Элементарная математика. Часть 2. Уравнения

Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников 

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА 

Часть 2. 

УРАВНЕНИЯ 

Учебное пособие 

2-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2022 

УДК 511.1 
ББК  22.1 
 Е59 

Рецензенты: 

Масина О.Н., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования и компьютерных технологий 
(Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, Елец); 

Томилова А.Е., кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры 
экспериментальной математики и информатизации образования 
САФУ имени М.В. Ломоносова. 

Е59 

Ельчанинова Г.Г. 
         Элементарная математика. Часть 2. Уравнения: учебное пособие / 
Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников. – 2-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2022. – 104 с. – ISBN 978-5-9765-4845-9 (часть 2); ISBN 978-5-97654111-5 (общий). – Текст : электронный. 

Основная цель учебного пособия – оказание методической помощи студентам, обучающимся по направлению 44.03.05 Педагогическое 
образование, профиль которых связан с математикой, в подготовке к 
практическим занятиям по дисциплине «Элементарная математика с 
практикумом по решению задач».  
Пособие ориентировано, в первую очередь, на студентов физикоматематического отделения института математики, естествознания и 
техники, но может быть полезно обучающимся других направлений 
подготовки, а также учителям математики при изучении и изложении 
материала, связанного с уравнениями.  

УДК 511.1 
ББК 22.1 

ISBN 978-5-9765-4845-9 (часть 2) 
ISBN 978-5-9765-4111-5 (общий) 

© Ельчанинова Г.Г., Мельникова Р.А., 
    2022 
© Издательство «ФЛИНТА», 2022 

Глава I 

[3] 

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ. 
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 

§ 1.1. Основные понятия и определения

Равенство двух математических выражений А и В: 
A = B, 
не 
являющееся 
тождеством 
на 
множестве 
допустимых 
значений 
буквенных величин, входящих в это равенство, называют уравнением на 
этом множестве. 
Под множеством допустимых значений уравнения, если нет 
специальной 
оговорки, 
понимают 
множество 
числовых 
значений 
буквенных величин, входящих в выражения А и В, при которых они 
одновременно имеют смысл. 
Следует иметь в виду, что одно и то же равенство может быть, как 
уравнением, так и тождеством в зависимости от того, на каком оно 
множестве рассматривается. 
Перейдем к более современной трактовке этого понятия. 

 Определение 1.1.1. Уравнение — аналитическая запись задачи об отыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций
равны.
 Определение 1.2.1. Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее эту переменную (её ещё называют неизвестной).
Решить уравнение

( )
( )
f x
g x
=
        
     (*) 
означает найти все такие числа a, для которых справедливо равенство 

( )
( )
f a
g a
=
, или доказать, что таких чисел не существует.  Число a называется корнем (решением) уравнения (*). 

Таким образом, решить уравнение (*) — означает найти множество 
всех его решений (корней). 

Множество всех решений уравнения (*) принадлежит области допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения, то есть пересечению области 
определения функции ( )
f x и области определения функции ( )
g x . 

ОДЗ = 
( )
( )
D f
D g

. 

Замечание 1.1.1. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения, называется множество всех значений переменной, при которых обе части уравнения имеют смысл. 
 Определение 1.3.1. Равносильными (эквивалентными) называют два

( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
(1) и 
( )
( )
2
2
f
x
g
x
=
(2) (или несколько) уравнения с одной переменной, если множества их корней совпадают.
Пишут: 

Глава I 

 

[4] 
 

( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
⇔
( )
( )
2
2
f
x
g
x
=
. 

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они 

имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней. 
 Определение 1.4.1. Если каждый корень уравнения 
( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
явля
ется в то же время корнем уравнения 
( )
( )
2
2
f
x
g
x
=
, полученного с помо
щью некоторых преобразований из уравнения 
( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
, то уравнение 

( )
( )
2
2
f
x
g
x
=
называется следствием уравнения 
( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
. 

Иными словами, если каждый корень уравнения
( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
являет
ся в то же время корнем уравнения 
( )
( )
2
2
f
x
g
x
=
, но не наоборот, то урав
нение (2) называют следствием уравнения (1). 
Замечание 1.2.1. Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то такие уравнения являются равносильными. 
 

§ 1.2. Совокупность уравнений 

 

 Определение 1.2.1. Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность уравнений, если ставится задача об отыскании всех таких 
значений переменной, каждое из которых удовлетворяет, по крайней мере, 
одному из заданных уравнений. 
Пример 1.2.1.  

2
2
5
3
1,

4
2.

x
x

x
x

+
=
−


=
−


 

 Определение 1.2.2. Решением совокупности нескольких уравнений является объедение множеств корней уравнений, составляющих данную совокупность.  

Процесс решения любого уравнения можно представить следующим 

образом: заданное уравнение (1) преобразуют в уравнение (2), более простое, чем уравнение (1); уравнение (2) преобразуют в уравнение (3), более 
простое, чем уравнение (2), и т.д.  

В итоге получают достаточно простое уравнение и находят его кор
ни. В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает ли множество 
найденных корней последнего уравнения с множеством корней исходного 
уравнения (1)? Если все преобразования были равносильными, т.е. если 
были равносильны уравнения (1) и (2), (2) и (3), (3) и (4) и т.д., то ответ на 
поставленный вопрос положителен. Это значит, что, решив последнее 
уравнение цепочки, мы тем самым решим и первое (исходное) уравнение 
цепочки. Если же некоторые преобразования были равносильными, а в некоторых мы не уверены, но точно знаем, что переходили с их помощью к 
уравнениям-следствиям, то однозначного ответа на поставленный вопрос 
мы не получим. 

Глава I 

 

[5] 
 

Чтобы ответ на вопрос был более определенным, нужно все най
денные корни последнего уравнения цепочки проверить, подставив их поочередно в исходное уравнение (1). Если проверка показывает, что 
найденный корень последнего уравнения цепочки не удовлетворяет исходному уравнению, его называют посторонним корнем; естественно, что посторонние корни в ответ не включают. 
 Определение 1.2.3. Если при выполнении преобразований уравнение 

( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
 свелось к уравнению 
( )
( )
2
2
f
x
g
x
=
(или совокупности урав
нений), некоторые корни которого (которой) не являются корнями уравнения
( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
, то эти корни уравнения 
( )
( )
2
2
f
x
g
x
=
 называются по
сторонними корнями уравнения 
( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
. 

Пример 1.2.2. Если возвести обе части уравнения 
x
x
= −
 в квадрат, то 

получим уравнение 
2
x
x
=
, которое имеет два корня 
1
2
0,
1
x
x
=
= . Но про
верка показывает, что корень 
2
1
x = является посторонним, так как приво
дит к неверному числовому равенству 1
1
= − . 

Термин «более простое уравнение» вообще говоря, не поддаётся, 

точному описанию. Обычно считают одно уравнение более простым, чем 
другое, по чисто внешним признакам (известен способ решения уравнения). Мы понимаем характеристику «более простое» уравнение как уравнение, способ решения которого более известен человеку. Это субъективная 
характеристика.  

В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило, осу
ществляется в три этапа: 
1) осуществляют преобразования по схеме (1), (2), (3), (4), ... и находят 
корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки; 
2) анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли 
они были равносильными;  
3) если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые 
преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна 
проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение. 

Таким образом, в ходе решения мы задаёмся следующими вопроса
ми: 

o как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому рав
носильным преобразованием?  

o какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравне
ние-следствие?  

o если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, как сделать 

проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?  

o в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может 

произойти потеря корней и как этого не допустить? 

Глава I 

 

[6] 
 

Решение уравнений, встречающихся в школьном курсе алгебры, ос
новано на теоремах о равносильности.  

Любой член уравнения можно переносить из одной его части в дру
гую с противоположным знаком. 

Обе части уравнения можно возводить в одну и ту же нечетную 

степень. 

Обе части уравнения ( )
( )
f x
g x
=
 можно умножать на одно и то 

же число, отличное от нуля, или выражение h(x), которое имеет смысл 
всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения 

( )
( )
f x
g x
=
и нигде в этой области не обращается в нуль. 

Обе части уравнения ( )
( )
f x
g x
=
можно возводить в одну и ту же 

чётную степень, если 
 и 
 неотрицательны в области определения 

уравнения. 

Если в процессе решения уравнения мы применили заключение од
ной из двух последних теорем, не проверив выполнения ограничительных 
условий, заложенных в их формулировках, то получится уравнениеследствие. Возможные причины перехода к уравнению-следствию (расширения области определения уравнения): 
1) Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину. 
2) Освобождение в процессе решения уравнения от знаков радикалов (корней) четной степени. 

Подведем итоги. Исходное уравнение преобразуется в процессе ре
шения в уравнение-следствие, а значит, обязательна проверка всех найденных корней, если: 
1) произошло расширение области определения уравнения; 
2) осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень; 
3) выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной (разумеется, имеющее смысл во всей области определения уравнения). 

Если проверка корней с помощью их подстановки в исходное урав
нение сопряжена со значительными вычислительными трудностями, то 
ищут «обходные пути» проверки. И самый легкий обходной путь проверки 
— это нахождение области определения (ОДЗ) заданного уравнения. 

В некоторых случаях при переходе от одного уравнения к другому 

может произойти потеря корней.  
 Определение 1.2.4. Если при выполнении преобразований уравнение 

( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
свелось к уравнению
( )
( )
2
2
f
x
g
x
=
(или совокупности урав
нений), некоторые корни уравнения 
( )
( )
1
1
f
x
g
x
=
 не являются корнями 

уравнения 
( )
( )
2
2
f
x
g
x
=
, то в таких случаях говорят о потере корней. 

Глава I 

 

[7] 
 

Пример 1.2.3. Уравнение (
)
2
1
1
x
x
−
=
−  имеет два корня 1
2
2,
1
x
x
=
= . Если 

обе части уравнения разделить на выражение 
1
x − , то получим уравнение 

1 1
x − = , которое имеет только один корень 
1
2
x =
. Таким образом, при де
лении обеих частей уравнения произошла потеря корня. 

Потеря корней происходит по двум причинам:  

1) деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(х) (кроме 
тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h(х)≠ 0);  
2) сужение ОДЗ в процессе решения уравнения. 

Чтобы избежать действий, соответствующих первой причине, нужно 

приучать себя переходить от уравнения 
( ) ( )
( ) ( )
f x h x
g x h x
=
к уравнению 

( )
( )
( )
(
)
h x
f x
g x
0
−
=
( )
0,
( )
( )
h x
f x
g x
=

⇔ 
=


, а не к уравнению ( )
( )
f x
g x
=
.  

Нельзя допускать путаницы в двух понятиях: совокупность уравне
ний и система уравнений, которые играют важную роль в элементарной 
математике. 
 
Определение 
1.2.5. 
Совокупность 
двух 
и 
более 
уравнений 

1
1
A
B
=
,
2
2
A
B
=
, … 
n
n
A
B
=
, рассматриваемых совместно, называется си
стемой уравнений и записывают 

1
1

2
2

,
,
..........
.
n
n

A
B
A
B

A
B

=


=



=


 

Классификацию систем (их названия) обычно проводят по числу и 

характеру уравнений, входящих в систему. Например, 

а) 

2
2
0,
1
2
3

x
x

x
x


−
−
=

=
+


 

— система двух рациональных уравнений с одним неизвестным; 

б) 

2
3,

3
1

x
y

x
y

+
=


−
=


 

— система двух уравнений первой степени (линейных) с двумя неизвестными; 

в) 
2
2,

3
4

x
y

x
xy
z


+
=

−
=
+


 

Глава I 

[8] 

— смешанная система двух уравнений с тремя неизвестными (одно уравнение — иррациональное, а другое — рациональное), или просто — алгебраическая система двух уравнений с тремя неизвестными. 

Упорядоченный набор значений неизвестных системы, принадлежа
щих её множеству допустимых значений и удовлетворяющих всем уравнениям системы одновременно, принято называет решением системы. 

Решить систему — это значит найти множество всех её решений. Ес
ли система не имеет решений, то говорят, что она противоречивая, или 
несовместная. 

Более подробное знакомство с системами уравнений, методами их 

решения произойдет в следующей части пособия. 

§ 1.3. Уравнения с одной переменной и их классификация

Уравнения с одной переменной можно условно разделить на несколько больших групп: 
Рациональные уравнения (алгебраические и дробно-рациональные). 
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 
Иррациональные уравнения. 
Трансцендентные уравнения (показательные, логарифмические, тригонометрические). 
Уравнения, содержащие параметр. 
Комбинированные уравнения. 
 Определение 1.3.1. Уравнение ( )
( )
f x
g x
=
(1) называется алгебраиче
ским, если 
( )
f x  и 
( )
g x  — многочлены. Оно называется дробно
рациональным, если 
( )
f x  и ( )
g x — рациональные функции, причём, хотя
бы одна из них дробно-рациональна относительно x.

Замечание 1.3.1. Уравнение вида 
( )
( )
( )
0,
0
p x
q x
q x =
≠
называется рациональ
ным. 

Методы решения рациональных уравнений: 

Метод разложения на множители. 
Метод введения новой переменной. 
Метод разложения на элементарные дроби. 
Метод выделения полного квадрата. 
Метод использования однородности уравнения относительно некоторой функции. 
Метод сведения уравнения к системе более простых уравнений. 
Более подробно эти методы будут рассмотрены в подпунктах § 1.9. 
Перейдём далее к классификации рациональных уравнений. 

Глава I 

 

[9] 
 

1.3.1. Линейные уравнения 

 

 Определение 1.3.1.1. Линейным уравнением с неизвестными х, у, ..., z 
называется уравнение вида:  

ах+by +...+ cz = d,                                            (1) 
где коэффициенты а, b , ..., с и свободный член d — числа (или некоторые 
функции параметров).  
 Определение1.3.1.2. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет 
следующий вид:  

ах = b,                                                     (2) 
где а и b — числа.  
Случай 1°. а 
0
≠
. В этом случае уравнение (2) имеет единственное реше
ние (выполнимость деления):  

b
x
a
=
. 

Случай 2°. а = 0, b
0
≠
. В этом случае уравнение не имеет решений. В са
мом деле, 0х = 0 при произвольном х; следовательно, если b
0
≠
, то равенство (2) не может выполняться ни при каком значении х.  
Случай 3°. а = b = 0. В этом случае уравнение (2) примет вид 0х = 0 и удовлетворяется тождественно; его решением служит произвольное число х. 
 

1.3.2. Квадратные уравнения 

 
 
Определение1.3.2.1. 
Уравнение 
вида 
2
0
ax
bx
c
+
+
=
, 
где 

, ,
,
0
a b c
const a
−
≠
, называется квадратным уравнением. 

Замечание 1.3.2.1. 
1) если 
1
a = , то уравнение называется приведённым;  
2) если 
1
a ≠ ,то уравнение не является приведённым;  
3) если 
0,
0
b
c
≠
≠
, то уравнение называется полным; 
4) если 
0
b =
 или 
0
c =
, или 
0
b
c
=
=
, то уравнение называется неполным: 

a) Если 
0
b =
, то уравнение принимает вид 
2
2
0
c
ax
c
x
a
+
=
⇒
= −
: 

если 
0,
0
c
a
>
>
или 
0,
0
c
a
<
<
, то уравнение решений не имеет; 
если 
0,
0
c
a
>
<
или 
0,
0
c
a
<
>
, то уравнение имеет два решения  

1,2
c
x
a
= ± −
. 

б) Если 
0
c =
, то уравнение принимает вид 
2
0
ax
bx
+
=
 или (
)
0
x ax
b
+
=
 

1

2

0,
.
x
b
x
a

=


⇔ 
= −


 

Глава I 

 

[10] 
 

в) Если 
0
b
c
=
=
, то уравнение принимает вид 
2
0
ax =
. Оно имеет единственное решение 
0
x =
. 

Вывод формулы корней квадратного уравнения 

2
0 :
0
ax
bx
c
a
+
+
=
≠
. 

2
0
b
c
x
x
a
a
+
+
=
. 

В левой части уравнения выделяем полный квадрат 

2
2
2
2
2
2
0
2
4
4
b
b
b
c
x
x
a
a
a
a
+
⋅
+
−
+
=
. 

2
2
2
2
2
2
0
2
4
4
b
b
b
c
x
x
a
a
a
a





+
⋅
+
−
−
=













. 

2
2

2
4
0
2
4
b
b
ac
x
a
a
−


+
−
=





. 

2
2
2
4
0
2
2
b
b
ac
x
a
a



−




+
−
=









. 

2
2
4
4
0
2
2
2
2
b
b
ac
b
b
ac
x
x
a
a
a
a


 

−
−

 

+
−
⋅
+
+
=

 


 


. 

Выражение 
2
4
b
ac
−
 называется дискриминантом (от лат. «различитель»). Обозначение: 
2
4
D
b
ac
=
−
. 
Тогда 

0,
2
0
2
2
.
2

b
D
x
b
D
b
D
a
x
x
a
a
b
D
x
a


−
+
=


 

−
+

+
⋅
+
=
⇔

 


+

 

+


 

Или 

1

2

,
2

.
2

b
D
x
a

b
D
x
a


− −
=



− +
=


 

Замечание 1.3.2.2. 
Если 
0
D >
, то квадратное уравнение имеет два различных корня. 

Если 
0
D =
, то уравнение имеет один (кратный) корень 
2
b
x
a
= −
. 

Если 
0
D <
, то уравнение не имеет решений.