Тригонометрия. Методика изучения и решения задач

Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников 

Тригонометрия 
Методика изучения и решения задач

Учебно-методическое пособие 

2-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2022 

УДК 511.1 
ББК  22.1 
 Е59 

Рецензенты: 
Масина Ольга Николаевна – доктор физико-математических наук, 
профессор, заведующий кафедрой математического моделирования  
и компьютерных технологий  
(Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, Елец). 

Томилова Анна Евгеньевна – кандидат педагогических наук, доцент 
кафедры экспериментальной математики и информатизации образования 
(ФГАОУ ВО Северный (Арктический) федеральный университет 
им. М. В. Ломоносова) 

Е59 

Ельчанинова Г.Г. 
    Тригонометрия. Методика изучения и решения задач: учебнометодическое пособие / Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников. – 2-е 
изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2022. – 101 с. – ISBN 
978-5-9765-4843-5. – Текст : электронный. 

Основная цель учебного пособия – оказать помощь студентам в 
подготовке к занятиям по дисциплине «Элементарная математика», в 
написании курсовой и выпускной квалификационной работы.  
Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов физико-математического отделения института математики, естествознания и техники. 
Данное издание может использоваться преподавателями вузов, 
а также учителями средних школ для разработки элективных курсов. 

УДК 511.1 
ББК  22.1 

ISBN 978-5-9765-4843-5 
© Ельчанинова Г.Г., Мельников Р.А., 2022 
© Издательство «ФЛИНТА», 2022 

Глава I 

3 

ГЛАВА I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 
ОСТРОГО И ПРОИЗВОЛЬНОГО УГЛОВ 

§ 1.1. Углы

Напомним следующие определения из школьного курса геометрии: 
Два луча, выходящие из одной точки, образуют фигуру, которая
называется углом.
Угол называется острым, если его градусная мера заключена между
значениями 0◦ и 90◦.
Угол является прямым, если он равен 90◦.
Угол называется тупым, если его градусная мера заключена между 90◦

и 180◦.
Угол называется развернутым, если он равен 180◦.

Пока мы будем рассматривать только такие углы, так как сначала мы 
будем давать определения тригонометрических величин, исходя из 
понятия «треугольник», одним из компонентов этой простейшей 
геометрической является угол. 

§ 1.2.Тригонометрические функции острого угла

Рассмотрим 
прямоугольный 
треугольник ABC (Рис. 1.2.1) и введём обозначения: AB=c, BC=a, AC=b. 
Напомним, что если в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, то 
катет, лежащий напротив этого угла, называется противолежащим катетом, а катет, являющийся одной из сторон угла, 
называют прилежащим катетом. 
Тригонометрические функции острого угла (α или β ) 
Синусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Пишут: 
a
sin
= c
α
 или 
b
sin
= c
β
. 

Глава I 
 

 

4 
 

Косинусом  острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.  

Пишут: 
b
cos
= c
α
 или 
a
cos
= c
β
.  

Ясно, что при этом выполняется равенство
90
α
β
+
=
 (сумма острых 
углов 
прямоугольного 
треугольника 
равна 
90◦), 
то, 
очевидно, 

sin
=cos
α
β , а также cos
=sin
α
β . 

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.  

Пишут: 
a
tg
= b
α
 или 
b
tg
= a
β
. 

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется 
отношение прилежащего катета к противолежащему катету.  

Пишут: 
b
ctg
= a
α
 или 
a
ctg
= b
β
.  

Очевидно, что имеют место равенстваtg
=ctg
α
β , а также 

ctg
=tg
α
β . 
Кроме введённых четырёх тригонометрических функций (их 
называют 
основными 
тригонометрическими 
функциями) 
можно 
рассмотреть ещё две функции секанс и косеканс. 
Секансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к прилежащему катету.  

Пишут: 
c
sec
= b
α
 или 
c
sec
= a
β
.  

Косекансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к противолежащему катету.  

Пишут: 
c
cosec
= a
α
 или 
c
cosec
= b
β
. 

Из определений тригонометрических функций следует, что:  

 
sin
cos
tg
=
α
α
α
, 
(1.2.1) 

 
cos
sin
ctg
=
α
α
α
. 
(1.2.2) 

Далее можем получить формулы, выражающие связь тангенса и 
котангенса одного и того же острого угла прямоугольного треугольника: 
 

cos
sin

sin
1
1
cos
ctg
tg
=
=
=
α
α

α
α
α
α
, 
(1.2.3) 

Глава I 

5 

sin
cos

cos
1
1
sin
tg
ctg
=
=
=
α
α

α
α
α
α
. 
(1.2.4) 

 Из формул (1.2.3) и (1.2.4) непосредственно вытекает формула 

ctg
tg
=1
⋅
α
α
. 
(1.2.5) 

Далее применим к треугольнику ABC теорему Пифагора. Имеем 
равенство 

2
2
2
a
b
c
+
=
. 
Разделим обе его части на 

2c . Получим 

2
2

2
2
1
a
b
c
c
+
= .

Так как a=sin
c
α  и b=cos
c
α , то последнее равенство можно 

переписать в виде 

(
)
(
)
2
2
1
sin
cos
+
=
α
α
 
или 

2
2
1
sin
cos
+
=
α
α
. 
(1.2.6) 

Равенство 
(1.2.6) 
называют 
основным 
тригонометрическим 

тождеством. 

Разделим обе части основного тригонометрического тождества на 

2
cos α  и 

2
sin α  соответственно, получим такие формулы: 

2
2
1
1
tg
cos
+
=
α
α , 
(1.2.7) 

2
2
1
1
ctg
sin
+
=
α
α . 
(1.2.8) 

Легко заметить, что функция секанс непосредственно связана с 
косинусом, а функция косеканс – с синусом следующими соотношениями: 

1
sec
cos
=
α
α , 
(1.2.9) 

1
cosec
sin
=
α
α . 
(1.2.10) 

Используя соотношения (1.2.9) и (1.2.10) формулы (1.2.7) и (1.2.8) 
можно соответственно переписать в виде: 

2
2
1
tg
sec
+
=
α
α , 
(1.2.11) 

2
2
1
ctg
cosec
+
=
α
α . 
(1.2.12) 
Отметим, что две последние формулы можно переписать в ином 
виде, роднящем их с основным тригонометрическим тождеством: 

2
2
1
sec
tg α
α
=
−
, 
(1.2.11*) 

2
2
1
cosec
ctg
α
α
−
=
. 
(1.2.12*) 

Глава I 

6 

 Заметим теперь, что названия тригонометрических функций попарно
созвучны и отличаются лишь наличием или отсутствием приставки «ко».
По этой причине тригонометрические функции можно разбить на две
группы: без приставки «ко» (условимся называть их основными
тригонометрическими функциями) и содержащие приставку «ко» (будем
назвать их дополнительными тригонометрическими функциями).
Представим это в виде схемы. 

Название «косинус» представляет собой сокращение термина complementi sinus (синус дополнения), выражающего тот факт, что cos α  равен 
синусу угла, дополнительного к α  (т.е. составляет в сумме с ним угол, 
равный 900). По такому же принципу образованы названия «котангенс» 
(тангенс дополнения) и «косеканс» (секанс дополнения). 
Основные и дополнительные тригонометрические функции образуют 
две группы (по три в каждой) функций. Каждую группу функций по 
отношению к другой, будем называть «ко-функциями». 

§ 1.3.Тригонометрические функции дополнительных углов

Два острых угла, в сумме составляющих прямой угол называются
дополнительными.
Очевидно, что острые углы прямоугольного треугольника являются 
дополнительными по отношению друг к другу. 

Рис. 1.3.1 
Если в прямоугольном треугольнике ∆ ABC (
90
С
∠
=
), острый угол 

BAС
α
∠
=
, то второй острый угол 
90
ABС
α
∠
=
−

. 
Из Рис. 1.3.1 имеем 

Глава I 

 

7 
 

(
)
90
b
sin
cos
c
α
α
−
=
=

, 

(
)
90
a
cos
sin
c
α
α
−
=
=

, 

т.е. синус одного из двух острых углов равен косинусу другого угла. 
Аналогично,  

(
)
90
b
tg
ctg
a
α
α
−
=
=

, 

(
)
90
a
ctg
tg
b
α
α
−
=
=

, 

т.е. тангенс одного из двух острых углов  прямоугольного треугольника 
равен котангенсу другого угла. 
Кроме того 

(
)
90
c
sec
cosec
a
α
α
−
=
=

, 

(
)
90
c
cosec
sec
b
α
α
−
=
=

. 

Заключаем, что секанс одного из двух острых углов  прямоугольного 
треугольника равен косекансу другого угла. 
Например, 
11
79
sin
cos
=

, 
51
39
tg
ctg
=

, 
27
63
sec
cosec
=

 . 
 
§ 1.4. Значения тригонометрических функций углов 30◦, 45◦, 60◦ 

 
Прежде всего, заметим, что в прямоугольном треугольнике 
отношение двух его сторон зависит только от величины одного из острых 
углов и не зависит от линейных размеров сторон. 
Если изменить угол, то изменится отношение; 
если изменить отношение, то изменится угол. 
Для 
каждого 
угла 
такое 
отношение 
постоянно, что легко доказать, используя подобие 
треугольников ABC и 
1
1
AB C  (Рис. 1.4.1). 
Поэтому 
числовые 
значения 
тригонометрических функций 
острых 
углов, 
найденные, 
например, для треугольника с 
гипотенузой, равной единице, 
будут такими же и для любого 
другого треугольника с теми 
же острыми углами.  
Учитывая этот факт, при 
нахождении значений тригонометрических функций 

Глава I 
 

 

8 
 

углов 30◦, 45◦, 60◦ [1 градус (1◦) – это 1  
90 часть плоского прямого угла] 

будем, для удобства, рассматривать прямоугольный треугольник с 
гипотенузой, равной единице. 
При таком выборе треугольника противолежащий катет будет равен 
синусу угла, а прилежащий – косинусу угла. 
Итак, 
рассмотрим 
сначала 
равнобедренный 
прямоугольный 
треугольник ABC (Рис. 1.4.2). Оба острых угла рассматриваемого 
треугольника равны по 45◦. А так как CB = CA, то по теореме Пифагора 

2
2
1
CB
CA
+
= . Значит, 

2
2
1
CA = , откуда 
2
CB = CA= 2 . 

Таким образом, 
2
sin45  = cos45  = 2



. 

 Следовательно, tg45 =ctg 45 =1


.  
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с острыми углами 
30◦ и 60◦ (Рис. 1.4.3).  
Известно, 
что 
катет, 
лежащий 
против угла в 30◦, равен половине 

гипотенузы. 
Поэтому 
1
BC= 2  
и 
по 

теореме Пифагора 
( )

2
3
2

2
1
2
CA= 1 −
=
. 

Отсюда 
следует, 
что 
1
30
2
sin
=

, 

3
30
2
cos
=

, 
1
3
30
3
3
tg
=
=

, 
30
3
ctg
=

. 

С другой стороны, катет CA, лежащий против угла 60◦, – это синус 

этого угла, а катет CB – косинус угла. Таким образом, 
3
60
2
sin
=

, 

1
60
2
cos
=

, 
60
3
tg
=

, 
1
3
60
3
3
ctg
=
=

. 

Обратим внимание на тот факт, что углы 30◦ и 60◦, а также два угла 
по 45◦ являются частными случаями, так называемых, взаимно 
дополнительных углов (см. § 1.3.).  
Для удобства запоминания значений синуса углов 30◦, 45◦, 60◦ (а 
также 0◦ и 90◦) можно использовать правило ладони.  
Если присвоить каждому из пальцев ладони номер и сопоставить 
угол (см. Рис. 1.4.4), то для нахождения синуса каждого из этих углов 

Глава I 

 

9 
 

достаточно извлечь квадратный корень из номера пальца, сопоставленного 
углу, и полученный результат разделить на два.  

Итак, 
2
n
sin
=
α
. 

 
Рис. 1.4.4 
Запишем результаты, получаемые с помощью этой формулы и 
Рис. 1.4.4 в виде таблицы. 

Номер и название 
пальца ладони 
n=№ 
Угол 
sinα  

№0 – Мизинец  

n=0 
00 
0
0
0
2
sin
=
=

 

№1 – Безымянный 

n=1 
300 
1
1
30
2
2
sin
=
=

 

№2 – Средний 

n=2 
450 
2
45
2
sin
=

 

№3 – Указательный 

n=3 
600 
3
60
2
sin
=

 

№4 – Большой  

n=4 
900 
4
90
1
2
sin
=
=

 

 
Замечание. С помощью «правила ладони» можно находить и 
значения косинусов тех же самых углов. Для этого надо начать нумерацию 
пальцев не с мизинца, а с большого пальца. 
 
 
 
 

Глава I 
 

 

10 
 

§ 1.5. Угол как мера поворота подвижного луча вокруг данной точки 
 
Любой угол 
AOB
∠
, как геометрическую фигуру можно получить в 
результате вращения подвижного луча вокруг вершины О от начальной 
стороны ОА угла до его конечной стороны ОВ. Тогда величину поворота, 
совершенного этим лучом, измеряют величиной угла, который образуют 
лучи ОА и ОВ. Луч ОА называют началом отсчета угла, а о луче ОВ 
говорят, что он определяет угол поворота. 
Угол называется положительным, если он образован поворотом луча 
против хода часовой стрелки, и отрицательным, если он образован 
поворотом луча по ходу часовой стрелки. 

Обозначим 
через 
ϕ  
наименьший 
неотрицательный 
угол, 
образованный лучами ОА и ОВ (Рис. 1.5.1).  
 

 
 
Если луч ОВ совершает дополнительно полный оборот вокруг точки 
О против хода часовой стрелки (такой поворот считают поворотом на 
3600), то получаем другую величину угла, равную 
360
ϕ +
. А тогда ясно, 
что любой угол поворота ϕ , определяемый лучом ОВ, можно представить 
в виде 

360
n
ψ
ϕ
=
+
⋅

,  
где 0
360
ϕ
≤
≤

 , а n
Z
∈
.  
 На практике уже более трех тысяч лет 
за единицу измерения величины угла 

принята 360
1  часть полного оборота, ко
торую называют градусом. 

В технике за единицу измерения 
углов принимают полный оборот.  
В мореплавании за единицу изме
рения углов принят румб, равный 

32
1  ча
сти полного оборота.