Анализ временных рядов и прогнозирование

О. А. Воейко 

Анализ временных рядов 
и прогнозирование 

Практикум 

Москва 
Берлин 
2019 

УДК 006.9(075) 
ББК 60.6я73 
В63 
Рецензент: 
к.т.н. Исаев В. Г. 

Воейко, О. А. 

В63       Анализ временных рядов и прогнозирование: практикум / О. А. Воейко. – Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 
2019. – 175 с. 

ISBN 978-5-4499-0178-1 

Практикум содержит практические задания и методические 
рекомендации по их выполнению. 
Практикум 
предназначен 
для 
бакалавров, 
обучающихся 
по направлениям подготовки 27.03.02 «Управление качеством» и 
27.03.05 «Инноватика» и рекомендуется для использования в учебном процессе по техническим и экономическим специальностям при 
изучении в вузе тематики, связанной с анализом временных рядов и 
прогнозированием. 

УДК 006.9(075) 
ББК 60.6я73 

ISBN 978-5-4499-0178-1 
© Воейко О. А., текст, 2019 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2019 

Практическая работа № 1 

Средние величины 

Цель занятия: Закрепить теоретические знания по определению обобщающих показателей. Получить практические 
навыки по вычислению средних величин, моды, медианы. 

1. Краткие теоретические сведения 

Средние величины – это обобщающие показатели, в которых 
проявляются общие, закономерные черты, свойственные всей 
совокупности изучаемого явления. 
Основным условием правильного использования средних 
величин является качественная однородность совокупности, 
по которой рассчитывается средняя величина (общая средняя). 
Если изучаемая совокупность качественно неоднородна, то перед расчетом средних показателей должна быть произведена 
необходимая группировка. Все единицы совокупности должны быть разбиты на качественно однородные группы. Затем 
средние показатели рассчитываются отдельно по каждой 
группе (групповые средние). Если этого не сделать, то полученный результат не будет давать верного представления об 
изучаемой совокупности. 
Для решения разнообразных задач, возникающих на практике, используются различные виды средних величин (рис. 1.1), 
каждая из которых может быть простой и взвешенной. 

Средняя арифметическая 

Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних. Средняя арифметическая есть частное 
от деления суммы значения варьирующего признака (вариант) 
на их число. 
Формула средней арифметической простой: 

𝑥̅ = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛
=

∑ 𝑥𝑖

𝑛  
(1.1) 

где 𝑥𝑖 – результат измерения, 
𝑛 – число измерений в статистическом ряду. 

Рисунок 1.1. Виды средних величин 
 

ЗАДАЧА 1.1 

Определить среднюю выработку десяти рабочих на заводе. Известно, что индивидуальные 
значения 
выработки 
составляют 
(детали): 

23 000, 35 000, 42 000, 44 000, 45 500, 46 500, 
49 000, 51 000, 55 000, 74 500.  

Решение: 

𝑥 = 23 000 + 35 000 + 42 000 + 44 000 + 45 500 + 46 500 + 49 000 + 51 000 + 55 000 + 74 500

10
= 

=  46 550 дет. 

Вывод: средняя выработка составит 46 550 деталей в месяц. 

Бывают ситуации, когда значения варьирующего признака 
повторяются. 
В таких случаях вычислить среднюю арифметическую 
можно по-другому. Нужно перед суммированием умножить 
значение варьирующего признака на частоту, т. е. на число, показывающее, сколько раз встречается это значение. Такое 
умножение в статистике называют взвешиванием, а число единиц, показывающее, сколько раз появляется то или иное значение варьирующего признака, – весами или частотами. Затем 
полученные произведения суммируются, и полученная сумма 
делится на сумму частот. В результате средняя арифметическая рассчитывается по формуле средней арифметической 
взвешенной: 

Средние величины 

средняя  

арифметическая 

средняя  

гармоническая 

средняя  

хронологическая 

средняя  

геометрическая 

𝑥̅ = 𝑥1𝑓1 + 𝑥2𝑓2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑓𝑛

𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛

=

∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖

(1.2) 

 

ЗАДАЧА 1.2 

Выработка 10 рабочих на заводе составляет в месяц (детали): 23 000, 35 000, 45 000, 48 000, 56 500, 
77 000, 81 000. Несколько сотрудников выполняют 
одинаковую выработку (45 000 деталей выполняют два рабочих, 56 500 деталей – три рабочих). 
Требуется вычислить среднюю выработку рабочих 
завода. 

Решение: 

𝑥̅ = 23 000 + 35 000 + 45 000 ∙ 2 + 48 000 + 56 500 ∙ 3 + 77 000 + 81 000

10
=  52 350 дет. 

Вывод: средняя месячная выработка составит 52 350 деталей. 
 

Средняя арифметическая может рассчитываться как по 
данным дискретных, так и интервальных вариационных рядов, 
когда значения варьирующего признака представлены в виде 
интервалов (от – до). 

Основные свойства средней арифметической 

1. Произведение средней величины на сумму частот равно 
сумме произведений отдельных значений признака на соответствующие им частоты: 
 

𝑥̅ ∙ ∑ 𝑓𝑖 = ∑(𝑥𝑖𝑓𝑖)
(1.3) 

 
2. При уменьшении или увеличении частот каждого значения признака 𝑥 в 𝐴 раз величина средней арифметической 
не меняется: 
 

𝑥̅ =

∑ 𝑥𝑖 ∙ (𝑓𝑖

𝐴)

∑ (𝑓𝑖

𝐴)

=

(1
𝐴) ∑(𝑥𝑖𝑓𝑖)

(1
𝐴) ∑ 𝑓𝑖

(1.4) 

 
 
 

Данное правило дает, таким образом, возможность: 
1) выражать многозначные числа частот в более компактных единицах измерения; 
2) заменять конкретные значений частот удельными весами 𝑑, тогда: 
если 𝑑 выражен в %, то 
 

𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖

= ∑ 𝑥𝑖𝑑𝑖

100 

 
если 𝑑 представлен в долях единицы 
 

𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖 

 
3. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число 𝐴, то и среднее значение увеличится или уменьшится во столько же раз. 
 

∑ (𝑥𝑖

𝐴)

∑ 𝑓𝑖

=

∑ (𝑥𝑖 ∙ 1

𝐴) 𝑓𝑖

∑ 𝑓𝑖

=

1
𝐴 ∙ ∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖

∑ 𝑓𝑖

= 1

𝐴 ∙ 𝑥̅
(1.5) 

 
4. Если к каждому индивидуальному значению признака 
прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число 
𝐴, то и средняя величина возрастет или уменьшится на это же 
число 𝐴: 
 

∑(𝑥𝑖 ± 𝐴)𝑓𝑖

∑ 𝑓𝑖

=

∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖

±

∑ 𝐴 ∙ 𝑓𝑖

∑ 𝑓𝑖

= 𝑥̅ ± 𝐴
(1.6) 

 
5. Сумма отклонений индивидуальных значений признака 
от его среднего значения равна нулю: 
 

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅) 𝑓𝑖 = ∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖 − ∑ 𝑥̅𝑓𝑖 = ∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖 − 𝑥̅ ∑ 𝑓𝑖 = 0
(1.7) 

 

 
 

Расчет средней арифметической способом моментов 

Изложенные свойства средней арифметической позволяют 
во многих случаях упростить ее расчеты. В частности, при расчете средней возможно осуществление следующих операций: 
1) 
из всех индивидуальных значений признака вычесть 
произвольную постоянную величину 𝐴; 
2) 
полученную 
разность 
сократить 
на 
общий 
тель 𝐾; 
3) 
рассчитать среднюю по вновь полученным данным; 
4) 
вычисленную среднюю величину умножить на 𝐾 
и прибавить постоянную величину 𝐴. 
 

𝑥̅3 =

∑ (𝑥𝑖 − 𝐴

𝐾
) 𝑓𝑖

∑ 𝑓𝑖

 

𝑥̅ = 𝑥̅3 ∙ 𝐾 + 𝐴 

(1.8) 

 
Средняя 𝑥̅3 называется моментом первого порядка, а данный способ вычисления средней – способом моментов. 
 

ЗАДАЧА 1.3 

В таблице представлены данные по распределению предприятий по объему товарооборота. Требуется вычислить объем товарооборота в среднем 
по району. 
 

Группы предприятий по объему 

товарооборота, млн руб. (𝑥) 

Число предприятий  

в группе, (𝑓) 

До 100 
8 

100–200 
12 

200–300 
9 

300–400 
7 

Более 400 
2 

Итого: 
38 

 

Решение: 

Распределение предприятий по объему товарооборота 

Группы предприятий  

по объему товарооборота,  

млн руб. (𝑥) 

Число  

предприятий  
в группе, (𝑓) 

Середина  

интервала, (𝑥̅) 
(𝑥̅𝑓) 

До 100 
8 
50 
400 

100–200 
12 
150 
1800 

200–300 
9 
250 
2250 

Группы предприятий  

по объему товарооборота,  

млн руб. (𝑥) 

Число  

предприятий  
в группе, (𝑓) 

Середина  

интервала, (𝑥̅) 
(𝑥̅𝑓) 

300–400 
7 
350 
2450 

Более 400 
2 
450 
900 

Итого: 
38 
 
7800 

Для вычисления средней величины надо для каждого ин
тервала определить серединное значение 𝑥. В закрытом интервале серединное значение определяется как полусумма 
значений нижней и верхний границ. В открытых интервалах предполагается, что величина открытого интервала равна 
величине соседнего интервала. Так, интервал «более 400» 
условно принимается равным 100, так как 100 единиц составляет величина соседнего интервала «300–400». После того, как 
определено серединное значение интервала, производится 
расчет средней арифметической взвешенной по формуле 1.2: 

 

𝑥̅ = 7800

38
= 205,263 млн руб.

Вывод: объем товарооборота на предприятиях района в среднем составит 205,263 млн руб. 

Средняя гармоническая 

Средняя гармоническая является преобразованной формой 
средней арифметической. Средняя гармоническая используется, когда статистическая информация не содержит данных 
о весах по отдельным вариантам совокупности, но известны 
произведения значений варьирующего признака на соответствующие им веса. 
Общая формула средней гармонической взвешенной имеет 
следующий вид: 
 

𝑥̅ =

∑ 𝑤𝑖
∑ 𝑤𝑖

𝑥𝑖

(1.9) 

 
где 𝑥 – величина варьирующего признака, 
𝑤 – произведение значения варьирующего признака на его 
веса (𝑥𝑓). 
 

ЗАДАЧА 1.4 

Три партии комплектующих закуплены по разным 
ценам (200, 250 и 400 руб.) Общая стоимость первой партии составила 20 000 руб., второй партии – 
50 000 руб. и третьей партии – 60 000 руб. Требуется определить среднюю цену комплектующих. 
 

Решение: 

Используя среднюю гармоническую, получаем искомый ре
зультат: 

𝑥̅ = 20 000 + 50 000 + 60 000

20 000

200
+ 50 000

250
+ 60 000

400

=
130 000

100 + 200 + 150 = 288,89 руб. 

Вывод: средняя цена комплектующих составит 288,89 руб. 

В том случае, если общие объемы явлений, т. е. произведения значений признаков на их веса, равны, то применяется 
средняя гармоническая простая: 
 

𝑥̅ = 𝑛

∑ 1

𝑥

(1.10) 

 
где 𝑥 – отдельные значения признака (варианты); 
𝑛 – общее число вариант. 
 

ЗАДАЧА 1.5 

Две машины прошли один и тот же путь: одна  
со скоростью 60 км/час, а вторая – 80 км/час. Требуется определить среднюю скорость движения 
машин. 

Решение: 

Принимаем протяженность пути, который прошла каждая 

машина, за единицу. Тогда средняя скорость составит: 

𝑥̅ =
1 + 1
1
60 + 1

80

=
2

0,0167 + 0,0125 = 68,49 км/ч 

Вывод: сред средняя скорость составит 68,49 км/ч. 
 
 

Средняя геометрическая 

Средняя геометрическая – это величина, применяемая для 
расчета средних из относительных величин. Поэтому средняя 
геометрическая используется в расчетах средних темпов роста. Формула средней геометрической выглядит следующим 
образом: 
 

𝑥̅ = √𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛

𝑛
(1.11) 

 
где 𝑥 – цепной коэффициент роста (варьирующий признак); 
𝑛 – количество периодов, по которым имеются коэффициенты роста. 
 

ЗАДАЧА 1.6 

Темпы роста производительности ОАО «Зарядье» 
за 2016–2019 гг. представлена в таблице. 

Годы 
2016 г. 
2017 г. 
2018 г. 
2019 г. 

Темпы роста производительности (в %) 
102,5 
109,2 
112,4 
101,5 

Определить
средние 
темпы 
роста 
с 
2016  

по 2019 годы.

Решение: 

Значение темпов роста переводим из процентов в коэффи
циенты и подставляем в формулу средней геометрической. 

𝑥̅ = √1,025 ∙ 1,092 ∙ 1,124 ∙ 1,015

4
= 1,063 

Вывод: средние темпы роста производительности ОАО «Зарядье» составляют 1,063 или 106,3 % в год. 

 
Среднегодовые темпы роста могут рассчитываться с использованием другой формулы средней геометрической: 

 

𝑥̅ =
√

𝑦𝑛
𝑦1

𝑛−1
(1.12) 

 
где 𝑦1 – абсолютная величина явления в первом году периода; 
𝑛 – количество лет периода.