Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации

СБОРНИК ЗАДАЧ 

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 

СТАТИСТИКЕ И МЕТОДАМ 

ОПТИМИЗАЦИИ

А. Г. БЫЧКОВ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

                                  Москва                                        2022

ИНФРА-М

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для реализации образовательных программ 
среднего профессионального образования 

(протокол № 10 от 27.05.2019)

УДК 519.2(075.32)
ББК 22.17я723
 
Б95

А в т о р:
А.Г. Бычков, преподаватель высшей категории по математике и информатике Колледжа архитектуры и строительства № 7 (г. Москва)

Р е ц е н з е н т ы:
А. Е. Кулаго, доктор технических наук, профессор, главный специалист научной школы «Химия и технология полимерных материалов» 
Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова;
Е. А. Ларионов, доктор технических наук, профессор, доцент Национального исследовательского Московского государственного строительного университета

ISBN 978-5-00091-566-0 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-014025-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106570-9 (ИНФРА-М, online)
© Бычков А. Г., 2019
© ФОРУМ, 2019

Бычков А. Г.
Сборник задач по теории вероятностей, математической стати стике 
и методам оптимизации : учебное пособие / А. Г. Бычков. — Москва : 
ФОРУМ : ИНФРА-М, 2022. — 192 с. — (Среднее профессиональное 
образование).

ISBN 978-5-00091-566-0 (ФОРУМ)
ISBN 978-5-16-014025-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106570-9 (ИНФРА-М, online)
Учебное пособие направлено на подготовку студентов в области применения математического аппарата при решении задач экономического 
характера. Студенты получат начальные сведения по теории вероятностей 
и математической статистике, методам решения задач линейного и нелинейного программирования.
Каждый параграф главы содержит, помимо теоретических сведений, 
подробные решения типовых примеров. В конце каждого параграфа приведены вопросы для конспектирования и условия задач для самостоятельной работы. Ко всем задачам даны ответы, а к некоторым — указания для 
их решения. Разобрано большое количество типовых задач.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов среднего профессионального образования последнего поколения.
Адресовано студентам средних профессиональных учебных заведений.

УДК 519.2(075.32)
ББК 22.17я723

Б95

Предисловие

Данное учебное пособие написано на основе лекций, читаемых автором в течение ряда лет в Государственном бюджетном 
профессиональном образовательном учреждении города Москвы 
«Колледж архитектуры и строительства № 7» в связи с реализацией 
преемственной образовательной программы подготовки специалистов в системе колледж — вуз.
Учебное пособие направлено на подготовку студентов колледжа 
в области применения математического аппарата для решения задач экономического характера. Общий уровень предусматривает 
получение студентами начальных сведений по теории вероятностей 
и математической статистике, методам решения задач линейного 
и нелинейного программирования. Сборник задач состоит из четырех глав: элементы теории вероятности, элементы математической 
статистики, линейное программирование и нелинейное программирование.
Методы теории вероятностей широко применяются в различных 
отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории 
массового обслуживания, геодезии, теории стрельбы, астрономии 
и во многих других теоретических и прикладных науках. Теории вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая, в свою очередь, широко используется 
при планировании и организации производства, при анализе технических процессов, предупредительном и приемочном контроле 
качества продукции и для многих других целей.
Задача математической статистики состоит в создании методов 
сбора и обработки статистических данных для получения научных 
и практических выводов.
Управление закономерностями, которым подчинены массовые 
случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.
Первая задача математической статистики — указать способы 
сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных 
экспериментов.
Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.
Многие вопросы управления предприятиями промышленности, 
транспорта, сельского хозяйства, распределения различных ресур

сов сводятся к задачам минимизации функций, зависящих от нескольких переменных. Важным инструментом нахождения оптимальных стратегий управления являются методы линейного и нелинейного программирования.
Благодаря большому числу разобранных задач, предлагаемая 
книга может служить справочным пособием для студентов экономических специальностей различных учебных заведений.

Глава 1 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. Методы теории вероятностей широко используются в математической статистике, экономике, в военном деле, физике и других областях естествознания.

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ

Комбинаторика — раздел математики, в котором решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств.

Основная формула комбинаторики
Пусть требуется выполнить одно за другим m действий. Если 
первое действие можно выполнить n1 способами, второе — n2 способами, …, m‑е — nm способами, то все m действий могут быть выполнены n1 ⋅ n2 ⋅ ... ⋅ nm способами.

1.1.1. Факториал
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно 
называется n-факториалом и обозначается

 
n
n
n
! = ⋅ ⋅ ⋅
⋅
−
⋅
1 2 3
1
... (
)
.  
(1.1.1)

Свойство факториала:

 
n
n
n
!
!
=
−
⋅
(
)
.
1
 
(1.1.2)

Для числа 0 принято соглашение

 
0! = 1. 
(1.1.3)

Пример 1.1. Вычислить:

а) 5!; б) 9! – 7!; в) 3
5
4
!
!
!
+
.

Решение
а) по определению: 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120;
б) 9! – 7! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 – 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 
= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ (8 ⋅ 9 – 1) = 5040 ⋅ 71 = 357 840;

в) 3
5

4

1 2 3 1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3 1 4 5

1 2 3 4

21
4

!
!

!
+
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
(
)
.

1.1.2. Перестановки
Пусть имеются три буквы: A, B и C. Составим все возможные 
комбинации из этих букв: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA. Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв.
Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга 
только порядком элементов, называются перестановками.
Перестановки обозначаются Pn, где n — число элементов, входящих в перестановку

 
P
n
n = !  
(1.1.4)

Пример 1.2. В турнире участвуют шесть команд. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?
Решение
В итоговой таблице турнира команды будут отличаться занятыми местами, поэтому для подсчета вариантов распределения 
мест между ними воспользуемся формулой перестановки:

P6 = 6! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 720.

Ответ: 720.

Пример 1.3. Сколькими способами могут разместиться за круглым столом 9 человек?
Решение
Размещение людей за столом отличается только их расположением за этим столом, поэтому число способов есть

P9 = 9! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 = 362 880.

Ответ: 362 880.

Пример 1.4. Сколько можно составить всевозможных комбинаций из букв А, В, С и D?
Решение
Комбинации, составленные из этих букв, отличаются только порядком расположения букв, поэтому для подсчета всех комбинаций 
применим перестановку P4 = 4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24.
Ответ: 24.

1.1.3. Размещения
Пусть имеются три буквы: A, B и C. Составим все возможные 
комбинации только из двух букв: AB, AC, BA, CA, BC, CB. Эти комбинации отличаются друг от друга расположением букв или самими 
буквами.

Комбинации из n элементов по m элементам, которые отличаются или самими элементами, или порядком их следования, называются размещениями.
Размещения обозначаются

 
A
n
n
n
n
m

m

n
m =
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
+ −
(
) (
) ... (
).
1
2
1

множителей

(1.1.5)

В факториальной форме:

 
A
n
n
m
n
m =
−
!

(
)!.  
(1.1.6)

Пример 1.5. На третьем курсе изучаются девять предметов. 
Сколькими способами можно составить расписание занятий 
на один день, если в учебный день разрешается проводить занятия 
только по четырем разным предметам?
Решение
Различных способов составления расписания столько, сколько 
существует четырехэлементных комбинаций из девяти элементов, 
которые отличаются друг от друга или самими элементами, или 
их порядком, т.е.

A9
4
9
9
4
9
5
5 6 7 8 9
5
6 7 8 9
3024
=
−
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ =
!
!
!
!
!
!
(
)
.

Ответ: 3024.

Пример 1.6. Вычислить: а) A5
3; б) A6
2;  в) А
А

А

8
3
11
6

10
4
+
.

Решение

а) A5
3
5
5 3
5
2
1 2 3 4 5
1 2
3 4 5
60
=
−
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅
= ⋅ ⋅ =
!
!
!
!
(
)
;

б) A6
2
6 5
30
= ⋅ =
;

в) А
А

А

8
3
11
6

10
4
+
,  

т.к. A8
3
8
5
= !

!,  A11
6
11
5
=
!
! ,  A10
4
10
6
=
!
! ,  то А
А
А

8
3
11
6

10
4

8
5
11
5
10
6

8
11
6
10 5
+
=
+
=
+
⋅
⋅
=

!
!
!
!
!
!

!
!
!
!
!

(
)
 

=
⋅
+ ⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
8
1 9 10 11 6
8 9 10 5
991 5 6
90 5
991
15
!
!
!
!
!
!
(
)
.

1.1.4. Сочетания
Пусть имеются три буквы: A, B и C. Составим все возможные 
комбинации только из двух букв, которые отличаются друг от друга 
хотя бы одним элементом: AB, AC, BC. Нетрудно увидеть, что 
их в два раза меньше, чем размещений из этих элементов.
Комбинации из n элементов по m элементам, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями и обозначаются

 
С
n
m
n
m
n
m =
⋅
−
!

!
!
(
) .  
(1.1.7)

Основные свойства сочетаний:

а) С
С
n
m
n
n m
=
− ;  
(1.1.8) 

б) С
С
С
n
m
n
m
n
m

+
+
+
=
+
1
1
1
.  
(1.1.9)

Пример 1.7. Вычислить:

а) С7
4
7
4
7
4
7
4 3
4 5 6 7
4 3
5 6 7
1 2 3
35
=
⋅
−
=
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
!
!
!
!
!
!
!
!
!
(
)
;

б) С
С

4
3

7
5

4
3 1
7

5 2

4 5 2
7 3 1
5 3 4 2
5 6 7 3
=
⋅

⋅

=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅

!
! !
!

!
!

!
!
!
!
! !
!
!
!
!
!⋅
=
⋅
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅ =
1
4 2
6 7 1
4 1 2
6 7 1
4
21
!
!
!
.

Пример 1.8. Сколькими способами можно распределить три путевки в один санаторий между пятью желающими?
Решение
Так как путевки предоставлены в один санаторий, варианты 
распределения отличаются друг от друга хотя бы одним желающим. 
Следовательно, число способов распределения 

С5
3
5
5 3
3
5
2 3
3 4 5
2
=
−
⋅
=
⋅
=
⋅ ⋅
!
!
!
(
)
.

Ответ: 10.

Пример 1.9. В цехе работают 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. 
Сколькими способами можно сформировать бригаду из 7 человек, 
чтобы в ней было 3 женщины?
Решение
Так как женщин пять, а необходимо отобрать три из них, число 
способов отбора есть С5
3.  Поскольку требуется отобрать четырех 

мужчин из семи, число способов отбора мужчин — С7
4. Из‑за того, 
что отбирают мужчин и женщин, по основной формуле комбинаторики бригаду можно сформировать С
С
5
3
7
4
⋅
 способами: 

С
С
5
3
7
4
5

3 2

7

4 3

3 4 5 4 5 6 7
3 1 2 4 1 2 3

4 5
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
!

!
!

!

!
!

!
!

!
!

⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= ⋅
⋅ =
5 6 7

2 2 3
2 25 7
350.

Ответ: 350.

Пример 1.10. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных, если в группе 27 человек?
Решение
Так как дежурных двое, а в группе 27 человек, число способов 
выбора дежурных определяется как С27
2 ⋅

С27
2
27

2 25

25 26 27
1 2 25
13 27
351
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅ ⋅
=
⋅
=
!

!
!

!

!
.

Ответ: 351.

Пример 1.11. Сколькими способами можно составить внутренний наряд из одного офицера, двух сержантов и девяти солдат, 
если имеется 3 офицера, 5 сержантов и 15 солдат?
Решение

Офицера можно выбрать С3
1
3

1 2

1 2 3
1 1 2
3
=
⋅
= ⋅ ⋅

⋅ ⋅
=
!

!
!
 способами, сержантов — С5
2
5

2 3

3 4 5
1 2 3
10
=
⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
!

!
!

!

!
 способами, а рядовых — С15
9
15
6 9
=
⋅
=
!
!
!
 

=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
⋅
⋅ =
10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 5 6
5 11 13 7
5005  способами. При решении задачи выполнены три действия: определены способы отбора офицеров, сержантов и солдат. По основной формуле комбинаторики 
число способов составления внутреннего наряда вычисляется как 
C
C
C
3
1
5
2
15
9
⋅
⋅
 = 1 ⋅ 30 ⋅ 5005 = 150 150.
Ответ: 150 150.

Вопросы
1.1.1. Что такое комбинаторика?
1.1.2. Напишите основную формулу комбинаторики.
1.1.3. Что называется факториалом?
1.1.4. Что называется сочетанием?
1.1.5. Назовите свойства сочетаний.
1.1.6. Что называется размещением? Что называется перестановкой?

Упражнения
1.1.1—1.1.8. Вычислить:

1.1.1. P
P

P

7
4

3

+
; 1.1.2. P
C
C
A

5
5
3
7
4

5
4
⋅
+
(
) ; 1.1.3. A
A

A

5
3
6
3

5
4
+
; 1.1.4. 7
5
4
!
!
!
+
;  

1.1.5. 1
1

1
n
n
!
!
−
+
(
) ; 1.1.6. A
A
6
4
4
3
+
;  1.1.7. C
C
3
2
6
5
⋅
;  1.1.8. P
A
C
4
6
3
6
5
⋅
−
.

1.1.9. Хоккейная команда состоит из 3 вратарей, 8 защитников 
и 12 нападающих. Сколькими способами можно образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех 
нападающих?
1.1.10. В турнире участвуют 11 команд. Сколько вариантов распределения призовых мест между ними возможно?
1.1.11. Сколько можно провести прямых через шесть точек, если 
любые три точки не лежат на одной прямой?
1.1.12. Сколько можно составить вариантов расписания занятий 
на один день, если всего изучается 12 предметов, а в расписание 
на день можно включить только четыре из них?

1.2. СОБЫТИЯ

В практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями (событиями), результат которых зависит от случая. Так, 
например, перед началом любого соревнования нельзя с полной 
уверенностью назвать победителя этих соревнований. Стрелок, 
стреляя в мишень, может попасть в нее, а может и промахнуться. 
Событие попадания стрелком в мишень, также как и определение 
победителя соревнований, является случайным, поскольку оно может произойти, а может и не произойти. И таких примеров можно 
привести бесчисленное множество.
Если нас интересует какое‑либо определенное событие из всех 
возможных событий, то будем называть его искомым событием 
(исходом).
Например, если нас интересует при подбрасывании игральной 
кости выпадение шести очков (искомый исход), то всех возможных 
событий при бросании игральной кости будет шесть (выпадение 
очков от 1 до 6).
Будем называть опытом (испытанием) воспроизведение некоторой совокупности условий, позволяющих наблюдать интересующее 
нас явление.
Элементарным исходом (элементарным событием) называется любой простейший исход опыта. В дальнейшем множество элементарных исходов (событий) будем обозначать буквой Ω.