Основы теории цепей

Г.Н. Арсеньев, И.И. Градов
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
ПРАКТИКУМ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Под редакцией Г.Н. Арсеньева
Допущено Министерством обороны Российской Федерации
в качестве учебного пособия для курсантов военно-учебных
заведений Космических войск, обучающихся
по направлению 11.03.01 «Радиотехника»
Москва 
ИД «ФОРУМ» — ИНФРА-М
2022

УДК  621.39(075.8) 
ББК  32.88я73 
 
А85
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра радиотехнических систем Военной академии Ракетных 
войск стратегического назначения им. Петра Великого (нач. каф., 
канд. техн. наук А.В. Мячин; канд. техн. наук, доцент A.И. Полоус);
кафедра электрорадиотехники, радиоцепей и автоматики СанктПетербургского высшего военного училища радиоэлектроники (военного института) (нач. каф., канд. техн. наук П.П. Шумаков; канд. техн. 
наук, доцент А.Н. Сазонов);
кафедра применения и эксплуатации средств и систем РКО Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (канд. техн. наук, доцент С.А. Серов)
Арсеньев Г.Н.
А85 
 
Основы теории цепей. Практикум : учебное пособие / Г.Н. Арсеньев, И.И. Градов ; под ред. Г.Н. Арсеньева. — Москва : ИД «ФОРУМ» : 
ИНФРА-М, 2022. — 336 с. — (Высшее образование).
ISBN 978-5-8199-0720-7 (ИД «ФОРУМ») 
ISBN 978-5-16-013455-0 (ИНФРА-М, print) 
ISBN 978-5-16-105262-4 (ИНФРА-М, online)
Излагаются практические вопросы применения инженерных методов 
анализа и расчета электрических цепей. Даны общие краткие теоретические сведения о методах расчета, на многочисленных примерах показана 
методика применения методов расчета, входящих в программы подготовки специалистов по направлению 11.03.01 «Радиотехника». Описываются методики составления передаточных функций, уравнений равновесия 
и уравнений состояния электрических цепей. Математическую основу 
анализа и синтеза электрических цепей составляют частотный, операторный и метод пространства состояний. Практическому применению этих 
методов способствуют как специально разработанные пакеты расчетноаналитических компьютерных программ, так и уже известные математические пакеты типа Mathcad. Теоретические расчеты и выводы в учебном пособии широко подтверждаются наглядными практическими примерами, 
выполненными в компьютерных математических средах.
Для студентов электро- и радиотехнических специальностей средних 
и высших учебных заведений, также может быть использовано инженерными и техническими специалистами, занимающимися анализом, синтезом и эксплуатацией электрических цепей и устройств.
УДК 621.39(075.8) 
ББК 32.88я73
ISBN 978-5-8199-0720-7 (ИД «ФОРУМ») 
ISBN 978-5-16-013455-0 (ИНФРА-М, print) 
ISBN 978-5-16-105262-4 (ИНФРА-М, online)
© Арсеньев Г.Н., Градов И.И., 
2016
© ИД «ФОРУМ», 2016



В подготовке инженеров важнейшую роль играет овладение
специалистами научно-теоретическими и практическими методами получения и применения новых знаний в своей профессиональной деятельности. Теоретическое и практическое применение этих методов начинается уже на начальном этапе обучения,
при изучении естественно-научных и общепрофессиональных
дисциплин. Прохождение этих дисциплин по срокам и содержанию структурно-логически сбалансировано учебным планом подготовки по конкретной специальности. Развитие информационных технологий вызвало появление новых групп учебных дисциплин, связанных с информатикой, вычислительной техникой.
Расширение перечня учебных дисциплин естественным образом
привело к уменьшению времени на изучение дисциплин, связанных с основами построения, методами анализа и синтеза структур
и параметров электрических цепей и динамических систем, что
может отрицательно сказаться на уровне общеинженерной подготовки специалистов. В первую очередь сокращение времени повлияло на уровень практического овладения методами получения
знаний в рамках расписания занятий, что не позволяет в полной
мере достигнуть обучающимся требуемых уровней усвоения,
практических умений и навыков, которые являются важнейшей
составляющей подготовки инженерных кадров.
После перехода высшей школы ко второму поколению Государственного образовательного стандарта (ГОС) из печати вышел
ряд учебников и учебных пособий по основам теории цепей, по
теории радиотехнических цепей и сигналов, которые соответствуют требованиям ГОС и отражают современные научные достижения в области теории электро- и радиотехники. Cодержание этих
учебников ориентировано в среднем на 60—80 часов учебного
времени, а при таких объемах времени раскрытие глубинных основ дисциплины, а особенно ее прикладной направленности, например для радиоэлектронных систем космических, противоракетных средств, связано с большими трудностями, а чаще всего

Предисловие
не представляется возможным. В этих условиях наиболее методически оправданным является комплексное, взаимосвязанное построение учебных курсов, что позволит научное и практическое
содержание специальности излагать не в одном, а в серии учебников и учебных пособий по различным дисциплинам, объединенных методологией практического применения общих методов получения знаний в отдельных дисциплинах.
В учебниках и учебных пособиях [3—9] на основе многолетнего личного опыта авторов чтения лекций, постановки практической и учебно-исследовательской части курсов и дисциплин в целом, опыта кафедры автоматики КВИРТУ ПВО, кафедры вычислительной
техники
и
автоматики,
кафедры
электротехники
и радиотехники ФВА РВСН, МВИРЭ КВ изложены назначение,
методика применения инженерных методов анализа качества
в переходных и установившихся режимах автоматических устройств и электрических цепей в радиоэлектронных системах.
Теоретический и практический материал по исследованию
цепей и систем рассмотрен с позиций комплексного изучения
процессов в сложных электрических цепях и системах, инженерных методов их анализа и синтеза. За время, прошедшее после
выхода учебных изданий из печати, были получены многочисленные положительные отзывы от ведущих специалистов вузов
Российской Федерации на содержание и методику изложения научных положений теории динамических систем и приемов их
практического применения. Были также получены новые практические результаты в области теории электрических цепей, динамических систем и процессов управления. Все это послужило для
авторов стимулом по дальнейшей разработке методик комплексного междисциплинарного применения методов анализа и синтеза динамических процессов в области временной, комплексной
и частотной переменной. Применение этих методов, поддержанных компьютерными средствами с математическими средами
типа Mathcad и Matlab, позволяет формировать содержание отдельных дисциплин в блочно-модульные структуры, которые
обеспечивают междисциплинарную преемственность овладения
методами получения знаний в отдельных дисциплинах, перенесение и совершенствование их в процессе изучения других дисциплин.
В книге на примерах простых и сложных электрических цепей
изложено практическое применение методов их анализа и расче

Предисловие
5
та. Расчет и анализ динамических характеристик, параметров
электрических цепей осуществляются частотными, временными
и операторными методами, аналитическими и численными способами с применением персональных ЭВМ (ПЭВМ). Изложение
методик практического применения компьютерных технологий
и программ для расчета электрических цепей различными методами является основой содержания учебного пособия.
При изложении материала, особенно при изложении методов
анализа, авторы стремились максимально использовать те теоретические методы, а именно частотные, операторные и временные, которые изучались в курсе «Математика». Эти методы являются основополагающими при подготовке специалистов по радиотехнике и радиоэлектронным системам.
При изучении обучающимися в специальных дисциплинах
образцов
радиоэлектронных
систем,
систем
автоматического
управления содержание книги будет способствовать более быстрому установлению связи между конкретным исполнением образца системы, принципами его функционирования и методами
теоретического анализа. Комплексное и взаимосвязанное изложение материала способствует более глубокому раскрытию и пониманию физических процессов в сложных системах, их математическому описанию и формированию обучающимися способностей
анализировать
состояния
и
определять
направления
совершенствования электрических цепей и радиоэлектронных
систем.
Авторы выражает глубокую благодарность рецензентам:
кандидату техн. наук А.В. Мячину; кандидату техн. наук
доценту А.И. Полоусу; кандидату техн. наук П.П. Шумакову;
кандидату техн. наук, доценту А.Н. Сазонову; кандидату техн.
наук, доценту С.А. Серову за ценные замечания и предложения,
способствовавшие улучшению учебного пособия.

     


	
 	!"#



"$
	%
"

#"
&&
	

	%



#
	

	
Анализ (расчет) электрической цепи состоит в определении
отклика цепи (реакции) на входящие воздействия. Под воздействием в данном случае понимается включение в цепь источников
напряжения и тока. Откликом в общем случае называют все токи
в ветвях и все напряжения на пассивных элементах. Следовательно, рассчитать электрическую цепь — значит, найти все токи
и все напряжения в этой цепи.
Для упрощения расчет цепи при гармоническом воздействии
производится комплексным методом. Он состоит в том, что при
расчете все гармонические функции (оригиналы токов, напряжений, источников) заменяют их комплексными изображениями
(символами), а все пассивные элементы представляют их комплексными сопротивлениями. После определения комплексных
токов и напряжений (изображений откликов) находят их оригиналы (вещественные мгновенные значения) по формуле Эйлера.



	





Любое комплексное число 
A можно записать в показательной,
тригонометрической или алгебраической формах

cos
sin
A
a
a
a
b
jc
j






e



,
(1.1)
где a
b
c


2
2 — модуль комплексного числа;   arctg c
b
— аргумент комплексного числа; b
a
A


cos
Re( )

— действительная

1.1. Основные теоретические сведения
7
+j
+j
c1
.
A1
.
A1

0
a2
a1
0
+1
+1
-
-c2
.
A2
.
A2

A
b
jc
1
1
1


; 
A
b
jc
2
2
2



cos
sin
A
a
ja
1
1
1
1
1



 ;

cos
sin
A
a
ja
2
2
2
2
2




Рис. 1.1
Рис. 1.2
часть комплексного числа; c
a
A


sin
Im( )

— мнимая часть комплексного числа.
Алгебраическая форма соответствует изображению числа 
A
в виде точки на комплексной плоскости в декартовых координатах (рис. 1.1).
Тригонометрическая форма числа 
A соответствует полярной
системе координат на комплексной плоскости (рис. 1.2).
Показательная форма записи получается из тригонометрической по формуле Эйлера
e 


j
j



cos
sin .
(1.2)
Комплексное число e j изображают на комплексной плоскости вектором (рис. 1.3) с модулем, численно равным единице
и составляющим угол  с осью вещественных значений (осью b).
Угол откладывается от вещественной оси против часовой стрелки
в случае положительных значений угла  и по часовой стрелке
при отрицательных значениях .
При расчетах с помощью комплексных чисел обычно приходится переходить от одной формы записи к другой. Например,
для сложения (вычитания) комплексных чисел применяют алгебраическую форму записи. При этом отдельно складывают (вычитают) действительные и мнимые части чисел.

Глава 1. Комплексный метод анализа установившихся процессов...
+j
.
A1
1
sin 

0
b
cos 
Рис. 1.3
Показательная форма комплексного числа наиболее удобна
для умножения и деления чисел. В этом случае модули чисел перемножают (делят), а аргументы складывают (вычитают).
Пример
1.1.
Даны
два
комплексных
числа:

A
j
1
5

 3,5;

A
j
2
4


1,8
.
Найти сумму, разность, произведение и частное этих чисел.
Решение
При сложении чисел получим



(
)
(
)
(
)
(
)
A
A
A
j
j
j












1
2
5
4
5
4
3,5
1,8
1,8
3,5
6,8
j0,5.
Разность этих чисел определяется по выражению



(
)
(
)
(
)
(
)
A
A
A
j
j
j












1
2
5
4
5
4
3,5
1,8
1,8
3,5
3,2
j7,5.
Для умножения и деления числа запишем в показательной
форме:

(
)
(
)
A
j
j
1
2
2
5
35
5



	
3,5
e
6,1e
arctg 3,5
;

(
)
(
)
A
j
j
2
2
2
4
4




	
1,8
e
4,39e
arctg
1,8
65,8 .
Тогда при умножении

 
(
)
A
A A
j
j
j




	

	
	
	
1
2
35
35
6,1e
4,39e
26,78e
65,8
65,8
26,78e
30,8

	
j
,
а при делении
j
	


35
35
6,1e

(
)
A
A
j
j





	
	
	
1
A
4,39e
1,39e
1
65,8
65,8
,39e j1008
, 	.
2

1.1. Основные теоретические сведения
9
 !""	#

	$
		#
Синусоидальные ток и напряжение в вещественной форме (оригиналы) записываются в виде
i t
I
t
m
i
( )
sin(
)



 , u t
U
t
m
u
( )
sin(
)




,
(1.3)
где Im,U m — амплитуды колебаний; i , u — начальные фазы колебаний.
Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся
величины. За среднее значение тока и напряжения принимают их
среднее значение за полпериода.
Среднее значение тока
T
I
T
I
t dt
I
m
m
ср 


1
2
2
2
sin 


, т. е. I
Im
ср
0,638

.
(1.4)
0
Аналогично E
Em
ср  2

, U
U m
ср  2

.
Действующее значение тока
T
2
2
2
m
T
m
m






1
1
I
T
i dt
T
I
t dt
I
I
2
0
0
sin 
0,707
.
(1.5)
Аналогично E
Em

2 и U
U m

2.
Мгновенные комплексные значения (изображения, символы)
синусоидальных тока и напряжения:
(
)





i



m
m
j
t
m
j t
j t



(
I
t
I
I
I

e
e
e

2
U
t
U
e
 ( )


;

( )




u
U
U
m
j t
j t
)


,


m
m
j
t


e
e
2
(1.6)
где 
I
I
m
m
j
i

e  — комплексная амплитуда тока; 

I
I
I
m
m
j
i


2
2
e  —
комплексный ток (комплексное действующее значение тока);


U
U
U
U
m
m
j
j
u
u



e
e


2
2
— комплексная амплитуда напряжения;


U
U
U
m
m
j
u


2
2
e 
— комплексное напряжение (комплексное действующее значение напряжения).

Глава 1. Комплексный метод анализа установившихся процессов...
%&	

	
				
	
'
При расчете цепи комплексным методом вводится понятие
комплексного сопротивления (проводимости).
Комплексным сопротивлением Z называется отношение комплексного напряжения к комплексному току, вызванному этим напряжением:
j


U
U
m
Z
U
u
i








(
)
e
j
j
u


 .
(1.7)
i
U
I
I
I
I
e
e
m
Применяют три формы записи комплексного сопротивления:
Z
z
z
z
jz
R
jx
j






e 



cos
cos
sin
,
(1.8)
где z
U
I
R
x



2
2 — полное сопротивление току; R
z

cos  —
активное сопротивление; x
z

sin  — реактивное сопротивление;





u
i — разность фаз напряжения и тока.
Комплексной проводимостью Y называется отношение комплексного тока к комплексному напряжению

I
m
Y
I
j
i
u








(
)
1
e


.
(1.9)
U
U
Z
I
U
m
На основании выражения (1.9)
Y
y
y
jy
q
jb
j






e



cos
sin
,
(1.10)
где y
I
U
q
b



2
2 — полная проводимость; q
y

cos  — активная проводимость; b
y

sin  — реактивная проводимость.
Составляющие сопротивления и проводимости связаны между собой следующими соотношениями:
1

;
;
;
2
2
2
2
y
z
q
R
R
x
b
x
R
x







(1.11)

1


2
2
2
2
z
y
R
q
q
b
q
b
x
b





;
;
.

Примечание. Понятия комплексное сопротивление и комплексная
проводимость могут относиться ко всей цепи, к части
цепи или к ее отдельным элементам.