Исследование устойчивости динамических моделей с помощью систем компьютерной математики

Е. В. Игонина 

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ 
ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ  
С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ  
КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ  

Учебное пособие 

2-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2022 

УДК 004.942 
ББК  22.161 
  И26 

Рецензенты: 

М.А. Крутиков, кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики, 
информационных технологий и защиты информации  
ЛГПУ им. П.П. Семенова-Тян-Шанского; 

А.В. Сидоров, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры 
физики, радиотехники и электроники ЕГУ им. И.А. Бунина 

Игонина Е.В. 
И26         Исследование устойчивости динамических моделей с помощью систем компьютерной математики: учебное пособие / Е.В. Игонина. – 2-е 
изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2022. – 84 с. – ISBN 978-5-9765-4863-3. – 
Текст : электронный. 

Учебное пособие посвящено вопросам исследования устойчивости 
динамических моделей с помощью системы компьютерной математики 
Maxima. В нем представлены основные аспекты теории устойчивости 
движения в смысле А.М. Ляпунова, дано подробное описание метода построения фазового портрета динамической системы и его компьютерная 
реализация с применением функциональных возможностей среды 
Maxima. Рассмотрены примеры использования систем компьютерной математики в исследованиях конкретных динамических моделей: модель 
брюсселяратора, модель Лотки-Вольтерры, модель системы управления 
перевернутым маятником.  
Предназначено для студентов направлений подготовки 01.03.02 
Прикладная математика и информатика, 09.03.01 Информатика и вычислительная техника, 09.03.02 Информационные системы и технологии.  

УДК 004.942 
ББК 22.161 

ISBN 978-5-9765-4863-3               
  © Игонина Е.В., 2022 
© Издательство «ФЛИНТА», 2022 

ВВЕДЕНИЕ 

Важным аспектом проектирования моделей системной динамики является проведение процедур компьютерного моделирования и оценки устойчивости 
моделей по отношению к внешним возмущающим факторам. Требование 
устойчивости является одним из главных требований, предъявляемых к моделируемой системе. 

Компьютерное моделирование представляет собой один из эффективных 

методов изучения сложных систем. Компьютерные модели отличаются простотой и удобством в исследовании из-за их возможности проведения вычислительных экспериментов и получения графического представления. Если реальные эксперименты невозможны или затруднены в силу физических препятствий или же обнаруживается непредсказуемый результат, тогда компьютерные 
модели становятся особенно актуальны. Такие характеристики компьютерных 
моделей, как логичность и формализованность позволяют выявить основные 
факторы, которые определяют свойства изучаемого объекта-оригинала, в частности, исследовать отклик моделируемой динамической системы на изменения 
ее параметров и начальных условий. 

Для проведения компьютерного моделирования используют различные 
программные среды, математические и инженерные прикладные пакеты или 
системы компьютерной математики (СКМ). Наиболее известными и лидерами в 
этой области являются Maple, Deive, MatLab, Mathematica, Maxima, MathCad. 
Учитывая разнообразие программных сред, возникает вопрос о правильности 
целесообразного выбора программной среды, позволяющей провести моделирование и адекватные исследования проектируемой системы. 
Стоит также отметить, что дифференциальные уравнения, описывающие 
динамические системы, решаются аналитически в явном виде редко. Использование ЭВМ дает приближенное решение дифференциальных уравнений на конечном временном отрезке, что не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. Поэтому важную роль приобретают методы качественного исследования дифференциальных уравнений. 
Ответ на вопрос о том, какие режимы поведения могут устанавливаться в 
данной системе, можно получить из так называемого фазового портрета системы – совокупности всех ее траекторий, изображенных в пространстве фазовых 
переменных (фазовом пространстве). Среди этих траекторий имеется некоторое 
число основных, которые и определяют качественные свойства системы. К ним 
относятся, прежде всего, точки равновесия, отвечающие стационарным режимам системы, и замкнутые траектории (предельные циклы), отвечающие режимам периодических колебаний. Будет ли режим устойчив или нет, можно судить по поведению соседних траекторий: устойчивое равновесие или цикл притягивает все близкие траектории, неустойчивое отталкивает хотя бы некоторые 
из них. 
Таким образом, «фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко 
обозримый «портрет» динамической системы, она дает возможность сразу, од

ним взглядом охватить всю совокупность движений, могущих возникнуть при 
всевозможных начальных условиях» (А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин 
Теория колебаний). 
Данное учебное пособие посвящено вопросам исследования устойчивости динамических моделей с помощью системы компьютерной математики 
Maxima. В нем представлены основные аспекты теории устойчивости движения 
в смысле А.М. Ляпунова, дано подробное описание метода построения фазового портрета динамической системы и его компьютерная реализация с применением функциональных возможностей среды Maxima. Рассмотрены примеры 
использования систем компьютерной математики в исследованиях конкретных 
динамических моделей: модель брюсселяратора, модель Лотки-Вольтерры, модель системы управления перевернутым маятником.  
В первой части пособия описываются основные понятия и методы исследования теории устойчивости динамических систем в смысле А.М. Ляпунова. 
Дано понятие фазовой плоскости, фазового портрета, приведена классификация 
типов точек покоя. Представлены алгоритмы построения фазовых портретов 
однородной и неоднородной линейных систем дифференциальных уравнений и 
приведены примеры их реализации. Даны упражнения для самостоятельного 
решения. 
Во второй части данного учебного пособия проведен сравнительный анализ современных компьютерных систем. Дано краткое описание инструментария и функциональные возможности программной среды Maxima. Описано построение фазовых траекторий и поля направлений дифференциальных уравнений в Maxima. Приведены примеры использования Maxima в исследованиях 
устойчивости моделей динамических систем: модель брюсселяратора, модель 
Лотки-Вольтерры, модель системы управления перевернутым маятником. 
Предложены итоговые тестовые задания. 
Пособие предназначено для студентов направления подготовки 01.03.02 
Прикладная математика и информатика, также данное пособие будет интересно 
и полезно студентам IT-направлений: 09.03.01 Информатика и вычислительная 
техника, 09.03.02 Информационные системы и технологии. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЧАСТЬ 1. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И МЕТОДЫ  
АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ 
 
1.1. Основные понятия и методы исследования устойчивости  
динамических систем 
 

Динамическая система – любой объект или процесс, для которого одно
значно определено понятие состояния, как совокупности некоторых величин в 
некоторый момент времени, и задан закон, описывающий эволюцию начального состояния с течением времени. Динамические системы представляются динамическими моделями, которые содержат информацию о поведении системы 
и ее составных частей. Для описания поведения обычно используются записанные в виде формул, схем или компьютерных программ соотношения, позволяющие вычислить параметры системы и ее объектов, как функции времени. Зачастую динамическая модель представляется в виде системы автономных дифференциальных уравнений. Эволюцию динамической системы можно наблюдать в пространстве состояний системы. 

Способность динамической системы возвращаться в прежнее состояние 
равновесия после окончания ее действия возмущающего воздействия, нарушившего это равновесие, называется устойчивостью. Если при отсутствии 
влияния на систему возмущающих факторов ошибка регулирования стремится 
к нулю, то система находится в состоянии равновесия. Устойчивость модели 
является одним из главных ее свойств, характеризующим ее способность обеспечить результаты расчетов (выходные данные), отклоняющиеся от идеальных 
данных на допустимо малую величину. При этом в качестве идеальных подразумеваются выходные данные, получаемые в таких условиях, когда модель реализует записанные в ней математические зависимости абсолютно без помех; 
соответственно, реальные выходные данные получаются в условиях определенных возмущающих воздействий. Подробно об устойчивости рассмотрено в 
работах [2-4]. 

Рассмотрим понятие устойчивости для динамических систем, описывающихся дифференциальными линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Основы современного математического аппарата теории устойчивости заложены А.М. Ляпуновым в его докторской диссертации «Общая задача 
об устойчивости движения» (1892 г.) [3]. Именно А.М. Ляпунов дал строгое 
определение устойчивости решения. Отсутствие такого определения часто приводило к недоразумениям, так как решение могло оказаться устойчивым в 
смысле одного определения и неустойчивым в смысле другого. Определение 
А.М. Ляпунова оказалось настолько удачным, что оно принято всеми как основное. 
Приведем примеры определений устойчивости для линейных дифференциальных систем с постоянными коэффициентами из работы [2]. 
Рассмотрим систему линейных уравнений:  

 
(1.1) 

Теорема 1 (Об устойчивости линейной системы). Линейная однородная система (1.1) с постоянной матрицей A устойчива тогда и только тогда, когда: 
•  все собственные значения матрицы A лежат в замыкании левой полуплоскости: 
; 

•  размерность всех клеток Жордана, отвечающих лежащим на мнимой 
оси собственным значениям 
, равна единице. 
Теорема 2 (Об асимптотической устойчивости линейной системы). 
Линейная однородная система (1) с постоянной матрицей A асимптотически 
устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы  лежат строго в левой полуплоскости: 
 
Теорема 3 (Об экспоненциальной неустойчивости линейной системы). 
Линейная однородная система (1) с постоянной матрицей  экспоненциально 
неустойчива тогда и только тогда, когда существует хотя бы одно собственное 
значение 
 матрицы , лежащее в правой полуплоскости: 
. 
Теорема 4 (О степенной неустойчивости линейной системы). Линейная однородная система (1.1) с постоянной матрицей  имеет степенную неустойчивость тогда и только тогда, когда 
• все собственные значения матрицы  лежат в замыкании левой полуплоскости: 
; 
• существует хотя бы одно собственное значение 
, лежащее на мнимой 
оси (
), которому отвечает клетка Жордана размерности  
. 
Приведем список самых распространённых методов анализа устойчивости динамических систем [2]: 
1) метод показателей Ляпунова (первый метод Ляпунова); 
2) метод функций Ляпунова (второй метод Ляпунова); 
3) метод фазового пространства; 
4) метод бифуркаций (метод робастности системы); 
5) метод 
анализа 
устойчивости 
В.М. 
Попова 
(критерий  
В.М. Попова); 
6) круговой метод анализа устойчивости (критерий Я.З. Цыпкина); 
7) метод анализа устойчивости на основе свойств векторных полей состояний; 
8) метод конусности; 
9) методы, базирующиеся на понятии вход-выходной устойчивости; 
10) методы, базирующиеся на понятии гиперустойчивости в Смысле           
В.М. Попова; 
11) эвристические методы анализа устойчивости системы; 
12) эвристический метод Ванга анализа устойчивости системы; 
13) метод Такаги-Суджено анализа устойчивости системы; 
14) метод нечетких функций Ляпунова анализа устойчивости; 

15) методы, базирующиеся на понятиях индекса А. Пуанкаре и дивергенции векторного поля. 

Из вышеперечисленных методов не менее эффективным является метод 
исследования устойчивости системы с помощью фазового пространства (построения фазовых портретов). Сущность указанного метода заключается в том, 
что по дифференциальным уравнениям отдельных участков нелинейного элемента строят соответствующие фазовые портреты на плоскости. Данный метод 
позволяет изучить свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений.  

Метод фазового пространства является точным и наглядным для получения качественных выводов об анализе систем линейных дифференциальных 
уравнений. Однако дифференциальные уравнения, задающие математические 
модели динамических систем, обычно бывают нелинейными. В таком случае 
для исследования устойчивости их решений проводят линеаризацию уравнений 
[2]. В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о 
том, что возмущения координат и скоростей во все время движения остаются 
малыми, и поэтому в дифференциальных уравнениях удерживаются только 
члены первого порядка малости. Членами второго и более высоких порядков 
малости пренебрегают. Таким образом, линеаризованные дифференциальные 
уравнения являются линейными относительно возмущений координат и скоростей. Линеаризованные уравнения называют также уравнениями первого приближения. 
Следует также отметить, что метод исследования устойчивости систем, 
основанный на построении фазовых портретов, применим только к системам 
дифференциальных уравнений 2-го порядка. Хотя в настоящее время имеют 
место работы, в которых данный метод используется для исследования систем 
3-го и 4-го порядка [5]. Для уравнений более высокого порядка этот метод применяется очень редко, так как теряется наглядность. 
Рассмотрим кратко математическую составляющую данного метода. В 
следующем виде обычно берутся уравнения исследуемой системы: 

),
,
(
2
1
1
1
x
x
f
x =

 
(1.2) 
)
,
(
2
1
2
2
x
x
f
x =

 

Метод фазового пространства заключается в исследовании характера 
свободных движений нелинейных динамических систем типа (1.2) путем 
построения их фазовых траекторий на фазовой плоскости [6].  
Ненулевыми начальными условиями называются свободные движения 
динамических систем. Обозначим, что 

T
x
x
x
]
[
20
10
0 =
– вектор начальных условий. 

Это означает, что 
0
0
)
(
x
t
x
t
=
=
, где 






=
)
(

)
(
)
(
2

1
t
x

t
x
t
x
. 

 
 

В общем случае, фазовое пространство, или пространство состояний – это 
линейное n-мерное пространство, где компоненты вектора состояний являются 
координатами.  
Фазовая точка плоскости, или изображающая точка соответствует состоянию равновесия в некоторый момент времени . При изменении времени  от  
до 
 след изображающей точки на фазовой плоскости называется фазовой 
траекторией.  
Точка называется начальной, если она соответствует определенным 
начальным условиям или моменту времени 
. Фазовой скоростью называется вектор 
, который определяет направление движения изображающей точки в каждый момент времени. Особой точкой называется такая точка 
фазовой плоскости, в которой фазовая скорость равна нулю.  
Различают два типа фазовых траекторий: замкнутые (соответствуют периодическим движениям системы) и разомкнутые (соответствуют непериодическим движениям системы). Разомкнутые фазовые траектории начинаются в 
начальной точке и уходят либо в бесконечность, либо к некоторой особой точке, либо к замкнутой траектории [6]. 
Фазовым портретом системы называется совокупность фазовых траекторий и других элементов фазовой плоскости, которые отражают свойства нелинейной системы. С помощью фазовых портретов, без дополнительных выкладок, можно произвести следующие выводы о таких свойствах системы, как 
[6]:  
1) количество положений равновесия системы; 
2) характер движений системы в окрестности каждого положения равновесия; 
3) устойчивость положений равновесия; 
4) наличие или отсутствие периодических движений системы; 
5) наличие или отсутствие областей с различным характером фазовых 
траекторий и т.д. 

В зависимости от соотношения коэффициентов линейной дифференци
альной системы второго порядка имеют место различные типы фазовых портретов, соответствующих различным видам свободного движения. 

 
1.2. Фазовые портреты линейных динамических систем 
 
Линейная автономная однородная динамическая система 
Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами: 

(1.3) 

Координатную плоскость 
 называют ее фазовой плоскостью. Через любую 
точку плоскости проходит одна и только одна фазовая кривая (траектория). В 
системе (1.3) возможны три типа фазовых траекторий: 
• точка, 
• замкнутая кривая, 
• незамкнутая кривая. 
Точка на фазовой плоскости соответствует стационарному решению (положению равновесия, точке покоя) системы (1.3), замкнутая кривая – периодическому решению, а незамкнутая – непериодическому. 
 
Положения равновесия динамической системы 
Положения равновесия системы (1.3) найдем, решая систему: 

 

(1.4) 

Система (1.3) имеет единственное нулевое положение равновесия, если определитель матрицы системы: 

 
Если же 
, то, кроме нулевого положения равновесия, есть и другие, 
так в этом случае система (1.4) имеет бесконечное множество решений. 
Качественное поведение фазовых траекторий (тип положения равновесия) определяется собственными числами матрицы системы. 
 
Классификация точек покоя 
Собственные числа матрицы системы найдем, решая уравнение: 

 
(1.5) 

Заметим, что 
 (след матрицы) и
. 
Классификация точек покоя в случае, когда 
 приведена в таблице: 
 

Корни уравнения (1.5) 
Тип точки покоя 

 вещественные, одного знака 

(
 
Узел 

 вещественные, разного знака 

(
 
Седло 

 комплексные, 

 
Фокус 

 комплексные, 

 
Центр