Элементы квантовой механики и физики атомного ядра

ЭЛЕМЕНТЫ 
КВАНТОВОЙ 
МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
АТОМНОГО ЯДРА

Москва
ИНФРА-М
2022

А.Г. БРАУН
И.Г. ЛЕВИТИНА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Допущено
Научно-методическим Советом по физике 
Министерства образования и науки Российской Федерации 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по техническим направлениям подготовки и специальностям

Федеральное государственное бюджетное образовательное 
учреждение высшего профессионального образования 
«МАТИ — Российский государственный технологический 
университет имени К.Э. Циолковского»

Второе издание

УДК 539.1(075.8)
ББК 22.317я73
 
Б87

Браун А.Г.
Элементы квантовой механики и физики атомного ядра : 
учебное пособие / А.Г. Браун, И.Г. Левитина. — 2-е изд. — Москва : 
ИНФРА-М, 2022. — 84 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/7525.

ISBN 978-5-16-010384-6 (print)
ISBN 978-5-16-102353-2 (online)

В учебном пособии рассмотрены основные вопросы курса квантовой механики и физики атомного ядра для студентов технических 
специальностей. Приведены задачи с подробными решениями на 
соответствующий материал каждого раздела. Даны задачи для самостоятельного решения. Приведены контрольные тесты по всем разделам курса с ответами.
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по техническим направлениям подготовки 
и специальностям.
УДК 539.1(075.8)
ББК 22.317я73

Б87

Р е ц е н з е н т ы:
В.К. Битюков — доктор технических наук, профессор, заслуженный 
работник высшей школы РФ, зав. кафедрой технической физики 
Московского института радиотехники, электроники и автоматики 
(технический университет);
А.Г. Зыскин — кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории математического моделирования Государственного научного центра РФ ФГУП «НИФХИ 
им. Л.Я. Карпова», доцент кафедры «Естественнонаучные дисциплины» РГУТиС

© МАТИ, 2010, 2015
© Браун А.Г., 2010, 2015
© Левитина И.Г., 2010, 2015
ISBN 978-5-16-010384-6 (print)
ISBN 978-5-16-102353-2 (online)

Подписано в печать 25.02.2015. Формат 6090/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. 
Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 5,25. ПТ10.
ТК 316500-486392-250215
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru   http://www.infra-m.ru

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

3

СОДЕРЖАНИЕ 
 
РАЗДЕЛ 1. Элементы квантовой механики.................................................... 4 
1.1. Гипотеза Луи де Бройля ........................................................................ 4 
1.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга ................................... 6 
1.3. Уравнение Шредингера ......................................................................... 8 
1.4. Смысл пси-функции............................................................................... 9 
1.5. Описание движения свободной частицы............................................ 10 
1.6. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. 
Квантование энергии.................................................................................. 12 
1.7. Решение уравнения Шредингера для потенциального барьера ........ 17 
1.8. Прохождение частицы через барьер. Туннельный эффект ............... 19 
1.9. Гармонический осциллятор................................................................. 22 
1.10. Понятие о решении уравнения Шредингера для водородоподобного 
атома............................................................................................................ 27 
1.11. Спин электрона .................................................................................. 31 
РАЗДЕЛ 2. Задачи по теме «Элементы квантовой механики».................... 34 
2.1. Волна де Бройля................................................................................... 34 
2.2. Соотношение неопределённостей Гейзенберга ................................. 37 
2.3. Простейшие случаи движения микрочастиц...................................... 41 
РАЗДЕЛ 3. Физика атомного ядра ................................................................ 46 
3.1. Состав и характеристика ядра............................................................. 46 
3.2. Масса и энергия связи ядер................................................................. 47 
3.3. Изменение энергии при ядерной реакции .......................................... 49 
3.4. Радиоактивность .................................................................................. 49 
3.5. Ядерные реакции деления и синтеза................................................... 56 
РАЗДЕЛ 4. Задачи по теме «Элементы физики атомного ядра и ядерные 
реакции» ......................................................................................................... 59 
РАЗДЕЛ 5. Виды взаимодействий ................................................................ 63 
5.1. Сильное взаимодействие ..................................................................... 63 
5.2. Электромагнитное взаимодействие .................................................... 63 
5.3. Слабое взаимодействие ....................................................................... 63 
5.4. Гравитационное взаимодействие ........................................................ 63 
5.5. Элементарные частицы........................................................................ 63 
РАЗДЕЛ 6. Контрольные тесты..................................................................... 67 
6.1. Тест по квантовой механике................................................................ 67 
6.2. Тест по ядерной физике....................................................................... 76 
Ответы к тестам .......................................................................................... 83 
Библиографический список........................................................................... 84 
 

4

РАЗДЕЛ 1. 
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 

1.1. Гипотеза Луи де Бройля 

Французский физик Луи де Бройль, развивая представления 
о 
двойственной 
корпускулярно-волновой 
природе 
света, 
выдвинул 
в 
1924 
году 
гипотезу 
об 
универсальности 
корпускулярно-волнового дуализма. Согласно этой гипотезе 
любая свободно движущаяся частица с энергией E и импульсом p 
обладает волновыми свойствами (а не только фотоны). Частота  
волны де Бройля и её волновой вектор k связаны с 
корпускулярными характеристиками частицы – энергией и 
импульсом теми же уравнениями, которые справедливы для 
квантов света: 





ν
h
E

k
p


, 
где ћ = 1,05 10–34Джс – постоянная Планка, иногда используют 
величину 


 2
h
, также называемую постоянной Планка. 
В нерелятивистском приближении, когда скорость частицы 
мала по сравнению со скоростью света, длина волны де Бройля 
рассчитывается по формуле 

v
m
h
p
h 


. 

Для релятивистской частицы выражение для длины волны 
де Бройля имеет вид: 

2

0

v
1
v








c
m
h
p
h
, 

где m0 – масса покоя частицы, c –скорость света. 
Оценим волну де Бройля для макротел. Так, например, 
длина волны де Бройля пули массой 1 г, движущейся со 
скоростью 100 м/с, равна 6,610–33 м (ядро атома водорода имеет 
размер  10–15 м). Чтобы обнаружить волновые свойства пули, 
необходимо иметь дифракционную решётку, сравнимую с 
длиной волны, а таких решёток в природе не существует и 
создать их невозможно. 

5

Гипотеза 
Луи 
де 
Бройля 
была 
подтверждена 
экспериментально. 
В 
1927 году 
американские 
физики 
К. Дэвиссон и Л. Джермер обнаружили, что пучок электронов, 
рассеивающийся от естественной дифракционной решётки – 
кристалла никеля, даёт отчётливую дифракционную картину. 

 
Рис. 1.1. Упрощенная схема опытов Дж. Томсона по дифракции 
электронов. K – накаливаемый катод, A – анод, Ф – фольга 

 
а) 

 
б) 
Рис. 1.2. Картина дифракции электронов на поликристаллическом образце 
при длительной экспозиции (a) и при короткой экспозиции (b). В случае (b) 
видны точки попадания отдельных электронов на фотопластинку. 

Томсон и Тарковский независимо друг от друга получили 
дифракционную картину: изменение прохождений электронов 
через металлическую фольгу. Полученные электронограммы 
были аналогичны (похожи) рентгенограммам. То есть электроны 
ведут себя как электромагнитные волны рентгеновской частоты. 
(Рис. 1.1, 1.2). 

 
5

Гипотеза 
Луи 
де 
Бройля 
была 
подтверждена 
экспериментально. 
В 
1927 году 
американские 
физики 
К. Дэвиссон и Л. Джермер обнаружили, что пучок электронов, 
рассеивающийся от естественной дифракционной решётки – 
кристалла никеля, даёт отчётливую дифракционную картину. 

 
Рис. 1.1. Упрощенная схема опытов Дж. Томсона по дифракции 
электронов. K – накаливаемый катод, A – анод, Ф – фольга 

Рис. 1.2. Картина дифракции электронов на поликристаллическом образце 
при длительной экспозиции (a) и при короткой экспозиции (b). В случае (b) 
видны точки попадания отдельных электронов на фотопластинку. 

Томсон и Тарковский независимо друг от друга получили 
дифракционную картину: изменение прохождений электронов 
через металлическую фольгу. Полученные электронограммы 
были аналогичны (похожи) рентгенограммам. То есть электроны 
ведут себя как электромагнитные волны рентгеновской частоты. 
(Рис. 1.1, 1.2). 

6

1.2. Соотношение неопределенностей 
Гейзенберга 

В классической механике движение частицы описывается 
заданием уравнений движения, то есть зависимостью координат 
этой частицы от времени. Скорость частицы находится 
дифференцированием координат по времени. Таким образом, в 
классической механике известны траектория движения и 
скорость частицы. 
В 
квантовой 
механике 
такое 
описание 
движения 
оказывается невозможным. Во-первых, с движущейся частицей 
нельзя связать определённую точку пространства, известна 
только плотность вероятности нахождения частицы в этой точке. 
Во-вторых, координаты и время в квантовой механике являются 
независимыми переменными, то есть невозможно ввести 
классическое понятие скорости. В-третьих, в квантовой механике 
частица не может одновременно иметь точное значение 
координаты и соответствующего ей импульса. 
В 
1927 
году 
Гейзенбергом 
был 
сформулирован 
фундаментальный принцип неопределённостей: координата x 
и соответствующая проекция импульса частицы px не могут 
одновременно 
иметь 
определённых 
фиксированных 
значений, причём между неопределённостями Δx и Δpx 
существует следующее соотношение: 





x
p
x
. 
Данное соотношение показывает, что чем определённее 
значение координаты частицы (малое Δx), тем менее определено 
в тот же момент времени значение импульса частицы (большое 
Δpx) и наоборот. Для движения частицы вдоль других осей 
координат имеют место аналогичные соотношения: 





y
p
y
 






z
p
z
. 

7

Пример 1. Движение электрона в электронно-лучевой трубке 
(рис. 1.3). Здесь r – радиус светящегося пятна на экране, l – 
расстояние от источника электронов до экрана. 

 
Рис. 1.3. Движение электрона в электронно-лучевой трубке 

Из подобия треугольников на рис. 1.3 имеем: 

4
10




l
r
p
x
p
. 

Значение импульса p легко найти из формулы: 

0

2

2

eU

m
p

. 

При величине напряжения на трубке 
кВ
10
0 
U
 численный 
расчет дает: 

с
см
г
10
5
18




p
, 

с
см
г
10
5
22





x
p
, 

см
10 6






x
p
x

. 

Видим, что неопределенность в координате электрона при 
его движении в электронно-лучевой трубке очень мала, то есть 
можно говорить о траектории. 
 
Пример 2. Электрон в атоме. 
Имеем: 

м
10 10


x
 – размер атома, 

с
/
м
10
1

2

v
6












x
m

h
, 

м
см
r
5
3
10
10




 

x

р

x
p


 
м
l
1.0


8

что близко к значению скорости электрона в атоме. Говорить об 
одновременном измерении скорости и координаты электрона в 
атоме не имеет смысла. 
Соотношением неопределённости связаны в микромире не 
только координата и импульс частицы, но и её энергия и время 
нахождения 
в 
данном 
состоянии. 
Соотношение 
неопределённости для данных величин имеет вид: 






t
Е
. 
Если время пребывания электрона в атоме в основном 
состоянии бесконечно велико, то из данного соотношения 

0

Е
, то есть основной энергетический уровень практически не 
расщеплён. Естественную ширину энергетических уровней 
возбуждённых состояний электрона можно рассчитать из 
соотношения 
неопределённости, 
если 
положить 
неопределённость 
во 
времени 
пребывания 
электрона 
в 
возбуждённом состоянии равной среднему времени нахождения 

его в данном состоянии 
8
10

t
с. Тогда неопределённость в 

энергии 
7
10







t

Е

эВ, то есть каждый энергетический 

уровень представляет собой как бы некоторую энергетическую 
зону. В соответствии с этим спектральные линии, излучаемые 
при переходе электронов в атоме, тоже имеют ширину 

8
10






h
E
Гц, то есть излучение атомов не является 

монохроматическим. 

1.3. Уравнение Шредингера 

В 1926 г. Шредингер описал движение частиц с помощью 
пси- функции , которая получается из решения уравнения 
Шредингера: 

 

t

i
U

m











2
2

2

, 
(1.1) 

9

где 
2
  – 
оператор 
Лапласа, 
2

2

2

2

2

2
2
z
y
x

















, 

U – функция, характеризующая силовое поле; в стационарном 
случае U – потенциальная энергия. 
Пси-функция может быть представлена в виде: 

 

t
E
i
e
z
y
x
t
z
y
x









)
,
,
(
)
,
,
,
(
 
(1.2) 
Здесь функция (x,y,z,t) – «большая» пси-функция, которая 
зависит от координат и времени, а функция (x,y,z) – «малая» 
пси-функция, которая зависит только от координат. 
В случае стационарного поля полная энергия E = const. 
Подставим (1.2) в (1.1): 

t
E
i
e
E
i
ih
t
E
i
e
U
t
E
i
e
m
h









































)
(
2

2
2
. 

Сокращая, получим: 

 







E
U

m

2
2

2

, 

или, окончательно: 

 
0
)
(
2
2
2






U
E
m



. 
(1.3) 

Формула (1.3) – уравнение Шредингера для стационарных (не 
зависящих от времени t) состояний. 
Решением этого уравнения является функция – «малая» псифункция, зависящая только от координат. 
)
,
,
(
z
y
x



 

1.4. Смысл пси-функции 

Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность dP 
того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV: 

dV
dV
dV
dV
dP
2
*
*
2












. 

То, 
что 
справедливо 
равенство 







*
*
, 
непосредственно следует из применения формулы (1.2). 

10

Таким образом, поскольку квадрат модуля “большой” пси- 

функции 
2
  равен квадрату модуля “малой” пси-функции 
2
 , 
во всех дальнейших выкладках (если специально не оговорено) 
будем иметь дело с “малой” пси-функцией, зависящей только от 
координат 
)
,
,
(
z
y
x



. 
Вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке 
пространства будет равна единице: 

1
2





dV
dP
 – условие нормировки пси-функции. 

Формулировка. 
Квадрат 
модуля 
пси-функции 
дает 
плотность 
вероятности 
нахождения 
частицы 
в 
соответствующем месте пространства: 

2



dV
dP
. 

Из смысла  – функции вытекает, что квантовая механика 
имеет статистический характер. Она не позволяет точно 
определить траекторию, а лишь указывает, с какой вероятностью 
частица 
может 
быть 
обнаружена 
в 
различных 
точках 
пространства. 
Может показаться, что квантовая механика дает менее 
точное описание движения частицы, чем классическая механика.  
Классическая механика для макрочастиц описывает с 
высокой точностью все процессы, а для микромира, как мы 
видели при анализе принципа неопределенности, понятие 
траектории вообще теряет смысл. 
В микромире описание свойств идет через  – функцию. 

1.5. Описание движения свободной частицы 

При движении свободной частицы 
0
)
(

x
U
 и ее полная 
энергия 
E 
совпадает 
с 
кинетической. 
Уравнение 
(1.3) 
(стационарное) имеет вид: 

 
0
2
2
2





E
m



. 
(1.4) 

Его решение: 

 
ikx
Ae
x 

)
(
. 
(1.5) 

11

Подставим это решение в уравнение (1.4) и тогда получим: 

ikx
Ae
k
ikx
Ae
ik

dx

d










2
2
2

2
2
)
(
, 

0
2
2
2





ikx
EAe
m
ikx
Ae
k



. 

Для энергии свободной частицы имеем: 

 
2
2

2

k

m

E


, 
(1.6) 

где k – любое число, может принимать любые значения. 
По формуле (1.2) общее решение будет иметь вид: 

 

ikx
t
E
i
Ae
t
E
i
e










, 
(1.7) 

где 


E


 и 

 


x
p
k 
. 
(1.8) 

Получаем уравнение плоской волны: 

 


x
x
p
Et
i

Ae

x
x
p
t
t
E
i

Ae














. 
(1.9) 
Для энергии получаем, что спектр энергии непрерывен (рис. 1.4): 

 

m
x
p

m
k
k

m

Е

2
2

)
(

2

2
2
2
2





. 
(1.10) 

 
Рис. 1.4. Зависимость E от k для свободной частицы 

У свободной частицы энергия может принимать любое 
значение. 

E(k)

k