Методы эконометрики

Рекомендовано Учебнометодическим объединением
по образованию в области математических методов
в экономике в качестве учебника для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по специальности 080116
«Математические методы в экономике» и другим экономическим
специальностям

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
МГУ имени М. В. ЛОМОНОСОВА
С. А. Айвазян
Методы
эконометрики
Учебник
Москва
И
М
НФРА
2022

УДК [31:33](075.8)
ББК 65.051я731
А36
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра статистических методов ГУ—ВШЭ
(зав. кафедрой др экон. наук, проф. В. С. Мхитарян);
др экон. наук, проф. РЭШ А. А. Пересецкий
Печатается по решению Ученого совета
Московской школы экономики МГУ имени М. В. Ломоносова
Айвазян С. А.
А36
Методы эконометрики : учебник / С. А. Айвазян. — Москва : Ма
гистр : ИНФРАМ, 2022. — 512 с.
ISBN 9785977601535 (в пер.)
ISBN 9785160040509
Агентство CIP РГБ
Содержание учебника соответствует действующим образовательным стандар
там и учебным программам высших учебных заведений экономического профиля по
дисциплине «Эконометрика». Особенность данного издания заключается в том, что
в нем в описание традиционных методов решения эконометрических задач впервые
органично встроены (там, где это позволяет повысить точность и глубину анализа)
современные методы многомерного статистического анализа, ранее не включавшие
ся в инструментарий эконометрики (в частности, дискриминантный и кластерана
лизы, метод главных компонент и др.).
Представленные в учебнике методы и модели регрессионного анализа, бинар
ного и множественного выбора, анализа временных рядов могут составить содержа
ние одного или двух базовых семестровых курсов по эконометрике в рамках учебно
го плана бакалавриата.
Для студентов, аспирантов, преподавателей, а также специалистов по приклад
ной экономике и эконометрике.
УДК [31:33](075.8)
ББК 65.051я731
ISBN 978
5
9776
0153
5
© Айвазян С. А., 2010
ISBN 978
5
16
004050
9
© Издательство «Магистр», 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Г л а в а 1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1. Эконометрика: эволюция определения и реальность . . . . . . . . . . 13
1.2. Обеднение математического аппарата эконометрики. . . . . . . . . .16
1.3. Место эконометрики в ряду математико-статистических и
экономических дисциплин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Эконометрическая модель и проблемы эконометрического
моделирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Г л а в а 2. Введение в регрессионный анализ. . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1. Общая формулировка проблемы статистического
исследования зависимостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
2.2. Какова конечная прикладная цель статистического
исследования зависимостей?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
2.3. Некоторые типовые задачи практики эконометрического
моделирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
2.4. Основные типы зависимостей между количественными
переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5. О выборе общего вида функции регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Г л а в а 3. Введение в корреляционный анализ. . . . . . . . . . . . . . 67
3.1. Назначение и место корреляционного анализа
в статистическом исследовании. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
3.2. Корреляционный анализ количественных признаков. . . . . . . . . .69
3.3. Корреляционный анализ ранговых (ординальных)
переменных: ранговая корреляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4. Корреляционный анализ категоризованных переменных:
таблицы сопряженности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Г л а в а 4. Классическая линейная модель множественной
регрессии (КЛММР) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1. Описание КЛММР. Основные допущения модели. . . . . . . . . . . .121
4.2. Оценивание неизвестных параметров КЛММР: метод
наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия . . . . . 126

Оглавление
4.3. Анализ вариации результирующего показателя y
и выборочный коэффициент детерминации b
R2
y.X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4. Мультиколлинеарность и отбор наиболее существенных
объясняющих переменных в КЛММР. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
4.5. КЛММР с линейными ограничениями на параметры . . . . . . . . 162
4.6. Общий подход к статистической проверке гипотез о наличии
линейных связей между параметрами КЛММР. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Г л а в а 5. Обобщенная линейная модель множественной
регрессии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.1. Описание обобщенной линейной модели множественной
регрессии (ОЛММР) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.2. Оценки параметров ОЛММР по обобщенному методу
наименьших квадратов (ОМНК-оценки) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.3. ОЛММР с гетероскедастичными остатками. . . . . . . . . . . . . . . . . .188
5.4. ОЛММР с автокоррелированными остатками. . . . . . . . . . . . . . . .198
5.5. Практически реализуемый ОМНК (общий подход) . . . . . . . . . . 207
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Г л а в а 6. Прогнозирование, основанное на линейных
моделях множественной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.1. Анализ точности оцененной ЛММР (теоретическая база
для решения задач прогноза) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.2. Наилучший точечный прогноз y(X) и f(X) = E(y|X),
основанный на ОЛММР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.3. Интервальный прогноз y(X) и f(X) = E(y|X),
основанный на ОЛММР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.4. Анализ точности регрессионной модели и прогнозирование
в условиях реалистической ситуации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Г л а в а 7. Линейные модели регрессии со стохастическими
объясняющими переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.1. Случайные остатки ε не зависят от предикторов X
и оцениваемых коэффициентов регрессии Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.2. Общий случай: стохастические предикторы X коррелированы
с регрессионными остатками ε. Метод инструментальных
переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238
7.3. Случайные ошибки в измерении значений объясняющих
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Г л а в а 8. Линейные регрессионные модели с переменной
структурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.1. Проблема неоднородных (в регрессионном смысле)
данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Оглавление
7
8.2. Введение ¾манекенов¿ (фиктивных переменных)
в линейную модель регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.3. Проверка регрессионной однородности двух групп
наблюдений (критерий Г. Чоу) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.4. Построение КЛММР по неоднородным данным в условиях,
когда значения сопутствующих переменных неизвестны. . . . . . . . . . . . .265
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Г л а в а 9. Модели с дискретными и дискретно-непрерывными зависимыми переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.1. Модели бинарного выбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.2. Модели множественного выбора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282
9.3. Связь моделей бинарного и множественного выбора
с дискриминантным анализом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285
9.4. Модель с дискретно-непрерывной зависимой переменной
(тобит-модель). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Г л а в а 10. Анализ одномерных временных рядов
(модели и прогнозирование) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.1. Временной ряд: определения, примеры, формулировка
основных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.2. Стационарные временные ряды и их основные
характеристики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302
10.3. Неслучайная составляющая временного ряда и методы
его сглаживания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314
10.4. Модели стационарных временных рядов и их
идентификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.5. Модели нестационарных временных рядов и их
идентификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
10.6. Прогнозирование экономических показателей, основанное
на использовании моделей временных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
Приложение 1. Таблицы математической статистики . . . . . . . . . . 413
Приложение 2. Необходимые сведения из матричной алгебры . . 433
Приложение 3. Многомерный статистический анализ . . . . . . . . . . 455
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
Алфавитно-предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

Предисловие
Дорогой читатель!
Вы держите в руках учебник по методам эконометрики  дисциплины, которая является одной из трех базовых дисциплин (наряду с
микро- и макроэкономикой) высшего экономического образования. К сожалению, подобный статус эконометрики в России был признан с большим запозданием: лишь начиная с 1992 года эконометрика была введена
в учебные планы экономического образования некоторых ведущих российских вузов. Такое позднее признание эконометрики сразу поставило
российских студентов в невыгодное положение: к тому времени в России было издано лишь несколько относительно старых переводных книг
по эконометрике, а первые отечественные учебники по этой дисциплине
появились только в 19971998 гг. (см. [Магнус, Катышев, Пересецкий
(2005)], [Айвазян (2001)]). Однако сейчас ситуация существенно выправилась: многократно переизданы упомянутые две книги, вышли в свет
отечественные учебники под редакцией И.И. Елисеевой (2006), В.И. Суслова (2005), переводы с английского прекрасных книг [Берндт (2005)],
[Магнус, Нейдекер (2007)], [Вербик (2008)].
Значительно повысились возможности использования лучших образцов англоязычной эконометрической литературы (за счет повышения общего уровня владения английским языком нашими студентами и специалистами, а также  развития электронных средств связи, см., например,
список англоязычной литературы в конце данного издания).
При таких обстоятельствах возникает естественный вопрос:
что побудило автора к созданию еще одного учебника по
эконометрике?
Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего, должен заметить, что
мое понимание сущности и назначения эконометрических методов
несколько отличается от общепринятого в североамериканском и западноевропейском эконометрическом сообществе. Это понимание формировалось на базе теоретико-вероятностной и математико-статистической отечественной школы в процессе знакомства с лучшими образцами
англоязычной эконометрической литературы, а также  личных научных контактов с коллегами из Гарвардского университета (США), Университета Париж-1/Сорбонна (Франция), Тилбургского и Роттердамского университетов (Голландия), Женевского университета (Швейцария) и других образовательных и научных центров мира. Сущность этих
отличий кратко представлена в пп. 1.1 и 1.2 главы 1 (Введения) книги.
К этому надо добавить, что со временем несколько трансформируются представления специалистов о багаже методов эконометрики, смещаются акценты в оценке областей их применения. Не со всеми такими
представлениями, принятыми, скажем, в научных кругах США, я могу

Предисловие
согласиться. Так, например, принято включать в курсы (учебники) по
эконометрике ¾Теорию больших выборок¿ (или ¾Асимптотическую теорию¿), ¾Непараметрические и полупараметрические методы принятия
статистических решений¿, развернутое изложение метода максимального правдоподобия. Но вся эта тематика традиционно представлена в
качестве разделов в других самостоятельных научных дисциплинах 
теории вероятностей и математической статистике. В то же время важнейшие для эконометрического анализа прикладные методы многомерной статистики (дискриминантный и кластер-анализы, метод главных
компонент и др.) по непонятным причинам отсутствуют в эконометрических курсах и классических университетских учебниках Северной Америки и Западной Европы. Добавлю к этому, что за последние несколько лет серьезный импульс к развитию получили некоторые специальные
методы многомерного статистического анализа, получен ряд важных результатов в области финансовой эконометрики, используемых при эконометрическом анализе финансовых данных в задачах управления рисками.
Все упомянутые обстоятельства и определили специфические отличия данного издания от традиционных учебников по эконометрике. Среди этих отличий, в первую очередь, следует выделить тот факт, что в
описание традиционных методов решения эконометрических задач впервые, насколько мне известно, органично встроены (там, где это представляется объективно необходимым) процедуры многомерного статистического анализа, ранее не принимавшиеся в расчет (такие как кластеранализ, дискриминантный анализ, метод главных компонент).
К особенностям книги следует отнести и факт включения в нее двух
обширных вводных глав по регрессионному (глава 2) и корреляционному (глава 3) анализам. Многолетняя практика преподавания в ведущих
российских вузах (Московской школе экономики МГУ им. М.В. Ломоносова, экономическом факультете МГУ, Государственном университете 
Высшей школе экономики, Российской экономической школе, Московском государственном университете экономики, статистики и информатики) убедила меня в том, что, приступая к освоению эконометрики,
студенты, как правило, имеют явный дефицит знаний и умений в основах этих двух разделов.
Возвращаясь к вопросу о мотивации создания учебника, следует признать, что существенное влияние на замысел и содержание книги оказал
многолетний опыт исследовательской и педагогической работы автора в
Московской школе экономики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Без постоянных рабочих контактов с коллегами по кафедре эконометрики и математических методов экономики,
без главных критиков и генераторов вопросов  студентов МШЭ МГУ
эта книга вряд ли появилась бы на свет.
Учебник охватывает весьма полный спектр методов математико-ста