Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Г. С. Шевцов
Линейная алгебра:
теория
и прикладные аспекты
Учебное пособие
3е издание,
исправленное
и дополненное
Рекомендовано Научнометодическим
советом по математике и механике
Учебнометодического объединения
по классическому университетскому
образованию в качестве учебного пособия
для математических направлений
и специальностей
Москва
И
М
НФРА
2022

УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я 73
Ш37
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра высшей математики Пермского государственного
технического университета
(заведующий кафедрой — д"р физ."мат. наук, проф. А. Р. Абдуллаев);
д"р тех. наук, проф. В. М. Суслонов
Шевцов Г. С.
Ш37
Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты : учебное по"
собие / Г. С. Шевцов. — 3"е изд., испр. и доп. — Москва : Ма"
гистр : ИНФРА"М, 2022. — 544 с.
ISBN 978"5"9776"0258"7(в пер.)
ISBN 978"5"16"006285"3
Агентство CIP РГБ
Пособие охватывает весь обязательный теоретический и практический
программный материал по курсу линейной алгебры для бакалавриата и магист"
ратуры, а также некоторые нетрадиционные разделы: специальные разложения
матриц, функции от матриц, псевдообратные матрицы, решение систем линей"
ных уравнений методом наименьших квадратов и итерационными методами,
устойчивость решений систем линейных уравнений. Цель пособия — создание
базы для овладения другими разделами математики, в частности, для освоения
вычислительных методов решения теоретических и прикладных задач.
Для студентов и аспирантов, обучающихся по направлениям и специально"
стям «Математика», «Прикладная математика», «Физика», «Математические
методы в экономике», «Инженерная технология», «Информатика» и др. Для
преподавателей математики, научных работников и специалистов, применяю"
щих методы линейной алгебры в своей практической деятельности. Может быть
использовано в качестве справочника.
УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я 73
ISBN 978	5	9776	0258	7
© Шевцов Г. С., 2013
ISBN 978	5	16	006285	3
© Издательство «Магистр», 2013

П Р Е Д И С Л О В И Е
Курс линейной алгебры занимает важное место в вузовском образовании. Ему посвящено много прекрасных учебников и пособий.
Однако практическая сторона этой дисциплины освещена в них недостаточно, по-видимому, из-за ограниченности объема этих изданий.
Попытку восполнить этот пробел автор предпринял в пособии [35], а
в книге [36] была значительно расширена и теоретическая часть.
Данное пособие охватывает весь обязательный теоретический и
практический программный материал по курсу линейной алгебры для
бакалаврантов и магистрантов. Его цель  создание базы для овладения другими разделами математики, в частности, для освоения вычислительных методов решения теоретических и прикладных задач.
Оно состоит из 12 глав, в которых приведен традиционный (гл. 15,
812) и нетрадиционный материал (гл. 6, 7). Глава 1 содержит общие сведения. Главы 25 знакомят читателя с системами линейных
уравнений, матрицами и действиями над ними, линейными пространствами и линейными операторами в них. Главы 67 посвящены канонической жордановой форме матриц и функциям от матриц. В главах 812 рассматриваются евклидовы и унитарные пространства и
линейные операторы в них, специальные разложения матриц, обращение прямоугольных матриц, решение систем линейных уравнений
методом наименьших квадратов и итерационными методами, вопросы устойчивости решений систем линейных уравнений, квадратичные
формы, приближенные методы вычисления собственных значений и
собственных векторов, элементы n-мерной аналитической геометрии.
В пособии приводятся методические разъяснения изучаемых понятий и фактов; теоретические положения подкреплены доказательствами; даются рекомендации по решению практических задач.
Материал, выходящий за рамки обязательного курса, излагается менее строго. Однако практической стороне таких вопросов, как
специальные разложения матриц, обращение прямоугольных матриц,
итерационные методы решения систем линейных уравнений, метод
наименьших квадратов в задачах линейной алгебры, устойчивость
решений систем линейных уравнений, уделяется большое значение.
Значительное внимание уделено теории и практике применения симметричных (эрмитовых) и ортогональных (унитарных) операторов,
3

Предисловие
квадратичным формам, решению полной и частичной проблем собственных значений и собственных векторов. Представленный материал снабжен многочисленными примерами с подробными решениями.
При этом каждый раз указывается на возможность практического
применения рассматриваемых вопросов. Так, при обсуждении канонического разложения матрицы показана целесообразность его применения при вычислении степеней и корней из матрицы, что широко
используется, например, в теории вероятностей и математической статистике, даются рекомендации по решению систем линейных уравнений с матрицами, представленными их каноническими разложениями.
При рассмотрении сингулярного разложения матрицы указывается на
возможность его применения для построения полярного разложения
матрицы и псевдообратной матрицы, для отыскания псевдорешений
и устойчивых решений систем линейных уравнений, для проведения
сингулярного анализа при построении математических моделей и др.
В пособии знаком ◃обозначается начало доказательства теоремы
или леммы, а знаком ▶ окончание доказательства.
Считаю приятным долгом выразить глубокую благодарность доктору физико-математических наук, заведующему кафедрой высшей
математики Пермского госуниверситета И.Е. Полоскову и старшему
преподавателю той же кафедры В.А. Шимановскому за неоценимую
помощь при подготовке к изданию этого пособия.
4

Глава 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.1. Множества, алгебраические операции, группы,
кольца, поля
В любой области деятельности приходится рассматривать различные совокупности объектов, объединенные некоторым общим признаком. Такие совокупности объектов в математике принято называть множествами, а сами объекты  элементами множеств.
Множества будем обозначать прописными латинскими буквами A, B,
C, ..., X, Y , ..., а их элементы  строчными латинскими буквами a, b,
c, ..., x, y, ... При этом будем писать x ∈A, если элемент x принадлежит множеству A, и x /
∈A, если элемент x не принадлежит множеству
A. Отметим так называемое пустое множество, не содержащее ни
одного элемента. Это множество будем обозначать символом ∅.
Пусть дано некоторое множество A, содержащее хотя бы один
элемент. Будем говорить, что в множестве A определена алгебраическая операция, если указан закон, по которому любой паре элементов a и b, взятых из этого множества в определенном порядке,
ставится в соответствие однозначно определенный элемент c, также
принадлежащий этому множеству. Если эту операцию называют сложением, то элемент c называют суммой элементов a и b и обозначают символом a + b; если операцию называют умножением, то
элемент c называют произведением элементов a и b и обозначают
символом a b. В общем случае алгебраическую операцию будем обозначать символом ∗.
Алгебраическая операция ∗называется коммутативной, если
результат ее применения не зависит от порядка элементов, т.е. для
любых элементов a и b из рассматриваемого множества выполняется
равенство a ∗b = b ∗a. Например, операции сложения и умножения
чисел являются коммутативными операциями, а вычитание и деление
 некоммутативными.
Алгебраическая операция ∗определена для пар элементов. Исходя из трех элементов a, b, c, двукратным применением операции ∗
можно получить либо элемент (a ∗b) ∗c, либо элемент a ∗(b ∗c). В
общем случае эти элементы могут оказаться различными.
Алгебраическую операцию ∗называют ассоциативной, если
для любых трех элементов a, b, c рассматриваемого множества вы5

Глава 1. Первоначальные сведения
полняется равенство (a ∗b) ∗c = a ∗(b ∗c). В этом случае результат операции ∗, примененный к элементам a, b, c, записывают в виде
a ∗b ∗c, опуская в выражении скобки, указывающие порядок выполнения двух операций. Ассоциативная операция позволяет рассматривать выражения a1 ∗a2 ∗... ∗ak, содержащие произвольное конечное
число элементов a1, a2, ..., ak. Для ассоциативной операции результат
вычисления такого выражения не зависит от расстановки скобок. Если операция ассоциативна и коммутативна, то результат не зависит и
от порядка расположения элементов в этом выражении.
Для алгебраической операции ∗часто приходится рассматривать
наличие обратной операции, что равносильно решению уравнений
a ∗x = b,
y ∗a = b
относительно элементов x и y из множества A. Решение этих уравнений приводит к правой и левой обратным операциям. В случае
их существования будем говорить, что операция ∗имеет обратную
операцию. Наличие обратной операции равносильно существованию
для любого элемента рассматриваемого множества правого и левого
обратных элементов.
Если для элемента a правый и левый обратные элементы совпадают, то этот единственный элемент называют обратным элементом к элементу a. В случае, когда алгебраическая операция названа
сложением, обратный элемент к элементу a называют противоположным элементом для элемента a и обозначают символом −a; в
случае, когда алгебраическая операция названа умножением, обратный элемент к элементу a обозначают символом a−1. Это позволяет
операцию, обратную к умножению, записать в виде a/b = a b−1.
Группой называют множество с одной ассоциативной и обратимой операцией. Если алгебраическая операция в группе названа сложением, то группу называют аддитивной; если алгебраическая операция в группе названа умножением, то группу называют мультипликативной. Группу с коммутативной операцией называют абелевой; группу, состоящую из конечного числа элементов, называют
конечной группой, а число элементов в группе  порядком группы.
Примерами групп являются:
1. Множество всех целых чисел с операцией сложения чисел.
2. Множество всех четных чисел с операцией сложения чисел.
3. Множество всех чисел, кратных данному числу n, с операцией
сложения чисел.
6

1.1. Множества, алгебраические операции, группы, кольца, поля
4. Множества всех рациональных, действительных и комплексных чисел с операцией сложения чисел.
5. Множества всех рациональных, действительных и комплексных чисел, отличных от нуля, с операцией умножения чисел.
6. Множество всех комплексных корней n-й степени из единицы
с операцией умножения комплексных чисел.
7. Множества всех векторов на прямой, на плоскости и в пространстве, изучаемых в аналитической геометрии, с операцией сложения векторов.
Если дана какая-либо группа G и подмножество H, содержащееся
в G, образует группу относительно алгебраической операции, заданной в G, то группу H называют подгруппой группы G. Например,
аддитивная группа всех четных чисел является подгруппой аддитивной группы всех целых чисел, которая сама является подгруппой аддитивной группы всех действительных чисел.
Пусть в множестве K введены две операции  операция сложения и операция умножения. Говорят, что эти операции связаны законом дистрибутивности, если для любых элементов a, b, c из K
выполняются соотношения
(a + b)c = ac + bc,
a(b + c) = ab + ac.
Множество K называют кольцом, если в нем определены ассоциативные операции сложения и умножения, связанные законом дистрибутивности, причем операция сложения коммутативная и обладает обратной операцией  вычитанием.
Кольцо называют коммутативным, если в нем операция умножения коммутативная, и некоммутативным  в противном случае.
Заметим, что любое кольцо является абелевой группой по сложению.
Коммутативное кольцо P, в котором есть единичный элемент
и каждый ненулевой элемент имеет обратный элемент относительно
умножения, называют полем.
Примерами полей являются:
1. Множества всех рациональных, действительных, комплексных
чисел с операциями сложения и умножения чисел.
√
2. Множество всех чисел вида a + b
2, где a и b  рациональные
числа, с операциями сложения и умножения чисел.
3. Множество, состоящее из двух элементов 0 и 1, с операциями
сложения и умножения, заданными равенствами
0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1 + 0 = 1,
1 + 1 = 0
7

Глава 1. Первоначальные сведения
и
0 · 0 = 0,
0 · 1 = 1 · 0 = 0,
1 · 1 = 1.
В любом поле множество всех элементов является абелевой группой с операцией сложения, а множество всех ненулевых элементов 
абелевой группой с операцией умножения. Отсюда следует, что операции сложения и умножения имеют обратные операции  вычитание
и деление. Для этих операций используют те же обозначения, что и
для одноименных числовых операций. Кроме того, для четырех операций (сложение, умножение, вычитание, деление) сохраняются обычные правила преобразования выражений, а именно:
d = ad ± bc
d = ac
bd,
−a
b .
b
= −a
a
b ± c
bd
,
a
b · c
Отметим также, что равенство
a
b = c
d
верно тогда и только тогда, когда ad = bc. Таким образом, с точки зрения правил обращения с выражениями, включающими четыре
операции, поля аналогичны полям чисел (полю рациональных, действительных или комплексных чисел). Поэтому элементы любого поля станем называть числами, если такое название не будет приводить к путанице или какой-либо двусмысленности. При этом нулевой
элемент поля будем обозначать символом 0, а единичный элемент 
символом 1.
Перечислим нужные нам в дальнейшем общие факты об элементах произвольного поля.
A. В поле P определена операция, называемая сложением, которая каждой паре элементов a и b поля P ставит в соответствие элемент
a + b из P, называемый суммой элементов a и b. При этом:
1) сложение коммутативно, т.е. a+b = b+a для любых элементов
a и b из P;
2) сложение ассоциативно, т.е. a + (b + c) = (a + b) + c для любых
элементов a, b, c из P;
3) в поле P существует единственный элемент 0, называемый нулевым, такой, что a + 0 = a для любого элемента a из P;
4) для любого элемента a из P существует единственный элемент
−a, называемый противоположным, такой, что a+(−a) = 0 (это свойство обеспечивает существование операции, обратной к сложению, 
вычитания).
8

1.1. Множества, алгебраические операции, группы, кольца, поля
B. В поле P определена операция, называемая умножением, которая каждой паре элементов a и b из P ставит в соответствие элемент
ab из P, называемый произведением элементов a и b. При этом:
1) умножение коммутативно, т.е. ab = ba для любых элементов a
и b из P;
2) умножение ассоциативно, т.е. a(bc) = (ab)c для любых элементов a, b, c из P;
3) в поле P существует единственный элемент 1, называемый единичным, такой, что a · 1 = 1 · a = a для любого элемента a из P;
4) для каждого ненулевого элемента a из P существует единственный элемент a−1, называемый обратным, такой, что a·a−1 = a−1·a = 1
(это свойство обеспечивает существование в поле P операции, обратной к умножению,  деления).
C. В поле P сложение и умножение связаны законом дистрибутивности, т.е. для любых элементов a, b, c из P выполняется соотношение
(a + b) · c = a c + b c.
1.2. Простые и двойные суммы
В математике часто приходится рассматривать суммы большого
количества чисел или элементов некоторого множества с операцией
сложения в нем, когда слагаемые имеют одинаковый вид и различаются лишь индексами, например суммы вида
ak + ak+1 + ... + ap,
α1β1 + α2β2 + ... + αnβn.
Кратко такие суммы записывают следующим образом:
αiβi,
ak + ak+1 + ... + ap =
ai,
α1β1 + α2β2 + ... + αnβn =
i=1
i=k
p
∑
n
∑
где символ Σ  символ суммы; i  индекс суммирования.
Индекс суммирования можно обозначать любой буквой, т.е.
aj.
ai =
i=k
j=k
p
∑
p
∑
Множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно выносить за знак суммы, т.е.
α xk = α
xk.
k=p
k=p
n
∑
n
∑
9

Глава 1. Первоначальные сведения
Действительно
α xk = α xp + α xp+1 + ... + α xn =
k=p
n
∑
= α
= α
xk.
k=p
n
∑
(
xp + xp+1 + ... + xn)
Часто также приходится суммировать слагаемые по двум индексам, каждый из которых независимо пробегает определенные значения. Это приводит к двойным суммам типа
aij.
j=m
i=k
p
∑
n
∑
При действиях с двойными суммами можно изменять порядок суммирования, т.е.
aij.
aij =
j=m
j=m
i=k
i=k
p
∑
n
∑
n
∑
p
∑
Действительно,
=
aij =
aim + ai,m+1 + ... + ain
j=m
i=k
i=k
p
∑
n
∑
p
∑
(
)
= akm + ak,m+1 + ... + akn+
+ak+1,m + ak+1,m+1 + ... + ak+1,n+
.........................
+apm + ap,m+1 + ... + apn =
=
aim +
ai,m+1 + ... +
ain =
i=k
i=k
i=k
p
∑
p
∑
p
∑
=
=
aij
aij.
)
j=m
j=m
i=k
i=k
n
∑
( p
∑
n
∑
p
∑
Отмеченное правило распространяется на случай суммирования по
любому конечному числу индексов.
10