Статистические методы обработки и планирования эксперимента

С. А. Осипенко 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Статистические методы обработки 
и планирования эксперимента 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Берлин 
2020 

УДК 519.226(075) 
ББК 22.172.1я73+87.256.631я73 

О74 

Осипенко, С. А. 

О74        Статистические методы обработки и планирования эксперимента : 

учебное пособие / С. А. Осипенко. – Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 
2020. – 61 с. 

ISBN 978-5-4499-1629-7 

В учебном пособии рассматриваются вопросы статистической обработки 
экспериментальных данных, являющейся важным этапом при проведении полной 
математической обработки результатов экспериментов. Выделены основные 
проблемы, связанные с применением дисперсионного анализа, начиная от создания 
математической модели вплоть до интерпретации результатов. 
Данное пособие предназначено для студентов вузов, преподавателей и всех 
занимающихся научными исследованиями. 

Текст печатается в авторской редакции. 

УДК 519.226(075) 
ББК 22.172.1я73+87.256.631я73 

ISBN 978-5-4499-1629-7 
© Осипенко С. А., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020

Оглавление 

1. Основные принципы планирования эксперимента .................................................... 4
2. Дисперсионный анализ ................................................................................................. 5
3. Однофакторный дисперсионный анализ
(при одинаковом числе испытаний на всех уровнях) .................................................... 7 
4. Однофакторный дисперсионный анализ
(при неодинаковом числе испытаний на всех уровнях) .............................................. 14 
5. Двухфакторный дисперсионный анализ ................................................................... 27
6. Трехфакторный дисперсионный анализ ................................................................... 43
7. Гнездовые или иерархические планы (схемы) ......................................................... 51
Библиографический список ............................................................................................ 54 
Приложение 1 ................................................................................................................... 55 
Приложение 2 ................................................................................................................... 59 

1. Основные принципы планирования эксперимента

Под статистическим планированием эксперимента понимается организация экспериментального исследования, которая позволит собрать необходимые данные, применить для их анализа статистические методы и сделать 
правильные и объективные выводы. Без статистического подхода к планированию эксперимента не обойтись.  
Если данные эксперимента содержат ошибки, то статистические методы являются единственным объективным подходом к их анализу. Таким образом, в любой экспериментальной задаче два аспекта: планирование эксперимента и статистический анализ данных, причем эти два аспекта тесно взаимосвязаны, так как метод анализа непосредственно зависит от использованного плана. 
В основе планирования эксперимента лежат два принципа – репликация и рандомизация. Под репликацией понимают повторение основного эксперимента. Рандомизация – краеугольный камень, на котором основано применение статистических методов в планировании эксперимента. Рандомизация означает, что распределение экспериментального материала и порядок, в 
котором должны проводиться отдельные опыты или прогоны, устанавливаются случайным образом. 
При использовании статистического подхода к планированию экспериментов и анализу данных необходимо, чтобы все участники эксперимента 
еще до его начала ясно понимали, что именно предстоит исследовать и каким 
образом нужно собирать данные. Можно рекомендовать следующую схему: 
1.
Признание факта существования задачи и ее формулировка.
2.
Выбор факторов и уровней.
3.
Выбор переменной отклика (зависимой переменной).
4.
Выбор плана эксперимента.
5.
Проведение эксперимента
6.
Анализ данных.
7.
Выводы и рекомендации.

2. Дисперсионный анализ

Инициатором применения статистических методов в планировании 
экспериментов является Рональд А. Фишер. В течение нескольких лет он был 
ответственным за статистическую обработку данных в Лондоне. Фишер разработал и впервые применил дисперсионный анализ в качестве важнейшего 
метода статистического анализа в планировании экспериментов. 
Методы планирования эксперимента впервые начали использовать в 
сельскохозяйственных и биологических науках. Современные методы планирования экспериментов сегодня широко применяются во всех областях исследований: агрономии, медицине, биологии, прикладных, естественных и 
общественных науках и др. 
Дисперсионный анализ – статистический метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов (категориальных, группирующих, независимых переменных), обозначаемых латинскими буквами A,B,C и т. д., на 
результаты эксперимента (зависимые переменные). Для проведения дисперсионного анализа необходимо, чтобы независимая переменная была категориальной, а зависимая – метрической. Например, факторами, влияющими на 
содержание микроэлементов в пробе, могут быть: A – метод геохимического 
анализа, B – территория, C – среда съёмки (почва, снег, зола, накипь).  
В этом случае говорят о применении 3-х факторного дисперсионного 
анализа для исследования влияния 3-х факторов (A – метод геохимического 
анализа с 2-мя уровнями; B – территория с 3-мя уровнями и C – среда съемки 
с 4-мя уровнями) на содержание микроэлементов в пробе. 
Суть дисперсионного анализа (analysis of variance – сокращенно ANOVA) 
заключается в разложении дисперсии измеряемого признака на независимые 
слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора 
или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет 
оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации. 
Анализ основан на расчете F-статистики (статистика Фише-ра), 
которая представляет собой отношение двух дисперсий: межгрупповой и 
внутригрупповой. F-тест в однофакторном дисперсионном анализе определяет, значимо ли различаются средние нескольких независимых выборок. 
Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы из общей вариативности признака вычленить вариативность иного рода:  
а) вариативность обусловленную действием каждой из исследуемых 
независимых переменных; 
б) вариативность, обусловленную взаимодействием исследуемых независимых переменных;  
в) случайную вариативность, обусловленную всеми другими неизвестными переменными.  

Чем  в большей степени вариативность признака обусловлена исследуемыми переменными (факторами) или их взаимодействием, тем выше эмпирические значения критерия.  
Нулевая гипотеза в дисперсионном анализе будет гласить, что средние 
величины исследуемого результативного признака во всех градациях одинаковы. 
Альтернативная гипотеза будет утверждать, что средние величины 
результативного признака в разных градациях исследуемого фактора различны. 
Ограничения метода однофакторного дисперсионного анализа для несвязанных выборок: 
1. Однофакторный дисперсионный анализ требует не менее трех градаций фактора и не менее двух испытуемых в каждой градации. 
2. Результативный признак должен быть нормально распределен в исследуемой выборке. 
Правда, обычно не указывается, идет ли речь о распределении признака 
во всей обследованной выборке или в той ее части, которая составляет дисперсионный комплекс. 

3. Однофакторный дисперсионный анализ
(при одинаковом числе испытаний на всех уровнях) 

Пусть на количественный нормально распределенный признак Х воздействует фактор  F, который имеет p постоянных уровней F1, F2,…,Fp. На 
каждом уровне произведено по q испытаний. Результаты наблюдений – числа 
xij, где i-номер испытания (i=1,2,…,q), j – номер уровня фактора (j=1,2,…,p) 
записываются в виде таблицы (таблица 1) 
Таблица 1 

Номер испытания
Уровни фактора

i
F1
F2
…
Fp

1
𝑥11
𝑥12
…
𝑥1𝑝

2
𝑥21
𝑥22
…
𝑥2𝑝

…
…
…
…
…

q
𝑥𝑞1
𝑥𝑞2
…
𝑥𝑞𝑝

Групповая средняя 𝑥гр
𝑥гр1
𝑥гр2
…
𝑥гр 𝑝
Ставится задача: на уровне значимости α проверить нулевую гипотезу 
о равенстве групповых средних при допущении, что групповые генеральные 
дисперсии хотя и независимы, но одинаковы. Для решения этой задачи вводятся:  
- 
общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от общей средней 

𝑆общ = 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥̅2

𝑞

𝑖=1

𝑝

𝑗=1

(1) 

- факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей 
средней (характеризует рассеяние «между группами») 

𝑆факт = 𝑞 (𝑥гр 𝚥
− 𝑥̅)2

𝑝

𝑗=1

 
(2) 

- 
остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений 
группы от всей групповой средней (характеризует рассеяние «внутри групп») 

𝑆ост = (𝑥𝑖1 − 𝑥гр1
)2 + ⋯ + (𝑥𝑖𝑝 − 𝑥гр 𝑝
)2

𝑞

𝑖=1

𝑞

𝑖=1

 
(3) 

Практически остаточную сумму находят по формуле: Sост=Sобщ - Sфакт (4) 
Для вычисления общей и факторной сумм более удобны следующие 
формулы: