Моделирование и стабилизация нелинейных управляемых систем

О.Н. Масина, А.А. Петров,  
О.В. Дружинина, Л.Б. Рапопорт 

МОДЕЛИРОВАНИЕ И СТАБИЛИЗАЦИЯ 
НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ 
СИСТЕМ 

Учебное пособие 

2-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2022 

УДК 51 
ББК  32.97 
   М74 
Рецензенты: 

З.Л. Шулиманова, доктор физико-математических наук,  
профессор кафедры «Высшая математика и естественные науки» 
(Российский университет транспорта (МИИТ));  

В.Е. Щербатых, кандидат физико-математических наук,  
доцент кафедры математики и методики ее преподавания 
(Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина) 

М74      

Масина О.Н. 
    Моделирование и стабилизация нелинейных управляемых систем: 
учебное 
пособие 
/ 
О.Н. Масина, 
А.А. Петров, 
О.В. Дружинина, 
Л.Б. Рапопорт. – 2-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2022. – 118 с. – 
ISBN 978-5-9765-4876-3. – Текст : электронный. 

Пособие посвящено вопросам моделирования и стабилизации нелинейных управляемых систем. Приведен обзор основных понятий и 
фактов теории оптимального управления. Представлены интеллектуальные методы программного управления. Охарактеризованы особености 
синтеза моделей технических систем оптимального управления с учетом 
переключений. Рассмотрены вопросы моделирования и оптимизации 
управляемых систем на основе методов глобальной параметрической оптимизации и нейросетевых алгоритмов, а также вопросы оптимальной 
стабилизации многосвязных управляемых систем. Изложены теоретические основы и ряд приложений метода стабилизации, который базируется 
на использовании линеаризации обратной связью для синтеза стабилизирующих управлений. Рассмотрены приложения в областях системного 
анализа, управления и стабилизации динамических систем механики и 
техники. Содержатся задачи и упражнения, связанные с темами параграфов.  
Для обучающихся в высших учебных заведениях студентов физико-математических и технических направлений подготовки, а также для 
самостоятельной работы студентов-заочников различных специальностей. Пособие может быть использовано аспирантами соответствующих 
направлений обучения.  
   УДК 51 
ББК 32.97 

ISBN 978-5-9765-4876-3               
      © Масина О.Н., Петров А.А., 
      Дружинина О.В., Рапопорт Л.Б., 2022 
   © Издательство «ФЛИНТА», 2022 

Содержание 
 
Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5  
§ 1. Необходимые сведения из теории управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7  
1.1. Управляемые системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7 
1.2. Понятие оптимального управления. Критерий качества управления .  11 
1.3. Основные вопросы теории оптимального управления . . . . . . . . . . . . .  13 
1.4. Системы с переключениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  16 
1.5. Интеллектуальные методы программного управления . . . . . . . . . . . . . .  22 
§ 2. Синтез моделей технических систем оптимального управления с учетом 
 переключений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  29 
2.1. Синтез модели динамики летательного аппарата . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  29 
2.2. Трехмерная модель с увеличивающейся частотой переключений  . . .  34 
2.3.  Модель с аэродинамическим сопротивлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  42 
2.4. Обобщенная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  45 
§ 3. Моделирование и оптимизация управляемых систем на основе методов 
глобальной параметрической оптимизации и нейросетевых алгоритмов . . . . .  50 
3.1. Численные алгоритмы оптимизации в задачах моделирования технических систем  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  50 
3.2. Построение и анализ линейной модели с переключениями при наличии 
нестационарных режимов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  59 
§ 4. Оптимальная стабилизация многосвязных управляемых систем  . . . . . . . .  69 
4.1. Задачи оптимальной стабилизации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  69 
4.2. Оптимальная стабилизация многосвязной системы на основе применения двухуровневой схемы и свойств векторных функций Ляпунова . . . . . . . . .  73 
4.3. Оптимальная стабилизация с учетом однородных функций в правых частях многосвязных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  77 
§ 5. Использование линеаризации обратной связью для синтеза стабилизирующих управлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  81 
5.1. Идея метода на примере управления колесным роботом . . . . . . . . . . . .  81 
5.2. Формальное изложение метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  83 
5.3. 
Стабилизация 
верхнего 
положения 
перевернутого 
маятника  
на тележке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  90 
5.4. Приведение модели движения колесного робота к нормальному  
виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  95 

5.5. Стабилизация ориентации квадрокоптера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  97 
§ 6. Задачи и упражнения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  105 
Список литературы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  109 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Настоящее пособие посвящено вопросам моделирования и стабилизации 

нелинейных управляемых систем.  Пособие состоит из 6 параграфов. 

В §1 «Необходимые сведения из теории управления» рассмотрен ряд ос
новных понятий и фактов теории оптимального управления. Охарактеризованы 

модели систем с переключениями. Представлены интеллектуальные методы 

программного управления. 

В §2 «Синтез моделей технических систем оптимального управления с 

учетом переключений» рассмотрены вопросы построения моделей с переклю
чениямии, в частности, модели движения летательного аппарата. Изучены 

трехмерная модель с увеличивающейся частотой переключений, модель с аэро
динамическим сопротивлением, а также обобщенная модель. 

В §3 «Моделирование и оптимизация управляемых систем на основе ме
тодов глобальной параметрической оптимизации и нейросетевых алгоритмов» 

рассмотрено построение нейросетевого аппроксиматора. Приведены разрабо
танные алгоритмы оптимизации в задачах моделирования технических систем. 

Рассмотрены вопросы построения и анализа модели управляемой системы с 

переключениями при наличии линейных нестационарных режимов. 

В §4 «Оптимальная стабилизация многосвязных управляемых систем» 

приведен ряд постановок задач оптимальной стабилизации. Изучены условия 

оптимальной стабилизации многосвязной системы на основе применения двух
уровневой схемы и свойств векторных функций Ляпунова, а также оптималь
ной стабилизации с учетом однородных функций в правых частях многосвяз
ных систем. 

В §5 «Использование линеаризации обратной связью для синтеза стаби
лизирующих управлений» изложена идея метода на примере управления колес
ным роботом. Приведено формальное изложение метода. Рассмотрена 

стабилизация верхнего положения перевернутого маятника на тележке. Кроме 

того, рассмотрено приведение модели движения колесного робота к нормаль
ному виду. Изучена стабилизация ориентации квадрокоптера.  

В §6 «Задачи и упражнения» содержатся задачи и упражнения, связанные 

с темами параграфов. 

После текста параграфов в пособии приведен список литературы. В тек
сте пособия содержатся ссылки на использованные источники. 

Параграфы 1–3 подготовлены А.А. Петровым, О.Н. Масиной и О.В. Дру
жининой совместно, §4 – О.В. Дружининой, §5 – Л.Б. Рапопортом, §6 – автора
ми совместно.  

Пособие предназначено для обучающихся в высших учебных заведениях 

студентов физико-математических и технических направлений подготовки, а 

также для самостоятельной работы студентов-заочников различных специаль
ностей. Пособие может быть использовано аспирантами соответствующих 

направлений обучения. 

§ 1. Необходимые сведения из теории управления 

 

1.1. Управляемые системы.   

Одной из важнейших задач моделирования является описание динамики 

некоторых объектов и процессов на основе данных о начальном состоянии. 

Указанная задача заключается в нахождении закономерностей, на основе кото
рых из знания начальных данных об объекте можно получать информацию о 

его характеристиках в любой момент времени t > t0. Модель динамической си
стемы можно записать в виде  

 
0
( )
( )
i
x t
E x t
=
, 
(1.1) 

где x=(x1, x2, …, xn), t0 – начальный момент времени, Ei – оператор эволюции, 

применение которого к начальному состоянию дает состояние объекта или 

процесса в любой момент времени t.  

В теории оптимального управления зависимость (1) часто сводится к си
стеме обыкновенных дифференциальных уравнений 

 

1
2
1
2

1
2

( , ),
(
,
,
) ,
,
,
,
,

( , )
(
( , ),
( , ),
,
( , )) ,

T
T
n
n

T
n

dx
dx
dx
dx
dx
f x t
x
x x
x
dt
dt
dt
dt
dt

f x t
f x t
f
x t
f
x t



=
=
= 



=






  
(1.2) 

где f(x,t) – непрерывная вектор-функция на области 
1
n
G
R +
⊂
.  Решением век
торного дифференциального уравнения (2) называют такую дифференцируе
мую функцию x(t), t ∈ T ⊂ R, которая при подстановке в уравнение (2) обраща
ет его в тождество на T. График функции x(t) называется интегральной кривой. 

Задачу поиска решения x = x(t) уравнения (2), удовлетворяющего началь
ным условиям x(t0) = x0, 
0
0
(
)
,t
x
G
∈
, называют задачей Коши. Геометрически 

задача Коши состоит в нахождении интегральной кривой уравнения (2), прохо
дящей через заданную точку K. При этом возможны следующие три случая:              

1) через точку K проходит единственная интегральная кривая; 2) через точку K  

проходит по крайней мере две интегральные кривые; 3) через точку K  не про
ходит ни одной интегральной кривой.  

Решение задачи Коши подразумевает, что необходимо проинтегрировать 

дифференциальное уравнение (2). Возможность и способ интегрирования зави
сят от конкретного вида правой части уравнения (2), т.е. от функции f(t,x). В 

стандартном курсе дифференциальных уравнений изучаются способы интегри
рования следующих классов дифференциальных уравнений: уравнения с разде
ляющимися переменными, линейные автономные уравнения, уравнения в пол
ных дифференциалах, однородные уравнения. 

Однако многие типы дифференциальных уравнений, используемых в 

практике математического моделирования различных процессов и систем, ана
литически не интегрируются. В этих случаях решение задачи Коши и других 

задач, связанных с построением интегральных кривых, может потребовать ис
пользования численных методов интегрирования. Во многих случаях удается 

выполнить качественное исследование систем, без явного вида решения диф
ференциального уравнения, на основе понятий и фактов теории устойчивости 

движения и качественной теории дифференциальных уравнений [1, 2, 18, 22, 

47, 76].  

Кроме того, задачи оптимального управления связаны с понятием функ
ционала. Рассмотрим все возможные функции аргумента x, определенные на 

некотором промежутке. Как известно, функции можно складывать и умножать 

на числа. Суммой двух функций f и g называется такая функция h, заданная на 

том же самом промежутке, значения которой вычисляются по правилу                   

h(x) = (f+g)(x) = f(x) + g(x) для всех x из данного промежутка. Для того чтобы 

функцию f умножить на число λ, следует все ее значения умножить на это чис
ло, т.е. 
)
(
(
)( )
h
x
f x
λ
λ
=
 для всех x. Множество функций с указанными операци
ями сложения и умножения на число образует так называемое линейное про
странство функций (или функциональное пространство). 

Рассмотрим все возможные непрерывные на отрезке [a, b] функции. Сум
ма двух непрерывных функций является непрерывной функцией и при умноже
нии непрерывной функции на число результатом вновь оказывается непрерыв
ная функция. Следовательно, множество непрерывных функций также образует 

линейное пространство. Его называют пространством непрерывных функций и 

обозначают C[a,b]. 

Аналогично можно говорить о пространстве дифференцируемых, непре
рывно дифференцируемых (т.е. таких функций, которые непрерывны вместе со 

своими производными), бесконечно дифференцируемых и т.п. функций. На 

функциональных пространствах, как на множествах, можно задавать отображе
ния. Такие отображения играют существенную роль в функциональном анализе 

и смежных областях. 

Определение 1.1. Пусть в некотором функциональном пространство ℜ 

зафиксировано подмножество X ⊂ ℜ. Отображение 
:
I
X
R
→
 , ставящее в со
ответствие каждой функции f
X
∈
 определенное число I(f), называют функци
оналом. 

Нетрудно заметить, что в качестве простейшего примера функционала 

можно привести определенный интеграл от некоторой функции f(x). 

Решение задач оптимального управления связано с нахождением экстре
мальных значений функционалов, которые задают критерии качества управле
ния и определяются условиями задачи. 

Далее приведем определение управляемой системы. 

Определение 1.2 [21]. Система S называется управляемой на отрезке  

[t0, t1] , если ее поведение при t > t0 зависит только от начального состояния (t = 

t0 , x0 = x(t0 )), будущего поведения некоторого переменного вектора u (входа 

системы) 

u = (u1, u2, …, um )T , m ≥ 1, 

называемого управляющим вектором (или просто управлением) u, и постоянно
го вектора p: 

p = (p1, p2 …, pr )T , r ≥ 0, 

называемого вектором проектных параметров. 

Вектор u принимает значение из некоторого множества Um m-мерного 

пространства Rm с координатами u1, u2 , ..., um . Это множество может быть всем 

m
m
U
R
⊂
. Отметим, что U m чаще всего явля
ется компактным множеством пространства Rm. 

Множество U m называется множеством допустимых значений управле
ния.  Вектор p проектных параметров обычно принадлежит некоторому за
мкнутому множеству Pr  ⊂ Rr. 

Изменение состояния (эволюция) системы S на временном интервале T = 

{t, t0 ≤ t ≤ t1} часто может быть задано системой обыкновенных дифференци
альных уравнений первого порядка: 

 
( , , , )
dx
f t x u p
dt =
. 
(1.3) 

Можно заметить, что по сравнению с уравнением (2) в уравнении (3) фи
гурируют управляющие вектор-функции u, p. 

В математической модели, описываемой системой дифференциальных 

уравнений, формальным признаком переменной состояния x является наличие 

ее производной dx
dt  в левой части системы (3). Управляющая переменная u вхо
дит только в правую часть системы (3) и не встречается под знаком производ
ной (это формальный признак управляющей переменной). 

Предполагается, что вектор-функция f(t, x, u, p) определена для любых 

значений x ∈ X n , u ∈U m , p ∈ Pr , t ∈T , непрерывна по совокупности перемен
ных t, x, u, p и непрерывно дифференцируема по x, p. Отметим, что гладкость 

является достаточно жестким требованием и в ряде случаев может быть заме
нена требованием измеримости и ограниченности. Так как поведение вектора u 

может быть произвольным (за исключением условия u ∈U m) и, кроме того, 

можно произвольно выбрать постоянный вектор p ∈ Pr, то система уравнений 

(3) определяет управляемый процесс. Ход управляемого процесса будет опре
делен на некотором интервале t0 ≤ t ≤ t1 , если на этом интервале вектор u задан 

в одной из двух форм: 

 
u = u(t), 
(1.4) 

 
u = v(x,t). 
(1.5) 

Вектор-функцию u(t) в (4) называют программным управлением, а век
тор-функцию v(x, t) в (5) – координатным управлением. Закон управления (5) 

физически выражает принцип обратной связи, согласно которому величина 

управляющего воздействия определяется на основании измерения текущего 

состояния системы x и, быть может, момента времени t. 

Каждому выбору векторов управляющих параметров p и управления u 

(вида (4), (5)) и каждому начальному состоянию (t0 , x0) соответствует по (3) 

временная последовательность состояний x(t, x0 , t0) , которая называется фазо
вой траекторией (поведением, эволюцией, движением) системы S. Пара вектор
функций {u(t), x(t)} или {v(x, t), x(t)} называется процессом управления или ре
жимом. 

 

1.2. Понятие оптимального управления. Критерий качества управле
ния.  

Предположим, что для (3) задан начальный момент времени t0 и множе
ство M0 допустимых начальных состояний объекта.  

Будем считать, что желательно управлять объектом так, чтобы в какой-то 

конечный момент времени t1 объект перешел на некоторое множество М1 допу
стимых конечных состояний. Будем считать, что допустимое управление u(t) 

переводит объект из множества начальных состояний М0 на множество конеч
ных состояний М1 на отрезке времени [t0, t1], если соответствующее этому 

управлению u(t) фазовое состояние объекта x(t) удовлетворяет условиям 

 
0
0
1
1
)
.
(
(
,
)
M
x t
x t
M
∈
∈
 
(1.6) 

Заметим, что конечный момент времени t1 может быть не фиксирован
ным, а определяться из условия попадания вектора x(t) на конечное множество 

М1. Итак, предположим, что допустимые множества М0 и М1 заданы. 

Возможна ситуация, состоящая в том, что управляемый объект можно пе
ревести из множества М0 на множество М1 многими способами. На рис. 1.1 

представлено множество возможных траекторий управляемой системы с векто
ром состояния (x0, x1). 

Рис. 1.1. Множество возможных траекторий  

управляемой системы для x=(x0, x1)T 

 

С практической точки зрения желательно среди всех таких переходов вы
брать наилучший в каком-либо смысле переход. Обычно предполагается, что 

каждому допустимому управлению u(t), заданному на отрезке [t0, t1], и соответ
ствующей ему траектории объекта x(t) сопоставлено некоторое число J, оцени
вающее качество пары u(t), x(t), т.е. задан функционал, или критерий, качества 

J(u(t), x(t)). Например, этот функционал может иметь вид 

 

1

0

0
( ( ), (
)
)
( , ( , ( ))
)
t

t
J
f
p x t u t d
u
t
t x t
=∫
. 
(1.7) 

В частности, если рассматривается техническая система, критерий каче
ства управления может определять, сколько энергии тратится на управление, 

или время, затраченное на перемещение изображающей точки из множества М0 

в М1. 

Теперь можно сформулировать задачу оптимального управления. Эта за
дача заключается в нахождении таких допустимого управления u*(t) и соответ
ствующей ему траектории объекта x*(t), переводящей объект из множества 

начальных состояний M0 на множество конечных состояний М1, что при этом 

функционал качества J(u*(t), x*(t)) принимает минимальное значение, т.е.