Математика для экономистов: основы теории, примеры и задачи

МАТЕМАТИКА 
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ, ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Москва
ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК
ИНФРА-М
2022

А.И. ПЕСЧАНСКИЙ

Допущено 
Научно-методическим советом по математике 
Министерства образования и науки Российской Федерации 
в качестве учебного пособия для студентов вузов, 
обучающихся по экономическим направлениям

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Севастопольский государственный университет 

Песчанский А. И.
Математика для экономистов: основы теории, примеры и

задачи: учебное пособие. — Москва : Вузовский учебник: ИНФРА-М
2022. — 520 с.

ISBN 978-5-9558-0493-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-011885-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104372-1 (ИНФРА-М, online)
Содержание учебного пособия охватывает следующие разделы: линейная 

алгебра и аналитическая геометрия, введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных, интегральное исчисление 
и дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и математическая 
статистика. Содержит упражнения для проведения практических занятий и 
варианты заданий для самостоятельной работы.

Предназначается для студентов экономических специальностей вузов, а также 

для преподавателей, читающих курс «Математика для экономистов».

УДК 51(075.8)
ББК 22.1

П28

© Вузовский учебник, 2016

УДК 51(075.8)
ББК 
22.1

 
П28

ООО «Издательский Дом «Вузовский учебник»
127247, Москва, ул. С. Ковалевской, д. 1, стр. 52

www.vuzbook.ru

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 14.04.2016

Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать цифровая

Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 32,5. ПТ 10 экз. 

ТК 373000-544926-140416

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

ISBN 978-5-9558-0493-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-011885-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104372-1 (ИНФРА-М, online)

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное пособие написано на основе курса лекций, которые автор 
читал в течение ряда лет студентам Севастопольского государственного университета и Севастопольского института банковского дела. 
Создано оно на основе хорошо известных пособий по высшей математике [1–6], и излагаемый в нем материал соответствует образовательному стандарту высшего профессионального уровня «Бакалавр» 
по экономическим специальностям. В книгу включены следующие 
разделы: «Линейная алгебра», «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии», «Введение в анализ», «Дифференциальное 
исчисление функции одной и нескольких переменных», «Интегральное исчисление функции одной переменной», «Дифференциальные 
уравнения», «Ряды», «Теория вероятностей и элементы математической статистики». 
Цель пособия — помочь студентам овладеть начальными теоретическими знаниями и практическими навыками для использования 
математического аппарата при анализе и решении экономических 
задач.
Отметим, что автор не претендует на оригинальность, а надеется, 
что данное пособие будет способствовать лучшему усвоению студентами базового учебного материала. Поэтому при изложении основных 
положений курса предпочтение отдается простоте, наглядности, экономическим интерпретациям и рассмотрению большого количества 
примеров. Кроме теоретического материала в пособии имеются 
упражнения для проведения практических занятий и варианты заданий для самостоятельной работы студентов.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность 
рецензентам О.В. Анашкину, Н.В. Апатовой, Г.С. Осипенко, а также 
А.Б. Будаку, Л.Н. Григорюк и А.Ф. Хрусталёву за внимательное прочтение рукописи, полезные замечания и пожелания.

3

Ключевые слова: матрица, операции над матрицами, определитель, 
обратная матрица, ранг матрицы, система линейных уравнений, формулы 
Крамера, метод Гаусса, метод Жордана-Гаусса, модель Леонтьева. 
 

Математические модели многих экономических процессов, а также 
зависимости, имеющие место в материальном производстве, достаточно 
просто и компактно записываются в так называемой матричной форме. 
Рассмотрим, например, систему информации о взаимных поставках 
продукции отраслей материального производства. Если через 
4
,3
,2
,1
i
, 
обозначить соответственно номера отдельных отраслей, то таблица взаимных поставок продукции принимает следующий вид: 

Отрасль 
1 
2 
3 
4 

1 
11
a
12
a
13
a
14
a

2 
21
a
22
a
23
a
24
a

3 
31
a
32
a
33
a
34
a

4 
41
a
42
a
43
a
44
a

В этой таблице через 
)
4
,3
,2
,1
,
(
j
i
a j
i
 обозначены объемы поставок 
продукции из i -й отрасли в j -ю отрасль. Так, например, 
34
33
32
31
,
,
,
a
a
a
a
, 
обозначают поставки продукции третьей отрасли всем отраслям производства. Рассмотренная таблица — частный случай так называемой матрицы, 
рассматриваемой в математике.  
Матрицей размера 
n
mназывается прямоугольная таблица чисел, 
содержащая m строк и n  столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются её элементами. Обозначаются они строчными буквами с двойной 
индексацией: 
j
ia , где i  — номер строки, а j  — номер столбца, в которых 
находится этот элемент. Матрицы обычно обозначаются заглавными буквами: 
...
,
,
,
C
B
A
. Например, 

,

2
1

2
1

2
2
22
21

1
1
12
11

n
m
j
m
m
m

n
i
j
i
i
i

n
j

n
j

n
m

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a
a
a
a
a

A
 

или в сокращенной записи 
n
j
m
i
a
A
j
i
,1
;
,1
),
(
. 

4

Две матрицы A и B  одного размера называются равными, если у них 
равны соответствующие элементы, т.е. 
j
i
j
i
b
a
. 
Частными видами матриц являются следующие матрицы: матрицастрока, матрица-столбец, квадратная матрица, единичная матрица, нулевая 
матрица.  
Матрицей-строкой называется матрица, состоящая из одной строки, 
а матрицей-столбцом — матрица, состоящая из одного столбца (матрицу-строку и матрицу-столбец называют еще вектором-строкой и векторомстолбцом соответственно).  
Квадратной матрицей n -го порядка называется матрица размера 
n
n, т.е. матрица, у которой число строк равно числу столбцов.  

Например, 
5
1
3
2
A
 — квадратная матрица второго порядка,  

а 
4
0
1
6
5
3
3
1
2
B
 — квадратная матрица третьего порядка. 

Элементы матрицы 
iia , у которых номер строки равен номеру столбца, называются диагональными. Единичной называется квадратная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, а все недиагональные 
элементы равны 0. Единичная матрица обычно обозначается буквой E .  

Например, 
1
0
0
0
1
0
0
0
1
E
 — единичная матрица третьего порядка. 

Матрица любого размера называется нулевой, если все её элементы 
равны нулю. 
Над матрицами можно проводить ряд операций. Рассмотрим следующие операции над ними: умножение матрицы на число, сложение и вычитание матриц, умножение матриц и транспонирование матрицы.  
1. Сложение матриц. Суммой двух матриц A и B  одинакового размера  называется матрица 
B
A
C
того же размера, элементы которой 
равны сумме соответствующих элементов матриц 
A и 
B , т.е. 

n
j
m
i
b
a
c
j
i
j
i
j
i
,1
;
,1
,
.  

Например, если 
5
2
3
2
1
0
A
, 
1
3
2
2
1
1
B
, то  

6
5
5
0
0
1
B
A
. 

5

2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A на 
число называется матрица 
A
B
того же размера, элементы которой 
равны соответствующим элементам матрицы A, умноженным на число , 

т.е. 
n
j
m
i
a
b
j
i
j
i
,1
;
,1
,
. 
Например, 
если 
1
3
2
9
A
, 
то 

3
9
6
27
3A
. 

Из определения этой операции следует, что общий множитель всех 
элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Например, 

8
4
6
1
3
2
2
16
8
12
2
6
4
. 

3. Вычитание матриц. Разность матриц A и B  одинакового размера 
определяется через рассмотренные выше операции: 
B
A
B
A
)1
(. Таким образом, элементы матрицы 
B
Aравны разности соответствующих 
элементов матриц A и B . 
4. Произведение матриц. Произведением матрицы A размера 
k
m
на матрицу B  размера 
n
k называется матрица 
B
A
C размера 
n
m, 
каждый элемент 
j
ic  которой равен сумме произведений элементов i -й 
строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы 
B , т.е. 

.
,1
;
,1
,
...

1
2
2
1
1
n
j
m
i
b
a
b
a
b
a
b
a
c

k

s
sj
is
kj
ik
j
i
j
i
j
i
 

Обратим внимание, что две матрицы можно перемножить только  
в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк 
второй матрицы. 
 

Пример 1.1. Вычислить произведение матриц AB, где 

.
1
1
3
0
2
1
3
2
1
,
2
1
0
3
2
1

B
A
 

Решение. Умножение матриц возможно, поскольку число столбцов 
матрицы A равно числу строк матрицы B . В результате умножения получим матрицу C  размером 
3
2. Вычислим элементы матрицы C , умножая 
элементы каждой строки матрицы A на соответствующие элементы 
столбцов матрицы B  следующим образом: 
 

6

)1
(
2
0
1
3
0
1
2
)
2
(
1
2
0
3
2
1
1
)1
(
0
(

)1
(
3
0
2
3
)1
(
1
3
)
2
(
2
2
)1
(
3
3
1
2
)1
(
)1
(
AB
C

.
2
0
7
6
3
12


Многие свойства операций над числами остаются справедливыми 
и для операций над матрицами, а именно: 

,
)
(
)
4
.
)
(
)
(
)
7
,
)
(
)
3
),
(
)
(
)
(
)
6
),
(
)
(
)
2
,
)
(
)
5
,
)1

AC
AB
C
B
A
C
AB
BC
A
B
A
B
A
B
A
B
A
AB
C
B
A
C
B
A
BC
AC
C
B
A
A
B
B
A



Однако имеются и отличительные свойства. Так, в случае существования произведений AB и BA коммутативный (переместительный) закон 
умножения матриц может не выполняться. Чтобы убедиться в этом, 

найдем произведения AB и BA, например, для матриц 
0
0
1
1
A
, 

1
1
0
0
B
: 

0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
AB
, 
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
BA
. 

Очевидно, что 
BA
AB . 
Если для каких-нибудь матриц A и B  выполняется равенство 
BA
AB , то они называются перестановочными. Как легко проверить, 
любая квадратная матрица A перестановочна с единичной матрицей E  того же порядка, т.е. 
A
EA
AE
. Таким образом, матрица A не меняется 
при умножении на единичную матрицу как слева, так и справа. Именно 
этому свойству единичная матрица обязана своим названием.  
5. Транспонирование матрицы. Если поменять местами строки  
и столбцы матрицы A с сохранением их порядка, то получится матрица 
T
A , 
которая  называется транспонированной относительно матрицы A.  
Очевидно, если матрица A имеет размер 
n
m, то транспонированная 
матрица 
T
A  имеет размер 
m
n. Например, 

.
5
1
3
2
1
7
,
5
3
1
1
2
7

2
3
3
2
T
A
A
 

В завершение этого пункта приведем задачу с экономическим содержанием, при решении которой естественным образом используются матрицы и выполняются действия над ними. 

7

Пример 1.2. Оптовый склад реализует продукцию трех видов: 

3
2
1
,
,
Q
Q
Q
, в четырех регионах: 
4
3
2
1
,
,
,
P
P
P
P
. Тарифы на перевозки характеризуются матрицей 

1
3
2
4
5
1
6
2
4
2
3
1
T
, 

где каждый элемент 
4,3,2,1
;3,2,1
,
j
i
t j
i
, показывает стоимость (ден.ед.) 

перевозки единицы продукции 
i
Q  в регион 
jP . Объемы поставок продукции по видам за месяц во все регионы были одинаковыми и определяются 
матрицей-строкой 
)
120
150
100
(
V
. Требуется определить затраты на 
перевозку продукции в каждый регион за месяц.  
Решение. Затраты на перевозку продукции в регион 
1P  составляют 
 
880
4
120
2
150
1
100
1
S
 ден.ед., 
в регион 
2
P  —  
1440
2
120
6
150
3
100
2
S
 ден.ед. 
Аналогично определяются затраты на перевозки в остальные регионы. 
Поэтому матрица-строка затрат S  может быть найдена как произведение 
матриц V  и T : 

1270
710
1440
880
1
3
2
4
5
1
6
2
4
2
3
1
)
120
150
100
(
VT
S
. 

Таким образом, затраты на перевозку продукции в регионы 
3
2
1
,
,
P
P
P
 
и 
4
P  соответственно равны 880 ден.ед., 1440 ден.ед., 710 ден.ед. и 1270 
ден.ед.
 
 

 
К системам линейных уравнений приводит множество прикладных, 
в том числе и экономических задач. Рассмотрим для примера одну из них. 
 

Пример 1.3. Фирма организует три новых рабочих места и нанимает 
персонал в количестве шести человек для работы на этих местах (часть 
персонала будет работать посменно или в режиме неполной занятости). 
Известно, что для оборудования одного рабочего места вместе с обучением сотрудника требуется 2000 руб. Всего на создание рабочих мест фирма 

8

выделила 7500 руб. Сколько нужно затратить на оборудование одного рабочего места и на обучение одного сотрудника по отдельности? 
Решение. Пусть 
1x  руб. — затраты на оборудование одного рабочего 
места, а 
2x  руб. — стоимость обучения одного сотрудника. Тогда по условию 
2000
2
1
x
x
. Затраты на оборудование трех рабочих мест составят 

1
3x  руб. Стоимость обучения шести сотрудников составит 
2
6x  руб. Следовательно, 
7500
6
3
2
1
x
x
. Таким образом, относительно неизвестных величин 
1x  и 
2x  получили систему двух линейных уравнений  

,
7500
6
3
,
2000

2
1

2
1
x
x
x
x
 

решениями которой являются 
1500
1 x
(руб.) и 
500
2 x
(руб.)
 
 
В общем виде система m линейных уравнений с n  неизвестными 
имеет вид: 

,
...
...
...
,
...
...
...
,
...
...
,
...
...

2
2
1
1

2
2
1
1

2
2
2
2
22
1
21

1
1
1
2
12
1
11

m
n
n
m
j
j
m
m
m

i
n
n
i
j
j
i
i
i

n
n
j
j

n
n
j
j

b
x
a
x
a
x
a
x
a

b
x
a
x
a
x
a
x
a

b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a

                  (1.1) 

где 
)
,1
;
,1
(
n
j
m
i
a j
i
— известные числа, называемые соответственно 

коэффициентами при неизвестных переменных 
)
,1
(
n
j
x j
. Известные 

числа 
)
,1
(
m
i
bi
, стоящие в правых частях уравнений, называются свободными членами.  
Если все свободные члены уравнений равны нулю, т.е. 
)
,1
(
0
m
i
bi
, 
то система уравнений называется однородной. Если среди свободных членов хотя бы один отличен от нуля, то система называется неоднородной. 
Частным случаем системы (1.1) является система n  линейных уравнений с n  неизвестными: 

,
...
...
...
,
...
...
...
,
...
...
,
...
...

2
2
1
1

2
2
1
1

2
2
2
2
22
1
21

1
1
1
2
12
1
11

n
n
n
n
j
j
n
n
n

i
n
n
i
j
j
i
i
i

n
n
j
j

n
n
j
j

b
x
a
x
a
x
a
x
a

b
x
a
x
a
x
a
x
a

b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a

                       (1.2) 

9

Система уравнений (1.1) допускает запись в матричной форме. Чтобы 
убедиться в этом, введем в рассмотрение следующие матрицы: 

m
n
n
m
m
m

n

n

b

b
b

B

x

x
x

X

a
a
a

a
a
a
a
a
a

A
2

1

2

1

2
1

2
22
21

1
12
11

,
,
. 

Здесь A — матрица коэффициентов при неизвестных, или основная 
матрица системы, X  — вектор-столбец неизвестных; B  — векторстолбец свободных членов. 
Так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы X , то 
существует произведение матриц AX : 

n
n
m
m
m

n
n

n
n

x
a
x
a
x
a

x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a

AX

...

...
...

2
2
1
1

2
2
22
1
21

1
2
12
1
11

, 

поэтому система уравнений (1.1) в матричной форме может быть записана 
в виде: 
.
B
AX 
Совокупность n  чисел n
...,
,
,
2
1
 называется решением системы 
уравнений (1.1), если каждое уравнение системы обращается в числовое 
равенство при подстановке в него чисел 
j
вместо соответствующих неиз
вестных 
)
,1
(
n
j
x j
. 
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы 
одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.  
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. 

Например, система уравнений 
1
,5
3

2
1

2
1
x
x
x
x
 — совместная и опреде
ленная, так как имеет единственное решение 
2
;1
2
1
x
x
. 

Система 
1
3
,5
3

2
1

2
1
x
x
x
x
 — несовместная, так как не имеет решений. 

Система 
10
2
6
,5
3

2
1

2
1
x
x
x
x
 — совместная и неопределенная, так как име
ет бесконечное множество решений: 
c
x
c
x
3
5
;
2
1
, где c  — любое 
число. 

10