Элементы теории устойчивости математических моделей управляемых систем

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
О.Н. Масина, О.В. Дружинина, Л.Б. Рапопорт  
 
 
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ 
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 
УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ  
 
Учебное пособие  

 
2-е издание, стереотипное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2022 

УДК 51 
ББК  32.97 
М31 

Рецензенты: 

З.Л. Шулиманова, доктор физико-математических наук,  
профессор кафедры «Высшая математика и естественные науки» 
(Российский университет транспорта (МИИТ));  

В.Е. Щербатых, кандидат физико-математических наук,  
доцент кафедры математики и методики ее преподавания 
(Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина) 

М31 

Масина О.Н.
       Элементы теории устойчивости математических моделей управляемых систем : учебное пособие / О.Н. Масина, О.В. Дружинина, 
Л.Б. Рапопорт. – 2-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2022. – 145 с. – ISBN 
978-5-9765-4877-0. – Текст : электронный.

Пособие посвящено вопросам теории устойчивости математических моделей управляемых систем. Приведен обзор понятий устойчивости с учетом их взаимосвязи. Представлены методы исследования устойчивости в смысле А.М. Ляпунова, а также описан современый подход к 
изучению устойчивости в смысле Н.Е. Жуковского. Проведен анализ абсолютной устойчивости управляемых систем с одним и с несколькими 
нелинейными элементами в обратной связи. Рассмотрены примеры исследования устойчивости математических моделей. Охарактеризованы 
приложения в областях системного анализа, управления и стабилизации 
динамических систем. Содержатся задачи и упражнения, связанные с темами параграфов.  
Пособие предназначено для обучающихся в высших учебных заведениях студентов физико-математических и технических направлений 
подготовки, а также для самостоятельной работы студентов-заочников 
различных специальностей. Пособие может быть использовано аспирантами соответствующих направлений обучения.  

УДК 51 
ББК 32.97 

ISBN 978-5-9765-4877-0 
 © Масина О.Н., Дружинина О.В., 
     Рапопорт Л.Б., 2022 
© Издательство «ФЛИНТА», 2022 

Содержание 

Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5 
§ 1. Обзор понятий устойчивости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7 
1.1. Краткий исторический экскурс  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7
1.2. Устойчивость по Ляпунову  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  10 
1.3. Устойчивость по Жуковскому  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  17 
1.4. Орбитальная устойчивость  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  20 
1.5. Современный подход к изучению устойчивости по Жуковскому  . . . .  24 
1.6. Управляемые системы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  26 
1.7. Практическая значимость исследований устойчивости и некоторые 
направления анализа устойчивости систем управления  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  36 
§ 2. Метод функций Ляпунова  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  40 
2.1. Теоремы об устойчивости и об асимптотической устойчивости . . . . .  40 
2.2. Теоремы о неустойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  46 
§ 3. Устойчивость по первому приближению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  49 
3.1. Уравнения первого приближения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  49 
3.2. Теорема об устойчивости по первому приближению  . . . . . . . . . . . . . . .  51 
§ 4. Методы исследования устойчивости по Жуковскому . . . . . . . . . . . . . . . . . .  57 
4.1. Необходимые и достаточные условия устойчивости по Жуковскому  57 
4.2. Уравнение в вариациях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  61 
4.3. Принцип сведения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  62 
4.4. Условия устойчивости по первому приближению  . . . . . . . . . . . . . . . . .  65 
4.5. Конкретизация условий устойчивости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  68 
4.6. Стабилизация по Жуковскому  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  72 

§ 5. Критерии устойчивости управляемых систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  74 

5.1. Некоторые общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  74 
5.2. Передаточные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  75 
5.3. Алгебраические критерии устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  78 
5.4. Частотные критерии устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  82 
5.5. Определение области устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  85 
§ 6. Линейные нестационарные системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  87 
6.1. Устойчивость по Ляпунову линейных нестационарных систем  . . . . .  87 
6.2. Параметрический резонанс в линейных нестационарных системах  . .  88 
6.3. Алгебры Ли и группы Ли  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  93 
6.4. Квадратичная устойчивость и квадратичная стабилизация  . . . . . . . . . .  95 
§ 7. Абсолютная устойчивость систем управления  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  98 
7.1. Абсолютная устойчивость управляемых систем с одним нелинейным 
элементом в обратной связи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  98 
7.2. Абсолютная устойчивость систем со многими нелинейностями. 
Достаточные условия существования функций Лурье–Постникова  . . . . . . . .  105 

7.3. Абсолютная устойчивость систем со многими нелинейностями.  
Необходимые 
и 
достаточные 
условия 
существования 
функций  
Лурье–Постникова  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  107 
§ 8. Примеры исследования устойчивости  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  115 
§ 9. Задачи и упражнения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  128 
Список литературы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  136 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Настоящее пособие посвящено вопросам теории устойчивости математических моделей управляемых систем. Пособие состоит из 9 параграфов. 
Параграф 1 «Обзор понятий устойчивости» посвящен анализу и взаимосвязи базовых свойств устойчивости траекторий динамических систем. Здесь 
рассмотрены свойства устойчивости следующих типов: устойчивость в смысле 
А.М. Ляпунова, орбитальная устойчивость и устойчивость в смысле Н.Е. Жуковского, а также приведен краткий исторический экскурс. Рассмотрены некоторые понятия математической теории управления. Представлены некоторые 
направления исследований, связанные с устойчивостью систем управления. 
В § 2 «Метод функций Ляпунова» представлен метод исследования 
устойчивости на основе вспомогательных функций. Рассмотрены теоремы об 
устойчивости и об асимптотической устойчивости, а также теоремы о неустойчивости. Приведены краткие доказательства теорем и рассмотрены примеры. 
В § 3 «Устойчивость в смысле Ляпунова по первому приближению» рассмотрено понятие линеаризованных уравнений или уравнений первого приближения. Сформулированы условия устойчивости по первому приближению, 
приведены краткие доказательства и рассмотрены ряд примеров. 
В § 4 «Методы исследования устойчивости в смысле Жуковского» даны 
необходимые и достаточные условия устойчивости по Жуковскому. Приведено 
обобщение понятия уравнения в вариациях относительно невозмущенной траектории. Кроме того, рассмотрен принцип сведения задачи об устойчивости 
по Жуковскому к задаче об устойчивости по Ляпунову. Изучены условия 
устойчивости траекторий нелинейной системы дифференциальных уравнений 
второго порядка.  
В § 5 «Критерии устойчивости управляемых систем» рассмотрены вопросы устойчивости по Ляпунову непрерывных систем управления. Дано понятие 
передаточной функции. Сформулированы алгебраические и частотные критерии устойчивости. Приведено определение области устойчивости в пространстве параметров. Рассмотрен ряд примеров. 
В § 6 «Линейные нестационарные системы» сформулированы условия 
устойчивости по Ляпунову линейных нестационарных систем. Приведены доказательства и рассмотрены ряд примеров. Приведен пример параметрического 

резонанса в линейных нестационарных системах. Рассмотрены алгебры Ли и 
группы Ли. Предложены достаточные условия асимптотической устойчивости с 
применением квадратичной функции Ляпунова. 
В § 7 «Абсолютная устойчивость систем управления» проведен анализ 
абсолютной устойчивости управляемых систем с одним и с несколькими нелинейными элементами в обратной связи. Предложены необходимые и достаточные условия существования функций Лурье–Постникова.  
В § 8 «Примеры исследования устойчивости» рассмотрены примеры исследования устойчивости математических моделей динамических систем. Охарактеризованы некоторые приложения в областях системного анализа, управления и стабилизации динамических систем.  
В § 9 «Задачи и упражнения» содержатся задачи и упражнения, связанные 
с темами параграфов. 
После текста параграфов в пособии приведен список литературы. В тексте пособия содержатся ссылки на использованные источники. 
Параграфы 1–3 подготовлены О.Н. Масиной и О.В. Дружининой совместно, § 4 – О.В. Дружининой, § 5 – О.Н. Масиной, § 6 и § 7 – Л.Б. Рапопортом,               § 8 и § 9  – авторами совместно.  
Пособие предназначено для обучающихся в высших учебных заведениях 
студентов физико-математических и технических направлений подготовки, а 
также для самостоятельной работы студентов-заочников различных специальностей. Пособие может быть использовано аспирантами соответствующих 
направлений обучения. 

§ 1. Обзор понятий устойчивости 
 
1.1. Краткий исторический экскурс. Начиная с фундаментальных трудов 
А. Пуанкаре [75], А.М. Ляпунова [54] и Н.Е. Жуковского [36], качественное изучение решений дифференциальных систем вида  

 
( ),
dx
f x
dt =
  f : D → Rn,  D ⊂ Rn,   
(1.1) 

либо систем, сводящихся к системам вида (1), проводились многими исследователями в [9, 15, 17, 18, 33, 34, 39. 47, 55, 56, 59, 86, 97] и  в других работах. 
Независимую переменную t в (1) можно интерпретировать как время, а пере
менные x1, x2, ..., xn − как координаты движущейся точки в n-мерном простран
стве Rn. Предположим, что правая часть уравнения (1) непрерывна в рассматри
ваемой области D ⊂ Rn и удовлетворяет в ней некоторым условиям, обеспечи
вающим единственность решения. 
Известно, что дифференциальная система (1) при дополнительных условиях 
порождает 
динамическую 
систему 
в 
смысле 
Биркгофа  [9].  
Динамической системой в смысле Биркгофа называется однопараметрическая 

группа ϕ(t, p), где t∈R = (−∞, +∞), преобразований пространства Rn на себя, 

удовлетворяющая условиям: 1) ϕ(t, p) = p (начальное условие); 2) ϕ(t, p) непре
рывна по совокупности переменных (t, p); 3) ϕ(t1, ϕ(t2, p)) = ϕ(t1 + t2, p) (свой
ство группы). Если ϕ ∈C r, r ≥ 1, то динамическая система называется гладкой. 

Отображение ϕ(t, p) при фиксированном p называется движением, а при фик
сированном t − переносом вдоль траектории; при фиксированном p множество 

точек {ϕ(t, p) : t∈R} будем называть траекторией этого движения и обозначать 

через C(p). Аналогично множества {ϕ(t, p) : t ∈ R+} и {ϕ(t, p) : t ∈ R−} называ
ются положительной и отрицательной полутраекториями и обозначаются через 

C+(p) и C −(p). Множества 
( )
( )
H p
C p
=
, 
( )
( )
H
p
C
p
+
+
=
 и 
( )
( )
H
p
C
p
−
−
=
 назы
ваются соответственно оболочкой, положительной полуоболочкой, отрицательной полуоболочкой движения дифференциальной системы. 
Основоположникам геометрической (качественной) теории дифференциальных 
систем 
и 
теории 
устойчивости 
движения 
А. Пуанкаре 
[66], 

Н.Е. Жуковскому [32], А.М. Ляпунову [49], И. Бендиксону [94], Дж. Биркгофу [9] 

принадлежат фундаментальные результаты и методы исследования, положившие начало дальнейшим исследованиям как в России, так и за рубежом. 
Современные методы качественной теории дифференциальных систем 
базируются на достижениях теории устойчивости движения, теории нелинейной динамики, КАМ-теории. Фундаментальный вклад в развитие названных 
теорий внесли А.Н. Колмогоров, Н.Н. Боголюбов, Н.Г. Четаев, В.В. Румянцев, 
Н.Н. Красовский, Е.А. Барбашин, Н.Д. Моисеев, Н.П. Еругин, В.В. Степанов, 
В.В. Немыцкий, 
И.Г. Петровский, 
А.А. Андронов, 
Ю.А. Митропольский, 
В.И. Зубов, 
А.А. 
Шестаков, 
Г.А. Леонов, 
Е.А. Гребеников, 
Ю.А. Рябов, 
В.В. Козлов, 
В.М. Матросов, 
В.И. Арнольд, 
М.Г. Крейн, 
И. Бендиксон, 
Дж. Биркгоф, П. Пенлеве, О. Перрон, Т. Леви-Чивита, Ф. Хартман, Т. Иосидзава 
и другие ученые. Существенное развитие качественные методы Ляпунова, Пуанкаре и Жуковского получили в работах названных ученых, а также в работах 
Г.Н. Дубошина, М.Ш. Аминова, Ю.Д. Соколова, Г.Ф. Хильми, В.Г. Демина, 
А.С. Галиуллина, 
В.М. Алексеева, 
А.П. Маркеева, 
Ю.С. Богданова, 
Б.П. Демидовича, Ю.В. Малышева, Т. Ура, Н. Бхатиа, К. Зундмана, Ж. Шази, 
Д. Саари, К. Маршала, Дж. Баумгарте, В. Себехея и других ученых. 
Тридцатые и сороковые годы двадцатого столетия были ознаменованы 
плодотворной деятельностью двух крупных научных школ: Московской        
научной школы ГАИШ (В.В. Степанов, Н.Д. Моисеев, Г.Н. Дубошин, Н.Ф. Рейн 
и другие) и Казанской научной школы (Н.Г. Четаев, К.П. Персидский, 
И.Г. Малкин, Г.В. Каменков, М.Ш. Аминов и другие). Ученые этих научных 
школ внесли существенный вклад в развитие теории устойчивости Ляпунова и 
теории устойчивости Жуковского. В частности, М.Ш. Аминов продолжил исследование Н.Е. Жуковского о прочности траекторий движения механических 
систем с конечным числом степеней свободы, а В.В. Степанов, Н.Д. Моисеев и 
Г.Н. Дубошин и другие получили важные результаты по теории устойчивости в 
целом, поперечной и продольной устойчивости, орбитальной устойчивости, по 
методу контактных характеристик, по ограниченным проблемам двух и трех 
тел. Возникшие в более поздний период научные школы по качественной теории, теории устойчивости и теории нелинейных колебаний в Москве (школа 
В.В. Степанова-В.В. Немыцкого в МГУ), Киеве, Екатеринбурге, Минске, СанктПетербурге, Самарканде, Нижнем Новгороде внесли дальнейший крупный 
вклад в развитие названных теорий. 

Изучение фазового портрета траекторий в окрестности особой точки на 
плоскости впервые проведено Н.Е. Жуковским и А. Пуанкаре, а затем их исследования продолжили И. Бендиксон и другие ученые. Исследование фазового 
портрета траекторий в окрестности особой точки многомерных систем дифференциальных уравнений, начиная с работ А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова, 
Ж. Адамара, в работах И.Г. Петровского [62], В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [59], А.А. Шестакова[85, 86] и других исследователей. 
Изучение окрестности особой точки при многомерных систем с точки 
зрения устойчивости в смысле Ляпунова существенно продвинуто учеными 
Казанской научной школы (Н.Г. Четаев, К.П. Персидский, И.Г. Малкин, 
Г.В. Каменков), Нижегородской научной школы (А.А. Андронов и А.А. Витт), 
Московской 
научной 
школы 
ГАИШ 
(В.В. Степанов, 
Н.Д. Моисеев, 
Г.Н. Дубошин, Н.Ф. Рейн), научной школы В.В. Степанова и В.В. Немыцкого 
(Б.П. Демидович, А.Ф. Филиппов, Ю.В. Малышев, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, 

А.А. Шестаков), Санкт-Петербургских научных школ (А.А. Марков, В.И. Зубов, 
В.А. Плисс, А.Ф. Андреев, Ю.Н. Бабичков). 
Дж. Биркгоф [9] положил основание общей теории динамических систем, 
выделив в них центральные и рекуррентные движения. Он продолжил качественные 
исследования 
А. Пуанкаре 
и 
наряду 
с 
Н.Е. Жуковским, 

А.М. Ляпуновым явился основоположником качественной теории динамических систем. 
Приведем определение устойчивости движения в смысле Лагранжа. Дви
жение ϕ(t, p) называется положительно (отрицательно) устойчивым в смысле 

Лагранжа, если полуоболочка H+(p) (полуоболочка H −(p)) является компакт
ным множеством. Движение, одновременно положительно и отрицательно 
устойчивое по Лагранжу, называется устойчивым в смысле Лагранжа. В работах Дж. Биркгофа и его последователей рассмотрены односторонне и двусторонне устойчивые в смысле Лагранжа движения. 
Важные результаты в области качественной теории дифференциальных 
систем получены В.В. Немыцким. Он ввел понятие седла в бесконечности 
уравнения (1) и установил, что для того, чтобы динамическая система в смысле 
Биркгофа могла быть топологически отображена на семейство параллельных 
прямых, необходимо и достаточно, чтобы она была неустойчивой в том смысле, 
что ни одна положительная и ни одна отрицательная полуоболочка движения 

не содержится в некотором компактном множестве, и чтобы дифференциальная 
система не имела седла в бесконечности. 
Для изучения почти периодичности устойчивого в смысле Лагранжа дви
жения ϕ(t, p) А.А. Марковым  предложено S-свойство: для каждого ε > 0 можно 

найти такое δ > 0, что из неравенства  ρ[ϕ(p, t1), ϕ(p, t1)] < δ следует неравенство 

ρ[ϕ(t1 + t, p), ϕ(p, t2 + t)] < ε  ∀t∈R, и S+-свойство: последнее неравенство вы
полняется для всех t ≥ 0, и движение отрицательно устойчиво в смысле Лагран
жа. Для почти периодичности необходимо и достаточно выполнения S+
свойства (или аналогичного S−-свойства) [59]. Связь между почти периодично
стью и 

B
L+ -устойчивостью относительно множества B состоит в следующем: 

точка p называется положительно 

B
L+ -устойчивой относительно множества B 

(символ 
B
L+ ), если для всякого числа ε > 0 можно найти такое число δ > 0, что для 

каждой точки q ⊂ B такой, что ρ(p, q) < δ, выполняется неравенство ρ[ϕ(t, p), 

ϕ(t, q)] < ε  ∀t∈R+. Если B инвариантно, то множество точек, устойчивых 
B
L+ , 

также инвариантно; в этом случае, если точка p является 
B
L+ -устойчивой, то 

движение ϕ(t, p) называется 
B
L+ -устойчивым. Если в компактном инвариантном 

множестве B все движения 
B
L+ -устойчивы, то множество B устойчиво в смысле 

Ляпунова. В [59] установлено, что если все траектории дифференциальной си
стемы в Rn устойчивы в смысле Ляпунова, то возможно одно из двух: либо система гомеоморфна семейству параллельных прямых, либо все ее движения являются почти периодическими. Кроме того, в [59] представлена топологическая 
характеристика оболочки почти периодического движения. 
 
1.2. Устойчивость по Ляпунову. А.М. Ляпунов [49] поставил и разрешил 
общую задачу об устойчивости движения. Как известно, А.М. Ляпунов предложил два метода решения задач об устойчивости. К первому методу относятся 
все те способы решения, которые приводят к непосредственному исследованию 
возмущенного движения и в основании которых лежит разыскание общих или 
частных решений дифференциального уравнения возмущенного движения 

( , ),
dx dt
f t x
=
 

n
x
R
∈
. Эти решения приходится, вообще говоря, искать в виде 

бесконечных рядов по целым положительным степеням произвольных постоянных или же рядов другого типа. Здесь основным методом, восходящим к