F и одна фаза с параметром K, имеет плотность распределения 
 
9

k
i
i

1
k
2

·
t
t
F

K

t
e
e
t
;                      (1.1.5) 
§
K

F

k
1

K
F
 
M
¦
i
;
0
,
,

)
(
K

F
i
0
 


¨
¨
©


K
z
F
!
K
F
¸
¸
¹
 
функцию распределения 
1

k
i
i
k
1

2
k

§
·
º
ª
§
·
§
·


t
t
F

K

t
e
e
t
; 
K

F
F

k
1

F

 
)
¦
¨
¨
¸
¸

1
)
(
i
F
F
K

F
i
0
 


¨
¨
©
K

F

¸
¸
¹
¨
¨
©
¸
¸
¹
»
»
¼
«
«
¬
©
¹
 
математическое ожидание 

 F


K
 
J
1
1
k
E
; 
 
дисперсию 


2
2
1
1
F


K
 
J
k
D
; 
 
)
1
(
2
2
k
V
. 
коэффициент вариации 
1
)
1
(
K


F
 
J
k

K


F
 
Отметим, 
что 
эрланговское, 
гиперэкспоненциальное 
и 
гипоэкспоненциальное 
распределения являются представителями класса распределений фазового типа (или PH -
распределений) [6]. 
Распределение Вейбулла-Гнеденко. Функция распределения 
P
t
T

¸
¹
·
¨
©
§
t
e
t
;                             (1.1.6) 
0
,
0
,
0
,
1
)
(
!
T
!
P
t

 
)
 
P
t
1
T


P
¸
¹
·
¨
©
§
плотность распределения 
;
)
(
e
t
t
 
T
T
P
 
M
¸
¹
·
¨
©
§
·
§

P
*
T
 
J
1
1
E
, 
математическое ожидание 
¸
¸
¹
¨
¨
©
f
1
)
(
dt
e
t
x
t
x
 ² гамма-функция; 


 
*
где 
³
0
2
§
·
§
·
·
·
2
дисперсия 
;
1
1
1
2
¨
¨
¸
¸
§

P
*
T
 
J
D
 
¨
¨
©
§

P
*

¸
¸
¹
¨
¨
©
¸
¸
¹
¨
¨
©
¸
¸
¹
©
¹
1

P
)
(
интенсивность 
T
T
P
 
O
t
t
; 
M
¸
¹
·
¨
©
§
1
2

§
·
§
·
·
·
·
V
. 
коэффициент вариации 
0
1
1
1
1
1
2
§

P
*
 
J
¸
¸
¹
¨
¨
©
§

P
*

¸
¸
¹
¨
¨
©
¸
¸
¹
¨
¨
©
¨
¨
©
!
¸
¸
¹
¨
¨
©
§

P
*
¸
¸
¹
 
10